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1. 下列结论中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是(
A.对边平行且相等
B.邻边相等
C.对角线相等
D.面积等于对角线乘积的一半
C
)A.对边平行且相等
B.邻边相等
C.对角线相等
D.面积等于对角线乘积的一半
答案
1. C
解析
【解析】
逐一分析各选项：
A. 正方形和菱形均为平行四边形，都具备对边平行且相等的性质，不符合题意；
B. 菱形的定义为邻边相等的平行四边形，正方形是特殊的菱形，也满足邻边相等，不符合题意；
C. 菱形的对角线互相垂直但不一定相等，正方形的对角线相等且互相垂直，该性质正方形具有而菱形不一定具有，符合题意；
D. 由于菱形和正方形的对角线均互相垂直，它们的面积都等于对角线乘积的一半，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、菱形的性质
【点评】
本题考查正方形与菱形的性质差异，需准确区分两者的共性与特性，牢记特殊四边形的性质是解题关键。
【难度系数】
0.8
逐一分析各选项：
A. 正方形和菱形均为平行四边形，都具备对边平行且相等的性质，不符合题意；
B. 菱形的定义为邻边相等的平行四边形，正方形是特殊的菱形，也满足邻边相等，不符合题意；
C. 菱形的对角线互相垂直但不一定相等，正方形的对角线相等且互相垂直，该性质正方形具有而菱形不一定具有，符合题意；
D. 由于菱形和正方形的对角线均互相垂直，它们的面积都等于对角线乘积的一半，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质、菱形的性质
【点评】
本题考查正方形与菱形的性质差异，需准确区分两者的共性与特性，牢记特殊四边形的性质是解题关键。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2)，线段AB向上平移后，点A和点B的对应点分别为点A'和点B'，若四边形ABB'A'是正方形，则点A'的坐标为(
A.(0,4)
B.(0,6)
C.(0,−2)
D.(0,−4)
B
)A.(0,4)
B.(0,6)
C.(0,−2)
D.(0,−4)
答案
2. B
解析
【解析】
已知点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2)，可得AB的长度为4-0=4。
因为四边形ABB'A'是正方形，所以线段AB向上平移的距离等于AB的长度，即4个单位。
点A向上平移4个单位，横坐标不变，纵坐标为2+4=6，因此点A'的坐标为(0,6)。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形平移，正方形的性质
【点评】
本题主要考查平移的性质及正方形的边长特征，解题关键是根据正方形的边长确定平移的距离。
【难度系数】
0.8
已知点A的坐标为(0,2)，点B的坐标为(4,2)，可得AB的长度为4-0=4。
因为四边形ABB'A'是正方形，所以线段AB向上平移的距离等于AB的长度，即4个单位。
点A向上平移4个单位，横坐标不变，纵坐标为2+4=6，因此点A'的坐标为(0,6)。
【答案】
B
【知识点】
坐标与图形平移，正方形的性质
【点评】
本题主要考查平移的性质及正方形的边长特征，解题关键是根据正方形的边长确定平移的距离。
【难度系数】
0.8
3. 如图，四边形ABCD为菱形，四边形AECF为正方形，若∠BAE=20°，则∠D=(
A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
C
)A.40°
B.45°
C.50°
D.55°
答案
3. C
解析
【解析】
因为四边形AECF是正方形，所以∠EAC=45°。
已知∠BAE=20°，则∠BAC=∠BAE+∠EAC=20°+45°=65°。
因为四边形ABCD是菱形，所以∠BAD=2∠BAC=2×65°=130°。
又因为菱形中邻角互补，即∠BAD+∠D=180°，所以∠D=180°-130°=50°。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，正方形的性质
【点评】
本题综合考查菱形与正方形的性质，需熟练运用正方形对角线平分内角、菱形对角线平分内角及邻角互补的性质求解角度。
【难度系数】
0.6
因为四边形AECF是正方形，所以∠EAC=45°。
已知∠BAE=20°，则∠BAC=∠BAE+∠EAC=20°+45°=65°。
因为四边形ABCD是菱形，所以∠BAD=2∠BAC=2×65°=130°。
又因为菱形中邻角互补，即∠BAD+∠D=180°，所以∠D=180°-130°=50°。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质，正方形的性质
【点评】
本题综合考查菱形与正方形的性质，需熟练运用正方形对角线平分内角、菱形对角线平分内角及邻角互补的性质求解角度。
【难度系数】
0.6
4. 如图，已知E是平行四边形ABCD的边AD上一点，四边形CEFG为正方形。若∠ECD=40°，∠AEF=15°，则∠B的度数为(
