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4. 一辆汽车在行驶过程中，其行驶路程 $ y $(单位：$ \mathrm{km} $)与行驶时间 $ x $(单位：$ \mathrm{h} $)之间的函数关系如图所示.当 $ 0 ≤ x ≤ 0.5 $ 时，$ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式为 $ y = 60x $.当 $ 0.5 ＜ x ≤ 2 $ 时，$ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式是()
A.$ y = 75x $
B.$ y = 70x + 10 $
C.$ y = 80x - 10 $
D.$ y = 85x - 20 $
A.$ y = 75x $
B.$ y = 70x + 10 $
C.$ y = 80x - 10 $
D.$ y = 85x - 20 $
答案
C
解析
根据图可知，当$x = 0.5$时，$y = 60 × 0.5 = 30$，
当$0.5 ＜ x ≤ 2$时，为一条直线，在直线上的点有$(0.5,30)$和$(2,150)$，
设当$0.5 ＜ x ≤ 2$时，$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b$，
把$(0.5,30)$和$(2,150)$代入$y = kx + b$，
得$\begin{cases}0.5k + b = 30, \\2k + b = 150.\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$b$：
$(2k + b) - (0.5k + b) = 150 - 30$
$1.5k = 120$
$k = 80$
将$k = 80$代入$0.5k + b = 30$：
$0.5 × 80 + b = 30$
$40 + b = 30$
$b = -10$
所以，当$0.5 ＜ x ≤ 2$时，$y$与$x$之间的函数解析式为$y = 80x - 10$。
当$0.5 ＜ x ≤ 2$时，为一条直线，在直线上的点有$(0.5,30)$和$(2,150)$，
设当$0.5 ＜ x ≤ 2$时，$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b$，
把$(0.5,30)$和$(2,150)$代入$y = kx + b$，
得$\begin{cases}0.5k + b = 30, \\2k + b = 150.\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$b$：
$(2k + b) - (0.5k + b) = 150 - 30$
$1.5k = 120$
$k = 80$
将$k = 80$代入$0.5k + b = 30$：
$0.5 × 80 + b = 30$
$40 + b = 30$
$b = -10$
所以，当$0.5 ＜ x ≤ 2$时，$y$与$x$之间的函数解析式为$y = 80x - 10$。
5. 已知一条直线经过点 $ (2,-1) $，且与直线 $ y = -3x + 1 $ 平行，则这条直线的函数解析式为.
答案
设所求直线的解析式为 $y = kx + b$（其中 $k ≠ 0$）。
由于所求直线与直线 $y = -3x + 1$ 平行，根据平行直线的性质，两直线的斜率必须相等。
因此，有 $k = -3$。
将 $k = -3$ 代入所求直线的解析式，得到 $y = -3x + b$。
接下来，使用给定的点 $(2, -1)$ 来确定 $b$ 的值。
将点 $(2, -1)$ 代入 $y = -3x + b$，得到：
$-1 = -3 × 2 + b$，
$-1 = -6 + b$，
$b = 5$。
因此，所求直线的解析式为 $y = -3x + 5$。
由于所求直线与直线 $y = -3x + 1$ 平行，根据平行直线的性质，两直线的斜率必须相等。
因此，有 $k = -3$。
将 $k = -3$ 代入所求直线的解析式，得到 $y = -3x + b$。
接下来，使用给定的点 $(2, -1)$ 来确定 $b$ 的值。
将点 $(2, -1)$ 代入 $y = -3x + b$，得到：
$-1 = -3 × 2 + b$，
$-1 = -6 + b$，
$b = 5$。
因此，所求直线的解析式为 $y = -3x + 5$。
6. 已知一次函数的图象过点 $ (3,5) $ 与 $ (-4,-9) $，则该函数的图象与 $ y $ 轴交点的坐标为.
答案
设该一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k≠0$）。
因为函数图象过点$(3,5)$与$(-4,-9)$，所以将这两点代入解析式可得：
$\begin{cases}3k + b = 5 \\-4k + b = -9\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$：
$(3k + b) - (-4k + b) = 5 - (-9)$
$3k + b + 4k - b = 14$
$7k = 14$
解得$k = 2$。
将$k = 2$代入$3k + b = 5$：
$3×2 + b = 5$
$6 + b = 5$
解得$b = -1$。
所以一次函数的解析式为$y = 2x - 1$。
当$x = 0$时，$y = 2×0 - 1 = -1$，所以该函数的图象与$y$轴交点的坐标为$(0,-1)$。
$(0,-1)$
因为函数图象过点$(3,5)$与$(-4,-9)$，所以将这两点代入解析式可得：
$\begin{cases}3k + b = 5 \\-4k + b = -9\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程消去$b$：
$(3k + b) - (-4k + b) = 5 - (-9)$
$3k + b + 4k - b = 14$
$7k = 14$
解得$k = 2$。
将$k = 2$代入$3k + b = 5$：
$3×2 + b = 5$
$6 + b = 5$
解得$b = -1$。
所以一次函数的解析式为$y = 2x - 1$。
当$x = 0$时，$y = 2×0 - 1 = -1$，所以该函数的图象与$y$轴交点的坐标为$(0,-1)$。
$(0,-1)$
7. 某种商品的销售额 $ y $(单位：万元)与广告投入 $ x $(单位：万元)成一次函数关系.当投入 $ 10 $ 万元时，销售额为 $ 1000 $ 万元；当投入 $ 90 $ 万元时，销售额为 $ 5000 $ 万元.若投入 $ 80 $ 万元，则销售额为万元.
