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2. 对分式方程 $\frac{x}{x - 3}=2+\frac{3}{x - 3}$，有下列说法：① 最简公分母为 $(x - 3)^2$；② 去分母，得 $x = 2 + 3$，解得 $x = 5$；③ 原方程的解为 $x = 3$；④ 原方程无解。其中，正确的有(
A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
D
)A.4 个
B.3 个
C.2 个
D.1 个
答案
【检测反馈】 2. D
解析
【解析】
1. 最简公分母判断：方程中两个分母均为$x-3$，因此最简公分母为$x-3$，故说法①错误；
2. 去分母操作：给方程两边同乘最简公分母$x-3$，得$x = 2(x-3) + 3$，而非$x=2+3$，说法②错误；
3. 方程求解与检验：化简方程得$x=2x-6+3$，解得$x=3$，但$x=3$会使原方程的分母为0，是增根，因此原方程无解，故说法③错误，④正确。
综上，正确的说法只有1个。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法；增根的概念
【点评】
本题主要考查分式方程的求解及增根的判定，解题时需注意去分母时每一项都要乘最简公分母，解出结果后必须检验是否使分母为0，避免误判方程的解。
【难度系数】
0.6
1. 最简公分母判断：方程中两个分母均为$x-3$，因此最简公分母为$x-3$，故说法①错误；
2. 去分母操作：给方程两边同乘最简公分母$x-3$，得$x = 2(x-3) + 3$，而非$x=2+3$，说法②错误；
3. 方程求解与检验：化简方程得$x=2x-6+3$，解得$x=3$，但$x=3$会使原方程的分母为0，是增根，因此原方程无解，故说法③错误，④正确。
综上，正确的说法只有1个。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解法；增根的概念
【点评】
本题主要考查分式方程的求解及增根的判定，解题时需注意去分母时每一项都要乘最简公分母，解出结果后必须检验是否使分母为0，避免误判方程的解。
【难度系数】
0.6
3. 解下列分式方程：
(1) $\frac{x - 2}{x - 3}=\frac{1}{3 - x}-2$；
(2) $\frac{x + 1}{x - 1}-\frac{4}{x^2 - 1}=1$。
(1) $\frac{x - 2}{x - 3}=\frac{1}{3 - x}-2$；
(2) $\frac{x + 1}{x - 1}-\frac{4}{x^2 - 1}=1$。
答案
(1) x = $\frac 73$ (2) x = 1（增根），原方程无解
解析
【解析】
(1) 原方程变形为：$\frac{x - 2}{x - 3}=-\frac{1}{x - 3}-2$
方程两边同乘$(x - 3)$，得：
$x - 2 = -1 - 2(x - 3)$
去括号：$x - 2 = -1 - 2x + 6$
移项、合并同类项：$3x = 7$
解得：$x = \frac{7}{3}$
检验：当$x = \frac{7}{3}$时，$x - 3 ≠ 0$，所以$x = \frac{7}{3}$是原方程的解。
(2) 方程两边同乘$(x + 1)(x - 1)$，得：
$(x + 1)^2 - 4 = (x + 1)(x - 1)$
去括号：$x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 - 1$
移项、合并同类项：$2x - 2 = 0$
解得：$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$(x + 1)(x - 1) = 0$，所以$x = 1$是增根，原方程无解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x = \frac{7}{3}}$；(2) 原方程无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的判定
【点评】
解分式方程需先去分母化为整式方程，求解后必须检验，要注意分母不为0的隐含条件，避免忽略增根导致错误。
【难度系数】
0.6
(1) 原方程变形为：$\frac{x - 2}{x - 3}=-\frac{1}{x - 3}-2$
方程两边同乘$(x - 3)$，得：
$x - 2 = -1 - 2(x - 3)$
