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2. 已知关于 $ x $ 的方程 $ \frac{2ax + 3}{a - x}=\frac{3}{4} $ 的解为 $ x = 1 $，则 $ a $ 为(
A.1
B.3
C.$-1$
D.$-3$
D
)A.1
B.3
C.$-1$
D.$-3$
答案
2. D
解析
【解析】
将$x=1$代入方程$\frac{2ax + 3}{a - x}=\frac{3}{4}$，得：
$\frac{2a×1 + 3}{a - 1}=\frac{3}{4}$
交叉相乘得：
$4(2a + 3)=3(a - 1)$
去括号：
$8a + 12=3a - 3$
移项、合并同类项：
$5a=-15$
解得：$a=-3$
检验：当$a=-3$时，分母$a - x=-3 - 1=-4≠0$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题考查分式方程解的定义，通过将已知解代入原方程，转化为关于参数$a$的一元一次方程求解，求解后需检验分母不为零，确保分式有意义。
【难度系数】
0.8
将$x=1$代入方程$\frac{2ax + 3}{a - x}=\frac{3}{4}$，得：
$\frac{2a×1 + 3}{a - 1}=\frac{3}{4}$
交叉相乘得：
$4(2a + 3)=3(a - 1)$
去括号：
$8a + 12=3a - 3$
移项、合并同类项：
$5a=-15$
解得：$a=-3$
检验：当$a=-3$时，分母$a - x=-3 - 1=-4≠0$，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
分式方程的解，解一元一次方程
【点评】
本题考查分式方程解的定义，通过将已知解代入原方程，转化为关于参数$a$的一元一次方程求解，求解后需检验分母不为零，确保分式有意义。
【难度系数】
0.8
(1) 分式方程 $ \frac{3}{x}=\frac{1}{x - 1} $ 的解为
$ x = \frac{3}{2} $
；答案
3. (1) $ x = \frac{3}{2} $
解析
【解析】
1. 去分母：方程两边同时乘以最简公分母 $x(x - 1)$，得 $3(x - 1) = x$；
2. 去括号：$3x - 3 = x$；
3. 移项、合并同类项：$2x = 3$；
4. 系数化为1：$x = \frac{3}{2}$；
5. 检验：当 $x = \frac{3}{2}$ 时，$x(x - 1) = \frac{3}{2} × (\frac{3}{2} - 1) = \frac{3}{4} ≠ 0$，所以 $x = \frac{3}{2}$ 是原分式方程的解。
【答案】
$x = \frac{3}{2}$
【知识点】
分式方程求解、分式方程验根
【点评】
本题考查分式方程的基本解法，核心是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，需注意解分式方程必须检验所得的根是否为增根。
【难度系数】
0.8
1. 去分母：方程两边同时乘以最简公分母 $x(x - 1)$，得 $3(x - 1) = x$；
2. 去括号：$3x - 3 = x$；
3. 移项、合并同类项：$2x = 3$；
4. 系数化为1：$x = \frac{3}{2}$；
5. 检验：当 $x = \frac{3}{2}$ 时，$x(x - 1) = \frac{3}{2} × (\frac{3}{2} - 1) = \frac{3}{4} ≠ 0$，所以 $x = \frac{3}{2}$ 是原分式方程的解。
【答案】
$x = \frac{3}{2}$
【知识点】
分式方程求解、分式方程验根
【点评】
本题考查分式方程的基本解法，核心是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，需注意解分式方程必须检验所得的根是否为增根。
【难度系数】
0.8
(2) 若分式 $ \frac{4}{3m - 1} $ 的值为 $ \frac{1}{2} $，则 $ m = $
3
.答案
(2) 3
解析
【解析】
根据题意列方程：$\frac{4}{3m - 1} = \frac{1}{2}$，
交叉相乘得：$3m - 1 = 8$，
移项得：$3m = 9$，
解得：$m = 3$，
