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变式训练
1. 如图，正方形ABCD的边长为1，点E在AB延长线上，且BE=√2，求∠E的度数。
1. 如图，正方形ABCD的边长为1，点E在AB延长线上，且BE=√2，求∠E的度数。
答案
变式训练
1. 解：$∠E=22.5°$。
1. 解：$∠E=22.5°$。
解析
【解析】
连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，边长为1，
∴∠ABD=45°，由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
又
∵$BE=\sqrt{2}$，
∴$BD=BE$，
∴$∠E=∠BDE$，
∵∠ABD是△BDE的外角，
∴$∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E$，
∴$∠E=45°÷2=22.5°$。
【答案】
$\boldsymbol{22.5°}$
【知识点】
正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质
【点评】
本题通过构造辅助线BD，结合正方形性质求出BD的长度，得到等腰三角形，再利用三角形外角性质建立角度关系求解，关键是发现BD与BE的等量关系，实现角度的转化。
【难度系数】
0.6
连接BD，
∵四边形ABCD是正方形，边长为1，
∴∠ABD=45°，由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
又
∵$BE=\sqrt{2}$，
∴$BD=BE$，
∴$∠E=∠BDE$，
∵∠ABD是△BDE的外角，
∴$∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E$，
∴$∠E=45°÷2=22.5°$。
【答案】
$\boldsymbol{22.5°}$
【知识点】
正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质
【点评】
本题通过构造辅助线BD，结合正方形性质求出BD的长度，得到等腰三角形，再利用三角形外角性质建立角度关系求解，关键是发现BD与BE的等量关系，实现角度的转化。
【难度系数】
0.6
【例2】如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF，CE与DF交于点O。
(1)求证：CE=DF。
(2)求证：CE⊥DF。
思路分析
思考1：△BEC和△CFD是什么关系？
思考2：(1)∠DFC+∠FDC=
(2)∠FOC=
证明：
(1)求证：CE=DF。
(2)求证：CE⊥DF。
思路分析
思考1：△BEC和△CFD是什么关系？
思考2：(1)∠DFC+∠FDC=
90
°。(2)∠FOC=
90
°。证明：
答案
【例2】
思路分析
思考1：全等。
思考2：90 90
证明：（1）因为四边形ABCD为正方形，所以$AB=BC=DC$，$∠ABC=∠FCD=90°$。因为E是边AB的中点，F是边BC的中点，所以$BE=\frac{1}{2}AB$，$FC=\frac{1}{2}BC$，所以$BE=FC$。在$△BEC$和$△CFD$中，$\{\begin{array}{l} BE=CF,\\ ∠EBC=∠FCD,\\ BC=CD,\end{array} $所以$△BEC≌△CFD(SAS)$，所以$CE=DF$。
（2）由（1），得$△BEC≌△CFD$，所以$∠FDC=∠BCE$。因为$∠FCD=90°$，所以$∠DFC+∠FDC=90°$，所以$∠DFC+∠BCE=90°$，所以$∠FOC=90°$，所以$CE⊥DF$。
思路分析
思考1：全等。
思考2：90 90
证明：（1）因为四边形ABCD为正方形，所以$AB=BC=DC$，$∠ABC=∠FCD=90°$。因为E是边AB的中点，F是边BC的中点，所以$BE=\frac{1}{2}AB$，$FC=\frac{1}{2}BC$，所以$BE=FC$。在$△BEC$和$△CFD$中，$\{\begin{array}{l} BE=CF,\\ ∠EBC=∠FCD,\\ BC=CD,\end{array} $所以$△BEC≌△CFD(SAS)$，所以$CE=DF$。
（2）由（1），得$△BEC≌△CFD$，所以$∠FDC=∠BCE$。因为$∠FCD=90°$，所以$∠DFC+∠FDC=90°$，所以$∠DFC+∠BCE=90°$，所以$∠FOC=90°$，所以$CE⊥DF$。
解析
【解析】
思路分析
思考1：△BEC和△CFD是全等关系。
思考2：(1)∠DFC+∠FDC=90°；(2)∠FOC=90°。
证明：
（1）因为四边形ABCD为正方形，所以$AB=BC=DC$，$∠ABC=∠FCD=90°$。
因为E是边AB的中点，F是边BC的中点，所以$BE=\frac{1}{2}AB$，$FC=\frac{1}{2}BC$，所以$BE=FC$。
在$△BEC$和$△CFD$中，
$\{\begin{array}{l} BE=CF,\\ ∠EBC=∠FCD,\\ BC=CD,\end{array} $
所以$△BEC≌△CFD(SAS)$，所以$CE=DF$。
（2）由（1）得$△BEC≌△CFD$，所以$∠FDC=∠BCE$。
因为$∠FCD=90°$，所以$∠DFC+∠FDC=90°$，所以$∠DFC+∠BCE=90°$，所以$∠FOC=90°$，所以$CE⊥DF$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 证明见上述解析；思路分析：思考1：全等；思考2：90，90
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题借助正方形的性质与中点条件证明三角形全等，再利用全等三角形的性质完成线段相等与垂直的证明，考查了对正方形性质和全等三角形知识的综合运用能力，是典型的几何证明题。
【难度系数】
0.6
思路分析
思考1：△BEC和△CFD是全等关系。
