例 1 如图 8.2.9，在正方形 $ABCD$ 中，点 $E$ 在边 $BC$ 上，延长 $CD$ 到点 $F$，使 $DF = BE$，连接 $AF$，$EF$.若 $AE = 1$，求 $EF$ 的长.

解：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB=AD$，$∠ ABC=∠ ADC=90°$，
∴ $∠ ADF=180°-∠ ADC=90°$，
∴ $∠ ABC=∠ ADF$。
在$△ ABE$和$△ ADF$中，
$\begin{cases}AB=AD\\∠ ABE=∠ ADF\\BE=DF\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ ADF$（$\mathrm{SAS}$）。
∴ $AE=AF$，$∠ BAE=∠ DAF$。
∵ $∠ BAE+∠ DAE=90°$，
∴ $∠ DAF+∠ DAE=90°$，即$∠ EAF=90°$。
∴ $△ EAF$是等腰直角三角形。
∵ $AE=1$，
∴ $EF=\sqrt{2}AE=\sqrt{2}×1=\sqrt{2}$。

例 2 如图 8.2.10，在 $△ ABC$ 中，$∠ C = 90°$，$∠ BAC$，$∠ ABC$ 的平分线相交于点 $D$，$DE⊥ BC$，$DF⊥ AC$，垂足分别为 $E$，$F$.求证：四边形 $CEDF$ 是正方形.

证明：
∵ ∠C = 90°，$DE⊥BC$，$DF⊥AC$，
∴ $∠DEC = ∠DFC = ∠C = 90°$，
∴ 四边形$CEDF$是矩形（三个角是直角的四边形是矩形）。
∵ 点$D$是$∠BAC$和$∠ABC$平分线的交点，$DE⊥BC$，$DF⊥AC$，
∴ $DE = DF$（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴ 矩形$CEDF$是正方形（一组邻边相等的矩形是正方形）。

1. 下列说法不正确的是 ()

A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B.对角线相等的菱形是正方形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形
D.正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形

A

逐一分析各选项：
1. 选项A：对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，因此不一定是正方形，该说法错误；
2. 选项B：菱形对角线互相垂直，若对角线相等，则符合正方形的判定，该说法正确；
3. 选项C：矩形对角线相等，若对角线互相垂直，则符合正方形的判定，该说法正确；
4. 选项D：正方形兼具矩形和菱形的特性，既是特殊的矩形又是特殊的菱形，该说法正确。
综上，说法不正确的是选项A。

2. 如图，在正方形 $ABCD$ 的外侧，以 $DC$ 为边作等边三角形 $DCE$，连接 $AE$，$AC$，则 $∠ EAC$ 的度数为 ()

A.$15°$
B.$20°$
C.$30°$
D.$35°$

C

1. 四边形ABCD是正方形，故AD=DC，∠ADC=90°，∠DAC=45°。
2. △DCE是等边三角形，故DC=DE，∠CDE=60°，可得AD=DE，∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°+60°=150°。
3. 在等腰△ADE中，∠DAE=(180°-∠ADE)÷2=(180°-150°)÷2=15°。
4. 因此∠EAC=∠DAC - ∠DAE=45°-15°=30°。