检验：当$m=3$时，$3m - 1 = 8≠0$，故$m=3$是原方程的解。
【答案】
3
【知识点】
分式方程求解、一元一次方程解法
【点评】
本题考查分式方程的求解，需根据分式的值建立方程，解出后要检验分母不为零以保证解的合理性，题目基础，侧重对基本运算能力的考查。
【难度系数】
0.9
根据题意列方程：$\frac{4}{3m - 1} = \frac{1}{2}$，
交叉相乘得：$3m - 1 = 8$，
移项得：$3m = 9$，
解得：$m = 3$，
检验：当$m=3$时，$3m - 1 = 8≠0$，故$m=3$是原方程的解。
【答案】
3
【知识点】
分式方程求解、一元一次方程解法
【点评】
本题考查分式方程的求解，需根据分式的值建立方程，解出后要检验分母不为零以保证解的合理性，题目基础，侧重对基本运算能力的考查。
【难度系数】
0.9
(1) 分式方程 $ \frac{3}{x}=\frac{1}{x - 1} $ 的解为
$ x = \frac{3}{2} $
；答案
3. (1) $ x = \frac{3}{2} $
解析
【解析】
解：去分母，两边同乘 $x(x - 1)$，得：
$3(x - 1) = x$
展开括号：$3x - 3 = x$
移项、合并同类项：$2x = 3$
解得：$x = \frac{3}{2}$
检验：将 $x = \frac{3}{2}$ 代入 $x(x - 1)$，$\frac{3}{2} × (\frac{3}{2} - 1) = \frac{3}{4} ≠ 0$，故 $x = \frac{3}{2}$ 是原分式方程的解。
【答案】
$x = \frac{3}{2}$
【知识点】
分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程的基础求解，关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解后必须检验根的有效性，排除增根。
【难度系数】
0.8
解：去分母，两边同乘 $x(x - 1)$，得：
$3(x - 1) = x$
展开括号：$3x - 3 = x$
移项、合并同类项：$2x = 3$
解得：$x = \frac{3}{2}$
检验：将 $x = \frac{3}{2}$ 代入 $x(x - 1)$，$\frac{3}{2} × (\frac{3}{2} - 1) = \frac{3}{4} ≠ 0$，故 $x = \frac{3}{2}$ 是原分式方程的解。
【答案】
$x = \frac{3}{2}$
【知识点】
分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程的基础求解，关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解后必须检验根的有效性，排除增根。
【难度系数】
0.8
(2) 若分式 $ \frac{4}{3m - 1} $ 的值为 $ \frac{1}{2} $，则 $ m = $
3
.答案
(2) 3
解析
【解析】
根据题意列方程：$\frac{4}{3m - 1} = \frac{1}{2}$，
交叉相乘得：$3m - 1 = 8$，
移项计算得：$3m = 9$，
解得：$m = 3$，
经检验，$m=3$时分母$3×3 - 1=8≠0$，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
分式方程求解
【点评】
本题考查根据分式的值求字母参数，解题关键是根据题意列出分式方程，求解后需验根，保证分式有意义。
【难度系数】
0.9
根据题意列方程：$\frac{4}{3m - 1} = \frac{1}{2}$，
交叉相乘得：$3m - 1 = 8$，
移项计算得：$3m = 9$，
解得：$m = 3$，
经检验，$m=3$时分母$3×3 - 1=8≠0$，符合题意。
【答案】
3
【知识点】
分式方程求解
【点评】
本题考查根据分式的值求字母参数，解题关键是根据题意列出分式方程，求解后需验根，保证分式有意义。
【难度系数】
0.9
4. 解下列分式方程:
(1) $ \frac{4}{x - 1}=1 $；
(2) $ \frac{3}{x + 1}=\frac{5}{x + 3} $.
(1) $ \frac{4}{x - 1}=1 $；
(2) $ \frac{3}{x + 1}=\frac{5}{x + 3} $.
