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6. 如图，直线 $ l:y = -\frac{3}{4}x + 3 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A $，$ B $.
(1) 直接写出 $ A $，$ B $ 两点的坐标.
(2) 若 $ P $ 是第一象限内直线 $ l $ 上一点，点 $ P $ 的横坐标为 $ m $，过点 $ P $ 分别作 $ PM ⊥ x $ 轴于点 $ M $，$ PN ⊥ y $ 轴于点 $ N $，得长方形 $ PMON $，当长方形 $ PMON $ 的一边长是另一边长的 2 倍时，求 $ m $ 的值.
(1) 直接写出 $ A $，$ B $ 两点的坐标.
(2) 若 $ P $ 是第一象限内直线 $ l $ 上一点，点 $ P $ 的横坐标为 $ m $，过点 $ P $ 分别作 $ PM ⊥ x $ 轴于点 $ M $，$ PN ⊥ y $ 轴于点 $ N $，得长方形 $ PMON $，当长方形 $ PMON $ 的一边长是另一边长的 2 倍时，求 $ m $ 的值.
答案
6. 解：(1) 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 3 $；当 $ y = 0 $ 时，$ x = 4 $． $ \therefore A(4, 0) $，$ B(0, 3) $． (2) 由题意，得 $ P ( m, -\frac{3}{4}m + 3 )(0 ＜ m ＜ 4) $，$ \because PM ⊥ x $ 轴，$ PN ⊥ y $ 轴， $ \therefore PM = -\frac{3}{4}m + 3 $，$ PN = m $． $ \because $ 长方形 $ PMON $ 的一边长是另一边长的 2 倍，$ \therefore PM = 2PN $ 或 $ 2PM = PN $． $ \therefore -\frac{3}{4}m + 3 = 2m $ 或 $ 2 ( -\frac{3}{4}m + 3 ) = m $，解得 $ m = \frac{12}{11} $ 或 $ m = \frac{12}{5} $．
解析
6. 解：(1) 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 3 $；当 $ y = 0 $ 时，$ 0 = -\frac{3}{4}x + 3 $，解得 $ x = 4 $。
$\therefore A(4, 0)$，$ B(0, 3) $。
(2) 由题意，得 $ P(m, -\frac{3}{4}m + 3)(0 ＜ m ＜ 4) $。
$\because PM ⊥ x$ 轴，$ PN ⊥ y$ 轴，
$\therefore PM = -\frac{3}{4}m + 3$，$ PN = m $。
$\because$ 长方形 $ PMON $ 的一边长是另一边长的 2 倍，
$\therefore PM = 2PN$ 或 $ 2PM = PN $。
当 $ PM = 2PN $ 时，$-\frac{3}{4}m + 3 = 2m$，解得 $ m = \frac{12}{11} $；
当 $ 2PM = PN $ 时，$ 2(-\frac{3}{4}m + 3) = m$，解得 $ m = \frac{12}{5} $。
综上，$ m $ 的值为 $\frac{12}{11}$ 或 $\frac{12}{5}$。
$\therefore A(4, 0)$，$ B(0, 3) $。
(2) 由题意，得 $ P(m, -\frac{3}{4}m + 3)(0 ＜ m ＜ 4) $。
$\because PM ⊥ x$ 轴，$ PN ⊥ y$ 轴，
$\therefore PM = -\frac{3}{4}m + 3$，$ PN = m $。
$\because$ 长方形 $ PMON $ 的一边长是另一边长的 2 倍，
$\therefore PM = 2PN$ 或 $ 2PM = PN $。
当 $ PM = 2PN $ 时，$-\frac{3}{4}m + 3 = 2m$，解得 $ m = \frac{12}{11} $；
当 $ 2PM = PN $ 时，$ 2(-\frac{3}{4}m + 3) = m$，解得 $ m = \frac{12}{5} $。
综上，$ m $ 的值为 $\frac{12}{11}$ 或 $\frac{12}{5}$。
7. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $ y = -2x + 4 $ 与 $ y $ 轴、$ x $ 轴分别交于点 $ A $，$ B $，$ P $ 为直线 $ y = -2x + 4 $ 位于第一象限内一点，已知点 $ C(0,-3) $.