思考2：(1)∠DFC+∠FDC=90°；(2)∠FOC=90°。
证明：
（1）因为四边形ABCD为正方形，所以$AB=BC=DC$，$∠ABC=∠FCD=90°$。
因为E是边AB的中点，F是边BC的中点，所以$BE=\frac{1}{2}AB$，$FC=\frac{1}{2}BC$，所以$BE=FC$。
在$△BEC$和$△CFD$中，
$\{\begin{array}{l} BE=CF,\\ ∠EBC=∠FCD,\\ BC=CD,\end{array} $
所以$△BEC≌△CFD(SAS)$，所以$CE=DF$。
（2）由（1）得$△BEC≌△CFD$，所以$∠FDC=∠BCE$。
因为$∠FCD=90°$，所以$∠DFC+∠FDC=90°$，所以$∠DFC+∠BCE=90°$，所以$∠FOC=90°$，所以$CE⊥DF$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 证明见上述解析；思路分析：思考1：全等；思考2：90，90
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直的判定
【点评】
本题借助正方形的性质与中点条件证明三角形全等，再利用全等三角形的性质完成线段相等与垂直的证明，考查了对正方形性质和全等三角形知识的综合运用能力，是典型的几何证明题。
【难度系数】
0.6
变式训练
2. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，DC上的点，且BE=DF。连接AE，AF，过点F作AE的垂线，交AB于点H，连接EH。
（1）求证：AE=HF。
（2）请写出AH与BE之间的数量关系并证明。
2. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，DC上的点，且BE=DF。连接AE，AF，过点F作AE的垂线，交AB于点H，连接EH。
（1）求证：AE=HF。
（2）请写出AH与BE之间的数量关系并证明。
答案
变式训练
2. （1）证明：如图，过点F作$FK⊥AB$于点K。
所以$∠FKH=∠FKA=90°$。因为四边形ABCD是正方形，所以$AB=AD$，$∠B=∠BAD=∠D=90°$，所以$∠FKA=∠BAD=∠D=90°$，$∠B=∠FKH=90°$，所以四边形ADFK是矩形，所以$AD=FK$，$DF=AK$，所以$AB=FK$。因为$FH⊥AE$，$∠FKH=90°$，所以$∠BAE+∠AHF=90°$，$∠KFH+∠AHF=90°$，所以$∠BAE=∠KFH$。在$△BAE$和$△KFH$中，$\{\begin{array}{l} ∠B=∠FKH=90°,\\ AB=FK,\\ ∠BAE=∠KFH,\end{array} $所以$△BAE≌△KFH(ASA)$，所以$AE=HF$。
（2）解：$AH=2BE$。证明如下：由（1），得$△BAE≌△KFH$，所以$BE=KH$。又因为$BE=DF$，$DF=AK$，所以$AK=BE$，所以$AH=AK+KH=BE+BE=2BE$。
解析
【解析】
（1）证明：如图，过点F作$FK⊥AB$于点K。
所以$∠FKH=∠FKA=90°$。
因为四边形ABCD是正方形，所以$AB=AD$，$∠B=∠BAD=∠D=90°$，
所以$∠FKA=∠BAD=∠D=90°$，$∠B=∠FKH=90°$，则四边形ADFK是矩形，
所以$AD=FK$，$DF=AK$，故$AB=FK$。
因为$FH⊥AE$，$∠FKH=90°$，所以$∠BAE+∠AHF=90°$，$∠KFH+∠AHF=90°$，
所以$∠BAE=∠KFH$。
在$△BAE$和$△KFH$中，
$\{\begin{array}{l} ∠B=∠FKH=90°,\\ AB=FK,\\ ∠BAE=∠KFH,\end{array} $
所以$△BAE≌△KFH(ASA)$，因此$AE=HF$。
（2）$AH=2BE$，证明如下：
由（1）知$△BAE≌△KFH$，所以$BE=KH$。
又因为$BE=DF$，且$DF=AK$，所以$AK=BE$，
则$AH=AK+KH=BE+BE=2BE$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$AH=2BE$，证明见上述解析。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题通过构造辅助线创造全等三角形条件，综合利用特殊四边形性质与全等三角形知识解决问题，辅助线的构造是解题突破口，考查了逻辑推理与几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）证明：如图，过点F作$FK⊥AB$于点K。
所以$∠FKH=∠FKA=90°$。
因为四边形ABCD是正方形，所以$AB=AD$，$∠B=∠BAD=∠D=90°$，
所以$∠FKA=∠BAD=∠D=90°$，$∠B=∠FKH=90°$，则四边形ADFK是矩形，
所以$AD=FK$，$DF=AK$，故$AB=FK$。
因为$FH⊥AE$，$∠FKH=90°$，所以$∠BAE+∠AHF=90°$，$∠KFH+∠AHF=90°$，
所以$∠BAE=∠KFH$。
在$△BAE$和$△KFH$中，
$\{\begin{array}{l} ∠B=∠FKH=90°,\\ AB=FK,\\ ∠BAE=∠KFH,\end{array} $
所以$△BAE≌△KFH(ASA)$，因此$AE=HF$。
（2）$AH=2BE$，证明如下：
由（1）知$△BAE≌△KFH$，所以$BE=KH$。
又因为$BE=DF$，且$DF=AK$，所以$AK=BE$，
则$AH=AK+KH=BE+BE=2BE$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）$AH=2BE$，证明见上述解析。
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质
【点评】
本题通过构造辅助线创造全等三角形条件，综合利用特殊四边形性质与全等三角形知识解决问题，辅助线的构造是解题突破口，考查了逻辑推理与几何综合应用能力。
【难度系数】
0.6