答案
(1) x = 5 (2) x = 2
解析
【解析】
(1) 方程两边同乘$(x - 1)$，得：
$4 = x - 1$
移项解得：$x = 5$
检验：当$x = 5$时，$x - 1 = 4 ≠ 0$，所以$x = 5$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘$(x + 1)(x + 3)$，得：
$3(x + 3) = 5(x + 1)$
去括号：$3x + 9 = 5x + 5$
移项、合并同类项：$-2x = -4$
解得：$x = 2$
检验：当$x = 2$时，$(x + 1)(x + 3) = 15 ≠ 0$，所以$x = 2$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=5}$；(2) $\boldsymbol{x=2}$
【知识点】
分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程的求解，解分式方程的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解后必须检验，确保分母不为零。
【难度系数】
0.8
(1) 方程两边同乘$(x - 1)$，得：
$4 = x - 1$
移项解得：$x = 5$
检验：当$x = 5$时，$x - 1 = 4 ≠ 0$，所以$x = 5$是原分式方程的解。
(2) 方程两边同乘$(x + 1)(x + 3)$，得：
$3(x + 3) = 5(x + 1)$
去括号：$3x + 9 = 5x + 5$
移项、合并同类项：$-2x = -4$
解得：$x = 2$
检验：当$x = 2$时，$(x + 1)(x + 3) = 15 ≠ 0$，所以$x = 2$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $\boldsymbol{x=5}$；(2) $\boldsymbol{x=2}$
【知识点】
分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程的求解，解分式方程的关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解后必须检验，确保分母不为零。
【难度系数】
0.8
1. 分式方程 $ \frac{1}{x - 2}-\frac{1 - x}{2 - x}=1 $ 的两边同乘 $ (x - 2) $，约去分母，得(
A.$ 1+(1 - x)=x - 2 $
B.$ 1-(1 - x)=x - 2 $
C.$ 1-(1 - x)=1 $
D.$ 1+(1 - x)=1 $
A
)A.$ 1+(1 - x)=x - 2 $
B.$ 1-(1 - x)=x - 2 $
C.$ 1-(1 - x)=1 $
D.$ 1+(1 - x)=1 $
答案
1. A
解析
【解析】
给分式方程两边同乘$(x - 2)$：
左边第一项$\frac{1}{x - 2} × (x - 2) = 1$；
左边第二项$-\frac{1 - x}{2 - x} × (x - 2)$，由于$2 - x = -(x - 2)$，则$\frac{1 - x}{2 - x} × (x - 2) = \frac{1 - x}{-(x - 2)} × (x - 2) = -(1 - x)$，所以该项为$-[-(1 - x)] = 1 - x$；
右边$1 × (x - 2) = x - 2$；
因此约去分母后得到$1 + (1 - x) = x - 2$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母
【点评】
本题考查分式方程去分母的操作，重点在于处理分母互为相反数时的符号问题，需注意符号转换避免出错。
【难度系数】
0.7
给分式方程两边同乘$(x - 2)$：
左边第一项$\frac{1}{x - 2} × (x - 2) = 1$；
左边第二项$-\frac{1 - x}{2 - x} × (x - 2)$，由于$2 - x = -(x - 2)$，则$\frac{1 - x}{2 - x} × (x - 2) = \frac{1 - x}{-(x - 2)} × (x - 2) = -(1 - x)$，所以该项为$-[-(1 - x)] = 1 - x$；
右边$1 × (x - 2) = x - 2$；
因此约去分母后得到$1 + (1 - x) = x - 2$。
【答案】
A
【知识点】
分式方程去分母
【点评】
本题考查分式方程去分母的操作，重点在于处理分母互为相反数时的符号问题，需注意符号转换避免出错。
【难度系数】
0.7
2. 解下列分式方程:
(1) $ \frac{5}{x}=\frac{7}{x - 2} $；
(2) $ \frac{7}{x^2 + x}+\frac{1}{x^2 - x}=\frac{6}{x^2 - 1} $.
(1) $ \frac{5}{x}=\frac{7}{x - 2} $；
(2) $ \frac{7}{x^2 + x}+\frac{1}{x^2 - x}=\frac{6}{x^2 - 1} $.
答案
2. (1) $ x = -5 $ (2) $ x = 3 $
解析
【解析】
(1) 方程两边同乘$x(x-2)$，得：
$5(x-2)=7x$
去括号：$5x-10=7x$
移项合并同类项：$-2x=10$
解得：$x=-5$
检验：当$x=-5$时，$x(x-2)=(-5)×(-7)=35≠0$，故$x=-5$是原分式方程的解。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，最简公分母为$x(x+1)(x-1)$。
方程两边同乘$x(x+1)(x-1)$，得：
$7(x-1)+(x+1)=6x$
去括号：$7x-7+x+1=6x$
移项合并同类项：$2x=6$
解得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$x(x+1)(x-1)=3×4×2=24≠0$，故$x=3$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $x=-5$；(2) $x=3$
【知识点】
分式方程求解，因式分解，分式方程验根
【点评】
解分式方程的关键是确定最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，求解后必须检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
(1) 方程两边同乘$x(x-2)$，得：
$5(x-2)=7x$
去括号：$5x-10=7x$
移项合并同类项：$-2x=10$
解得：$x=-5$
检验：当$x=-5$时，$x(x-2)=(-5)×(-7)=35≠0$，故$x=-5$是原分式方程的解。
(2) 先对分母因式分解：
$x^2+x=x(x+1)$，$x^2-x=x(x-1)$，$x^2-1=(x+1)(x-1)$，最简公分母为$x(x+1)(x-1)$。
方程两边同乘$x(x+1)(x-1)$，得：
$7(x-1)+(x+1)=6x$
去括号：$7x-7+x+1=6x$
移项合并同类项：$2x=6$
解得：$x=3$
检验：当$x=3$时，$x(x+1)(x-1)=3×4×2=24≠0$，故$x=3$是原分式方程的解。
【答案】
(1) $x=-5$；(2) $x=3$
【知识点】
分式方程求解，因式分解，分式方程验根
【点评】
解分式方程的关键是确定最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，求解后必须检验，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
3. 王老师提出一个问题:已知关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{a}{x - 4}=1 $ 的解为正数，求 $ a $ 的取值范围.