(1) 求 $ AC $ 的长；
(2) 设点 $ P $ 的横坐标为 $ a $.
① 直接写出 $ a $ 的取值范围为
② 若 $ △ POB $ 的面积与 $ △ PAC $ 的面积相等，求 $ a $ 的值.
(1) 求 $ AC $ 的长；
(2) 设点 $ P $ 的横坐标为 $ a $.
① 直接写出 $ a $ 的取值范围为
$ 0 ＜ a ＜ 2 $
；② 若 $ △ POB $ 的面积与 $ △ PAC $ 的面积相等，求 $ a $ 的值.
答案
7. 解：(1) $ \because $ 直线 $ y = -2x + 4 $ 与 $ y $ 轴交于点 $ A $，$ \therefore $ 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 4 $． $ \therefore A(0, 4) $． $ \because C(0, -3) $，$ \therefore AC = |4 - (-3)| = 7 $． (2) ① $ \because $ 直线 $ y = -2x + 4 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ B $，$ \therefore $ 点 $ B(2, 0) $． $ \because P $ 为直线 $ y = -2x + 4 $ 位于第一象限内一点，点 $ P $ 的横坐标为 $ a $，$ \therefore P(a, -2a + 4) $． $ \therefore \{ \begin{array} { l } { a ＞ 0, } \\ { - 2 a + 4 ＞ 0, } \end{array} $ 解得 $ 0 ＜ a ＜ 2 $． ② $ \because $ 点 $ P $ 的横坐标为 $ a $，点 $ P $ 在直线 $ y = -2x + 4 $ 上，$ \therefore $ 点 $ P(a, -2a + 4) $． $ \therefore S_{△ POB} = \frac{1}{2} × 2 × (-2a + 4) = -2a + 4 $，$ S_{△ PAC} = \frac{1}{2} × 7 × a = \frac{7}{2}a $． $ \because △ POB $ 的面积与 $ △ PAC $ 的面积相等，$ \therefore -2a + 4 = \frac{7}{2}a $，$ \therefore a = \frac{8}{11} $．
解析
7. 解：(1) $∵$ 直线 $y = -2x + 4$ 与 $y$ 轴交于点 $A$，
$∴$ 当 $x = 0$ 时，$y = 4$，$∴ A(0, 4)$．
$∵ C(0, -3)$，$∴ AC = |4 - (-3)| = 7$．
(2) ① $0 ＜ a ＜ 2$
② $∵$ 点 $P$ 的横坐标为 $a$，且在直线 $y = -2x + 4$ 上，
$∴ P(a, -2a + 4)$．
$S_{△ POB} = \frac{1}{2} × OB × |y_P| = \frac{1}{2} × 2 × (-2a + 4) = -2a + 4$，
$S_{△ PAC} = \frac{1}{2} × AC × |x_P| = \frac{1}{2} × 7 × a = \frac{7}{2}a$．
$∵ S_{△ POB} = S_{△ PAC}$，
$∴ -2a + 4 = \frac{7}{2}a$，
解得 $a = \frac{8}{11}$．
$∴$ 当 $x = 0$ 时，$y = 4$，$∴ A(0, 4)$．
$∵ C(0, -3)$，$∴ AC = |4 - (-3)| = 7$．
(2) ① $0 ＜ a ＜ 2$
② $∵$ 点 $P$ 的横坐标为 $a$，且在直线 $y = -2x + 4$ 上，
$∴ P(a, -2a + 4)$．
$S_{△ POB} = \frac{1}{2} × OB × |y_P| = \frac{1}{2} × 2 × (-2a + 4) = -2a + 4$，
$S_{△ PAC} = \frac{1}{2} × AC × |x_P| = \frac{1}{2} × 7 × a = \frac{7}{2}a$．
$∵ S_{△ POB} = S_{△ PAC}$，
$∴ -2a + 4 = \frac{7}{2}a$，
解得 $a = \frac{8}{11}$．
