9. 如图,一次函数$y = kx + b$与$y = mx + n$的图象交于点$(1,2)$,则关于$x$,$y$的方程组$\begin{cases}kx + b = y + 2,\\mx + n = y + 2\end{cases}$的解为( )


A.$\begin{cases}x = 3,\\y = 2\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = -1,\\y = 2\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 1,\\y = 0\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 1,\\y = 4\end{cases}$

C

因为一次函数$y=kx+b$与$y=mx+n$的图象交于点$(1,2)$，所以方程组$\begin{cases}y=kx+b\\y=mx+n\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$，即当$x=1$时，$kx+b=2$且$mx+n=2$。对于方程组$\begin{cases}kx+b=y+2\\mx+n=y+2\end{cases}$，可得$y+2=2$，解得$y=0$，故方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}$。

10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB = 90^{\circ}$,$AC = 3$,$BC = 4$,$D$为$BC$上一点,$∠ DAC = 30^{\circ}$,$E$为射线$AD$上一动点,四边形$BCFE$为平行四边形,连接$BF$,则$BF$长的最小值为()


A.$\dfrac{15\sqrt{3}}{4}$

B.$\dfrac{5\sqrt{3}}{2} + 1$
C.$4\sqrt{3} - \dfrac{3}{2}$
D.$\dfrac{3\sqrt{3}}{2} + 3$

C

以C为原点，BC为x轴，AC为y轴建立坐标系，得C(0,0)，A(0,3)，B(4,0)。在Rt△ACD中，∠DAC=30°，AC=3，CD=AC·tan30°=√3，故D(√3,0)。直线AD：y=-√3x+3，设E(t,-√3t+3)(t≥0)。
∵四边形BCFE为平行四边形，向量BC=(-4,0)，向量EF=向量BC，∴F(t-4,3-√3t)。
BF²=(t-8)²+(3-√3t)²=4t²-(16+6√3)t+73，对称轴t=(8+3√3)/4。代入得BF²=(201-48√3)/4，开方得BF=4√3-3/2。

11. 已知正比例函数$y = (k - 3)x$的图象经过第一、三象限,则$k$的取值范围是.

由正比例函数性质知，当$k - 3 ＞ 0$时，函数$y = (k - 3)x$的图象经过第一、三象限。
解不等式$k - 3 ＞ 0$，得$k ＞ 3$。
故$k$的取值范围是$k ＞ 3$。

12. 若$a$是一元二次方程$x^{2} + 2x - 4 = 0$的一个根,则$2a^{2} + 4a - 4$的值是.

因为$a$是一元二次方程$x^{2} + 2x - 4 = 0$的一个根，所以将$a$代入方程可得$a^{2} + 2a - 4 = 0$，即$a^{2} + 2a = 4$。
两边同时乘以$2$，得$2a^{2} + 4a = 8$。
则$2a^{2} + 4a - 4 = 8 - 4 = 4$。
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