小杰说:“解这个关于 $ x $ 的分式方程，得 $ x = a + 4 $. 由题意可得 $ a + 4＞0 $，所以 $ a＞-4 $.”
小哲说:“你考虑得不全面，还必须保证 $ x≠4 $，即 $ a + 4≠4 $ 才行.”
(1)
(2) 参考对上述问题的讨论，解决下面的问题:
若关于 $ x $ 的方程 $ \frac{m}{x - 3}-\frac{x}{3 - x}=2 $ 的解为非负数，求 $ m $ 的取值范围.
小杰说:“解这个关于 $ x $ 的分式方程，得 $ x = a + 4 $. 由题意可得 $ a + 4＞0 $，所以 $ a＞-4 $.”
小哲说:“你考虑得不全面，还必须保证 $ x≠4 $，即 $ a + 4≠4 $ 才行.”
(1)
小哲
的说法是正确的，理由是分式的分母不能为 0
.(2) 参考对上述问题的讨论，解决下面的问题:
若关于 $ x $ 的方程 $ \frac{m}{x - 3}-\frac{x}{3 - x}=2 $ 的解为非负数，求 $ m $ 的取值范围.
答案
3. (1) 小哲 分式的分母不能为 0 (2) $ m ≥ -6 $且 $ m ≠ -3 $
解析
【解析】
(1) 解分式方程时，除了要保证解满足题目要求，还必须保证原分式方程的分母不为0，否则分式无意义，因此小哲的说法正确。
(2) 求解步骤如下：
1. 将方程变形：$\frac{m}{x - 3}-\frac{x}{3 - x}=2$可化为$\frac{m}{x - 3}+\frac{x}{x - 3}=2$；
2. 方程两边同乘$(x - 3)$去分母得：$m + x = 2(x - 3)$；
3. 去括号、移项合并同类项得：$x = m + 6$；
4. 由方程的解为非负数，得$x ≥ 0$，即$m + 6 ≥ 0$，解得$m ≥ -6$；
5. 又因为分式分母不能为0，即$x ≠ 3$，所以$m + 6 ≠ 3$，解得$m ≠ -3$；
综上，$m$的取值范围是$m ≥ -6$且$m ≠ -3$。
【答案】
(1) 小哲；分式的分母不能为0
(2) $m ≥ -6$且$m ≠ -3$
【知识点】
分式方程的解、分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式方程解的应用，需同时兼顾解满足题目要求的取值范围和分式分母不为0的条件，避免忽略分母为0的情况导致错误。
【难度系数】
0.6
(1) 解分式方程时，除了要保证解满足题目要求，还必须保证原分式方程的分母不为0，否则分式无意义，因此小哲的说法正确。
(2) 求解步骤如下：
1. 将方程变形：$\frac{m}{x - 3}-\frac{x}{3 - x}=2$可化为$\frac{m}{x - 3}+\frac{x}{x - 3}=2$；
2. 方程两边同乘$(x - 3)$去分母得：$m + x = 2(x - 3)$；
3. 去括号、移项合并同类项得：$x = m + 6$；
4. 由方程的解为非负数，得$x ≥ 0$，即$m + 6 ≥ 0$，解得$m ≥ -6$；
5. 又因为分式分母不能为0，即$x ≠ 3$，所以$m + 6 ≠ 3$，解得$m ≠ -3$；
综上，$m$的取值范围是$m ≥ -6$且$m ≠ -3$。
【答案】
(1) 小哲；分式的分母不能为0
(2) $m ≥ -6$且$m ≠ -3$
【知识点】
分式方程的解、分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式方程解的应用，需同时兼顾解满足题目要求的取值范围和分式分母不为0的条件，避免忽略分母为0的情况导致错误。
【难度系数】
0.6