去括号：$x - 2 = -1 - 2x + 6$
移项、合并同类项：$3x = 7$
解得：$x = \frac{7}{3}$
检验：当$x = \frac{7}{3}$时，$x - 3 ≠ 0$，所以$x = \frac{7}{3}$是原方程的解。
(2) 方程两边同乘$(x + 1)(x - 1)$，得：
$(x + 1)^2 - 4 = (x + 1)(x - 1)$
去括号：$x^2 + 2x + 1 - 4 = x^2 - 1$
移项、合并同类项：$2x - 2 = 0$
解得：$x = 1$
检验：当$x = 1$时，$(x + 1)(x - 1) = 0$，所以$x = 1$是增根，原方程无解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x = \frac{7}{3}}$；(2) 原方程无解
【知识点】
分式方程的解法，增根的判定
【点评】
解分式方程需先去分母化为整式方程，求解后必须检验，要注意分母不为0的隐含条件，避免忽略增根导致错误。
【难度系数】
0.6
1. 对于关于 $x$ 的分式方程 $\frac{2m + x}{x - 3}-1=\frac{2}{x}$，以下说法错误的是(
A.分式方程的增根是 $x = 0$ 或 $x = 3$
B.若分式方程有增根，则 $m = -\frac{3}{2}$
C.若分式方程无解，则 $m = -\frac{1}{2}$ 或 $m = -\frac{3}{2}$
D.分式方程的增根是 $x = 3$
A
)A.分式方程的增根是 $x = 0$ 或 $x = 3$
B.若分式方程有增根，则 $m = -\frac{3}{2}$
C.若分式方程无解，则 $m = -\frac{1}{2}$ 或 $m = -\frac{3}{2}$
D.分式方程的增根是 $x = 3$
答案
【迁移运用】 1. A
解析
【解析】
先将分式方程去分母，两边同乘$x(x-3)$，得：
$(2m+x)x - x(x-3) = 2(x-3)$
整理得：$(2m+1)x = -6$。
1. 分析增根：
分式方程的增根是使分母为0的$x$值，即$x=0$或$x=3$。
把$x=0$代入整式方程，左边为0，右边为-6，等式不成立，故$x=0$不是增根；
把$x=3$代入整式方程，得$3(2m+1)=-6$，解得$m=-\frac{3}{2}$，故增根只有$x=3$，因此A错误，D正确。
2. 分析B选项：若方程有增根，则增根为$x=3$，代入得$m=-\frac{3}{2}$，B正确。
3. 分析C选项：方程无解分两种情况：
有增根，此时$m=-\frac{3}{2}$；
整式方程$(2m+1)x=-6$无解，即$2m+1=0$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
故方程无解时$m=-\frac{1}{2}$或$m=-\frac{3}{2}$，C正确。
综上，说法错误的是A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根，分式方程无解的判定
【点评】
本题考查分式方程增根与无解的辨析，需明确增根是使分母为0且满足整式方程的根，无解包含有增根和整式方程无解两种情况，解题时需分类讨论，避免概念混淆。
【难度系数】
0.4
先将分式方程去分母，两边同乘$x(x-3)$，得：
$(2m+x)x - x(x-3) = 2(x-3)$
整理得：$(2m+1)x = -6$。
1. 分析增根：
分式方程的增根是使分母为0的$x$值，即$x=0$或$x=3$。
把$x=0$代入整式方程，左边为0，右边为-6，等式不成立，故$x=0$不是增根；
把$x=3$代入整式方程，得$3(2m+1)=-6$，解得$m=-\frac{3}{2}$，故增根只有$x=3$，因此A错误，D正确。
2. 分析B选项：若方程有增根，则增根为$x=3$，代入得$m=-\frac{3}{2}$，B正确。
3. 分析C选项：方程无解分两种情况：
有增根，此时$m=-\frac{3}{2}$；
整式方程$(2m+1)x=-6$无解，即$2m+1=0$，解得$m=-\frac{1}{2}$。
故方程无解时$m=-\frac{1}{2}$或$m=-\frac{3}{2}$，C正确。
综上，说法错误的是A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程的增根，分式方程无解的判定
【点评】
本题考查分式方程增根与无解的辨析，需明确增根是使分母为0且满足整式方程的根，无解包含有增根和整式方程无解两种情况，解题时需分类讨论，避免概念混淆。