A.75°
B.65°
C.55°
D.45°
B
)A.75°
B.65°
C.55°
D.45°
答案
4. B
解析
【解析】
因为四边形CEFG是正方形，所以∠CEF=90°。
已知∠AEF=15°，则∠CED=180°-∠AEF-∠CEF=180°-15°-90°=75°。
在△CDE中，根据三角形内角和为180°，可得∠D=180°-∠CED-∠ECD=180°-75°-40°=65°。
又因为四边形ABCD是平行四边形，平行四边形对角相等，所以∠B=∠D=65°。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；平行四边形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查正方形、平行四边形的性质及三角形内角和定理，解题关键是利用角的和差关系及三角形内角和求出∠D的度数，再结合平行四边形对角相等得到∠B的度数。
【难度系数】
0.65
因为四边形CEFG是正方形，所以∠CEF=90°。
已知∠AEF=15°，则∠CED=180°-∠AEF-∠CEF=180°-15°-90°=75°。
在△CDE中，根据三角形内角和为180°，可得∠D=180°-∠CED-∠ECD=180°-75°-40°=65°。
又因为四边形ABCD是平行四边形，平行四边形对角相等，所以∠B=∠D=65°。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；平行四边形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查正方形、平行四边形的性质及三角形内角和定理，解题关键是利用角的和差关系及三角形内角和求出∠D的度数，再结合平行四边形对角相等得到∠B的度数。
【难度系数】
0.65
5. 正方形对角线长为8，则正方形的边长为
$4\sqrt{2}$
。答案
5. $4\sqrt{2}$
解析
【解析】
设正方形的边长为$ a $，正方形的对角线与两条邻边构成等腰直角三角形，根据勾股定理可得：
$ a^2 + a^2 = 8^2 $
化简得：$ 2a^2 = 64 $，即$ a^2 = 32 $
由于边长为正数，因此$ a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $。
【答案】
$ 4\sqrt{2} $
【知识点】
正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题考查正方形性质与勾股定理的综合应用，通过对角线长度求边长，需注意边长为正数，解题关键是利用等腰直角三角形的勾股定理建立等式。
【难度系数】
0.8
设正方形的边长为$ a $，正方形的对角线与两条邻边构成等腰直角三角形，根据勾股定理可得：
$ a^2 + a^2 = 8^2 $
化简得：$ 2a^2 = 64 $，即$ a^2 = 32 $
由于边长为正数，因此$ a = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} $。
【答案】
$ 4\sqrt{2} $
【知识点】
正方形的性质、勾股定理
【点评】
本题考查正方形性质与勾股定理的综合应用，通过对角线长度求边长，需注意边长为正数，解题关键是利用等腰直角三角形的勾股定理建立等式。
【难度系数】
0.8
6. 如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，菱形BEFD的对角线BF交CD于点P，则∠FPC的度数是
$112.5°$
。答案
6. $112.5°$
解析
【解析】
1. 正方形ABCD中，BD为对角线，故∠BDC=45°，∠CDF=90°，∠DBC=45°。
2. 菱形BEFD中，BD=DF，BF平分∠BDF，因此∠DBF=∠DFB。
3. 计算∠BDF：∠BDF=∠BDC+∠CDF=45°+90°=135°。
4. 在△BDF中，由三角形内角和定理，∠DBF=(180°-135°)÷2=22.5°。
5. 在△BPD中，∠BPD=180°-∠BDC-∠DBF=180°-45°-22.5°=112.5°。
6. 由于∠FPC与∠BPD是对顶角，故∠FPC=∠BPD=112.5°。
【答案】
$112.5°$
【知识点】
正方形的性质、菱形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查特殊四边形的性质与三角形内角和定理，需熟练掌握正方形、菱形的对角线及内角特征，结合对顶角相等推导角度，关键是逐步拆解相关角的数量关系。
【难度系数】
0.6
1. 正方形ABCD中，BD为对角线，故∠BDC=45°，∠CDF=90°，∠DBC=45°。
2. 菱形BEFD中，BD=DF，BF平分∠BDF，因此∠DBF=∠DFB。
3. 计算∠BDF：∠BDF=∠BDC+∠CDF=45°+90°=135°。
4. 在△BDF中，由三角形内角和定理，∠DBF=(180°-135°)÷2=22.5°。
5. 在△BPD中，∠BPD=180°-∠BDC-∠DBF=180°-45°-22.5°=112.5°。
6. 由于∠FPC与∠BPD是对顶角，故∠FPC=∠BPD=112.5°。
【答案】
$112.5°$