答案
设 $y = kx + b$（其中 $k ≠ 0$）。
根据题意，当 $x = 10$ 时，$y = 1000$；当 $x = 90$ 时，$y = 5000$。
代入得：
$\begin{cases}10k + b = 1000, \\90k + b = 5000.\end{cases}$
两式相减，消去 $b$，得到：
$80k = 4000 \implies k = 50$，
将 $k = 50$ 代入 $10k + b = 1000$，解得：
$b = 1000 - 500 = 500$，
因此，一次函数的解析式为 $y = 50x + 500$。
当 $x = 80$ 时，代入解析式得：
$y = 50 × 80 + 500 = 4500$。
故答案为：$4500$。
根据题意，当 $x = 10$ 时，$y = 1000$；当 $x = 90$ 时，$y = 5000$。
代入得：
$\begin{cases}10k + b = 1000, \\90k + b = 5000.\end{cases}$
两式相减，消去 $b$，得到：
$80k = 4000 \implies k = 50$，
将 $k = 50$ 代入 $10k + b = 1000$，解得：
$b = 1000 - 500 = 500$，
因此，一次函数的解析式为 $y = 50x + 500$。
当 $x = 80$ 时，代入解析式得：
$y = 50 × 80 + 500 = 4500$。
故答案为：$4500$。
8. 已知一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过点 $ (1,3) $ 和 $ (-1,2) $，则 $ k^{2} - b^{2} $ 的值为.
答案
将点$(1,3)$和$(-1,2)$代入$y = kx + b$，得：
$\begin{cases}k + b = 3 \\-k + b = 2\end{cases}$
两式相加：$2b = 5$，解得$b = \frac{5}{2}$
两式相减：$2k = 1$，解得$k = \frac{1}{2}$
$k^2 - b^2=(k + b)(k - b)=3×(\frac{1}{2}-\frac{5}{2})=3×(-2)=-6$
$-6$
$\begin{cases}k + b = 3 \\-k + b = 2\end{cases}$
两式相加：$2b = 5$，解得$b = \frac{5}{2}$
两式相减：$2k = 1$，解得$k = \frac{1}{2}$
$k^2 - b^2=(k + b)(k - b)=3×(\frac{1}{2}-\frac{5}{2})=3×(-2)=-6$
$-6$
9. 研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积 $ y $(单位：$ \mathrm{L} $)与气体温度 $ x $(单位：$ {\hspace{0pt}}^{\circ }C $)成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表.
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式；
(2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到 $ 700 \mathrm{ L} $ 时停止加热.求停止加热时的气体温度.
(1)求 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式；
(2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到 $ 700 \mathrm{ L} $ 时停止加热.求停止加热时的气体温度.
答案
(1) 设 $y$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y = kx + b$。
根据表格中的数据，选择两组数据代入方程，即当 $x = 25, y = 596$ 和 $x = 30, y = 606$，得到以下方程组：
$\begin{cases}25k + b = 596, \\30k + b = 606.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = \frac{606 - 596}{30 - 25} = 2, \\b = 596 - 25 × 2 = 546.\end{cases}$
因此，$y$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y = 2x + 546$。
(2) 将 $y = 700$ 代入 $y = 2x + 546$，得到：
$700 = 2x + 546$，
解得$x = 77$。
因此，停止加热时的气体温度为 $77^{\circ}C$。
根据表格中的数据，选择两组数据代入方程，即当 $x = 25, y = 596$ 和 $x = 30, y = 606$，得到以下方程组：
$\begin{cases}25k + b = 596, \\30k + b = 606.\end{cases}$
解得$\begin{cases}k = \frac{606 - 596}{30 - 25} = 2, \\b = 596 - 25 × 2 = 546.\end{cases}$
因此，$y$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y = 2x + 546$。
(2) 将 $y = 700$ 代入 $y = 2x + 546$，得到：
$700 = 2x + 546$，
解得$x = 77$。
因此，停止加热时的气体温度为 $77^{\circ}C$。