【难度系数】
0.4
2. 若分式方程 $\frac{k - 1}{x^2 - 1}-\frac{1}{x^2 - x}=\frac{k - 5}{x^2 - x}$ 有增根 $x = -1$，求 $k$ 的值。
答案
【迁移运用】 2. $ k = 1 $
解析
【解析】
1. 对原方程分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-x=x(x-1)$，确定最简公分母为$x(x+1)(x-1)$。
2. 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程：
$(k-1)x - (x+1) = (k-5)(x+1)$
3. 已知原方程增根为$x=-1$，将$x=-1$代入整式方程：
$(k-1)×(-1) - (-1+1) = (k-5)×(-1+1)$
4. 化简计算：
$-(k-1)=0$，解得$k=1$。
【答案】
$k=1$
【知识点】
分式方程的增根，整式方程求解
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是利用增根的定义：增根是分式方程化为整式方程后使原分母为0的根，需将增根代入整式方程求解参数。
【难度系数】
0.4
1. 对原方程分母因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-x=x(x-1)$，确定最简公分母为$x(x+1)(x-1)$。
2. 方程两边同乘最简公分母，化为整式方程：
$(k-1)x - (x+1) = (k-5)(x+1)$
3. 已知原方程增根为$x=-1$，将$x=-1$代入整式方程：
$(k-1)×(-1) - (-1+1) = (k-5)×(-1+1)$
4. 化简计算：
$-(k-1)=0$，解得$k=1$。
【答案】
$k=1$
【知识点】
分式方程的增根，整式方程求解
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是利用增根的定义：增根是分式方程化为整式方程后使原分母为0的根，需将增根代入整式方程求解参数。
【难度系数】
0.4
3. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x + m}{x - 2}+\frac{2m}{2 - x}=3$ 的解为正实数，求实数 $m$ 的取值范围。
答案
【迁移运用】 3. $ m ＜ 6 $ 且 $ m ≠ 2 $
解析
【解析】
1. 原方程变形为：$\frac{x+m}{x-2}-\frac{2m}{x-2}=3$；
2. 去分母，两边同乘$(x-2)$得：$x+m-2m=3(x-2)$；
3. 化简求解：
$x - m = 3x - 6$，
移项合并同类项得：$-2x = m - 6$，
解得：$x = \frac{6 - m}{2}$；
4. 根据题意，方程的解为正实数且分母不为0：
① $\frac{6 - m}{2} ＞ 0$，解得$m ＜ 6$；
② $\frac{6 - m}{2} ≠ 2$，解得$m ≠ 2$；
综上，实数$m$的取值范围是$m ＜ 6$且$m ≠ 2$。
【答案】
$m ＜ 6$ 且 $m ≠ 2$
【知识点】
分式方程的解、分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题考查分式方程的解的应用，解题时需注意分式方程分母不为0的隐含条件，避免因忽略该条件导致取值范围不全。
【难度系数】
0.6
1. 原方程变形为：$\frac{x+m}{x-2}-\frac{2m}{x-2}=3$；
2. 去分母，两边同乘$(x-2)$得：$x+m-2m=3(x-2)$；
3. 化简求解：
$x - m = 3x - 6$，
移项合并同类项得：$-2x = m - 6$，
解得：$x = \frac{6 - m}{2}$；
4. 根据题意，方程的解为正实数且分母不为0：
① $\frac{6 - m}{2} ＞ 0$，解得$m ＜ 6$；
② $\frac{6 - m}{2} ≠ 2$，解得$m ≠ 2$；
综上，实数$m$的取值范围是$m ＜ 6$且$m ≠ 2$。
【答案】
$m ＜ 6$ 且 $m ≠ 2$
【知识点】
分式方程的解、分式有意义的条件、解一元一次不等式
【点评】
本题考查分式方程的解的应用，解题时需注意分式方程分母不为0的隐含条件，避免因忽略该条件导致取值范围不全。
【难度系数】
0.6