【知识点】
正方形的性质、菱形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查特殊四边形的性质与三角形内角和定理，需熟练掌握正方形、菱形的对角线及内角特征，结合对顶角相等推导角度，关键是逐步拆解相关角的数量关系。
【难度系数】
0.6
7. 如图，点E在正方形ABCD的边BC上，点F在BC的延长线上，连接AE，DF，AE=DF。求证：BE=CF。
答案
7. 证明：因为四边形ABCD为正方形，所以$AB=CD$，$∠ABC=∠DCB=90°$，所以$∠DCF=180°-∠DCB=90°$，所以$△ABE$和$△DCF$是直角三角形。在$Rt△ABE$和$Rt△DCF$中，$\{\begin{array}{l} AE=DF,\\ AB=DC,\end{array} $所以$Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)$，所以$BE=CF$。
解析
【解析】
证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴$AB=CD$，$∠ABC=∠DCB=90°$，
∴$∠DCF=180°-∠DCB=90°$，
∴$△ABE$和$△DCF$是直角三角形。
在$Rt△ABE$和$Rt△DCF$中，
$\{\begin{array}{l} AE=DF,\\ AB=DC,\end{array} $
∴$Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)$，
∴$BE=CF$。
【答案】
$BE=CF$得证
【知识点】
正方形的性质，HL判定全等，全等三角形性质
【点评】
本题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定及性质，解题关键是通过正方形的性质得到证明直角三角形全等的条件，利用HL定理证明三角形全等，进而推出线段相等。
【难度系数】
0.8
证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴$AB=CD$，$∠ABC=∠DCB=90°$，
∴$∠DCF=180°-∠DCB=90°$，
∴$△ABE$和$△DCF$是直角三角形。
在$Rt△ABE$和$Rt△DCF$中，
$\{\begin{array}{l} AE=DF,\\ AB=DC,\end{array} $
∴$Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)$，
∴$BE=CF$。
【答案】
$BE=CF$得证
【知识点】
正方形的性质，HL判定全等，全等三角形性质
【点评】
本题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定及性质，解题关键是通过正方形的性质得到证明直角三角形全等的条件，利用HL定理证明三角形全等，进而推出线段相等。
【难度系数】
0.8
8. 如图，正方形ABCD的两条对角线相交于点O，E是线段OD上一点，连接EC，过点B作BF⊥CE于点F，交OC于点G。若OB=√2，BF是∠DBC的平分线，求OE的长。
答案
8. 解：$OE=2-\sqrt{2}$。
解析
【解析】
1. 由正方形的性质可知，对角线互相垂直平分且相等，故$OB=OC=OD=\sqrt{2}$，$∠ BOC=∠ COE=90°$，$∠ OBC=45°$。
2. 计算正方形边长$BC$：$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$。
3. 因为$BF$平分$∠ DBC$且$BF⊥ CE$，结合$BF=BF$，可证$△ BFC≌△ BFE$（ASA），得$BC=BE=2$。
4. 由$BE=BO+OE$，代入$BO=\sqrt{2}$，$BE=2$，得$OE=BE-BO=2-\sqrt{2}$。
【答案】
$2-\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题考查正方形性质、全等三角形判定与性质的综合运用，解题关键是利用角平分线与垂线的组合得到等腰三角形，实现线段长度的转化。
【难度系数】
0.4
1. 由正方形的性质可知，对角线互相垂直平分且相等，故$OB=OC=OD=\sqrt{2}$，$∠ BOC=∠ COE=90°$，$∠ OBC=45°$。
2. 计算正方形边长$BC$：$BC=\sqrt{OB^2+OC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$。
3. 因为$BF$平分$∠ DBC$且$BF⊥ CE$，结合$BF=BF$，可证$△ BFC≌△ BFE$（ASA），得$BC=BE=2$。
4. 由$BE=BO+OE$，代入$BO=\sqrt{2}$，$BE=2$，得$OE=BE-BO=2-\sqrt{2}$。
【答案】
$2-\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质
【点评】
本题考查正方形性质、全等三角形判定与性质的综合运用，解题关键是利用角平分线与垂线的组合得到等腰三角形，实现线段长度的转化。
【难度系数】
0.4
