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【例2】张家口市怀来县种植葡萄已有800多年的历史,其中最知名的品种之一是龙眼葡萄,它被郭沫若誉为“北国明珠”。该县质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检,从库中任意抽出20箱样品进行检测,每箱的质量超过标准质量(标准质量为10kg)的部分记为正数,不足的部分记为负数,记录如下表：
|与标准质量的差/kg| -0.1 | 0 | -0.2 | +0.3 | +0.1 | +0.4 |
|箱数| 3 | 5 | 1 | 4 | 5 | 2 |
(1)这20箱样品中,最重的一箱和最轻的一箱相差多少千克？
(2)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2kg的记为合格产品,则这20箱样品的合格率是多少？
(3)这批样品总质量比标准质量多或少几千克？
|与标准质量的差/kg| -0.1 | 0 | -0.2 | +0.3 | +0.1 | +0.4 |
|箱数| 3 | 5 | 1 | 4 | 5 | 2 |
(1)这20箱样品中,最重的一箱和最轻的一箱相差多少千克？
(2)若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2kg的记为合格产品,则这20箱样品的合格率是多少？
(3)这批样品总质量比标准质量多或少几千克？
答案
(1)0.4-(-0.2)=0.6(kg).所以最重的一箱和最轻的一箱相差0.6 kg.
(2)由题意,得|-0.1|=0.1＜0.2,0＜0.2,|-0.2|=0.2,|+0.1|=0.1＜0.2,所以合格的有3+5+1+5=14(箱).故合格率为14÷20×100%=70%.
(3)3×(-0.1)+5×0+1×(-0.2)+4×0.3+5×0.1+2×0.4=-0.3+0-0.2+1.2+0.5+0.8=2(kg).答:这批样品总质量比标准质量多2 kg.
解析
【分析】
(1) 求最重与最轻的质量差，首先从表格中找到与标准质量差的最大值和最小值，二者作差即可得到结果；
(2) 计算合格率需先确定合格箱数：筛选出差值的绝对值≤0.2kg的对应箱数求和，再根据“合格率=合格箱数÷总抽检箱数×100%”计算即可；
(3) 计算总质量与标准质量的差值，只需将每个差值乘对应的箱数，再把所有乘积相加，结果为正则总质量比标准质量多，为负则更少。
【解析】
(1) 观察表格可知，与标准质量的差最大为+0.4kg，最小为-0.2kg，
相差质量：$\boldsymbol{0.4 - (-0.2) = 0.6(\mathrm{kg})}$
(2) 根据合格标准，差值的绝对值≤0.2kg的为合格，对应差值为-0.1、0、-0.2、+0.1，
合格总箱数：$3+5+1+5=14$（箱）
合格率：$\boldsymbol{14÷20×100\%=70\%}$
(3) 计算总偏差：
$\begin{split}&3×(-0.1)+5×0+1×(-0.2)+4×0.3+5×0.1+2×0.4\\=&-0.3+0-0.2+1.2+0.5+0.8\\=&\boldsymbol{2(\mathrm{kg})}\end{split}$
结果为正，说明总质量比标准质量多。
【答案】
(1) 最重的一箱和最轻的一箱相差0.6 kg
(2) 这20箱样品的合格率是70%
(3) 这批样品总质量比标准质量多2 kg
【知识点】
正负数的意义，绝对值的应用，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活实际考查有理数相关知识的应用，解题核心是理解正负数的实际含义，准确统计对应数据、规范完成有理数运算，属于基础应用型题目，解题时注意细心计算即可避免失误。
【难度系数】
0.8
(1) 求最重与最轻的质量差，首先从表格中找到与标准质量差的最大值和最小值，二者作差即可得到结果；
(2) 计算合格率需先确定合格箱数：筛选出差值的绝对值≤0.2kg的对应箱数求和，再根据“合格率=合格箱数÷总抽检箱数×100%”计算即可；
(3) 计算总质量与标准质量的差值，只需将每个差值乘对应的箱数，再把所有乘积相加，结果为正则总质量比标准质量多，为负则更少。
【解析】
(1) 观察表格可知，与标准质量的差最大为+0.4kg，最小为-0.2kg，
相差质量：$\boldsymbol{0.4 - (-0.2) = 0.6(\mathrm{kg})}$
(2) 根据合格标准，差值的绝对值≤0.2kg的为合格，对应差值为-0.1、0、-0.2、+0.1，
合格总箱数：$3+5+1+5=14$（箱）
合格率：$\boldsymbol{14÷20×100\%=70\%}$
(3) 计算总偏差：
$\begin{split}&3×(-0.1)+5×0+1×(-0.2)+4×0.3+5×0.1+2×0.4\\=&-0.3+0-0.2+1.2+0.5+0.8\\=&\boldsymbol{2(\mathrm{kg})}\end{split}$
结果为正，说明总质量比标准质量多。
【答案】
(1) 最重的一箱和最轻的一箱相差0.6 kg
(2) 这20箱样品的合格率是70%
(3) 这批样品总质量比标准质量多2 kg
【知识点】
正负数的意义，绝对值的应用，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活实际考查有理数相关知识的应用，解题核心是理解正负数的实际含义，准确统计对应数据、规范完成有理数运算，属于基础应用型题目，解题时注意细心计算即可避免失误。
【难度系数】
0.8
3. (教材习题变式)一架直升机的起始位置为距离地面460m,上升速度为20m/s,下降速度为12m/s,先上升60s,然后下降120s。
(1)求此时直升机的高度；
(2)直升机再次回到起始位置,至少还需要上升多少秒？
(1)求此时直升机的高度；
(2)直升机再次回到起始位置,至少还需要上升多少秒？
答案
(1)460+20×60-12×120=460+1 200-1 440=220(m).答:此时直升机的高度是220 m.
(2)根据题意得(460-220)÷20=12(s).答:直升机再次回到起始位置,至少还需要上升12 s.
解析
【分析】
（1）解题时先明确高度变化规则：上升高度记为正向增量，下降高度记为负向增量，最终高度=初始高度+上升总高度-下降总高度，先分别算出上升60s的升高量、下降120s的降低量，代入公式即可求出当前高度。
（2）要最短时间回到起始位置，需选择最快的上升速度，先算出当前高度和起始高度的差值，再用高度差除以上升速度，就能得到最少需要的上升时间。
【解析】
（1）先计算上升60秒的升高量：$20×60=1200\ \mathrm{m}$
再计算下降120秒的降低量：$12×120=1440\ \mathrm{m}$
代入高度计算公式得：
$460+20×60-12×120$
$=460+1200-1440$
$=220\ \mathrm{m}$
（2）当前高度与起始位置的高度差为：$460-220=240\ \mathrm{m}$
选择最快上升速度$20\ \mathrm{m/s}$，所需最少时间为：
$240÷20=12\ \mathrm{s}$
【答案】
(1)此时直升机的高度是220 m；
(2)至少还需要上升12 s。
【知识点】
1. 有理数混合运算
2. 正负数实际应用
3. 行程基本公式
【点评】
本题结合直升机升降的实际场景考查有理数运算的应用，解题核心是理清升降对应的数量关系，计算时需遵循先乘除后加减的运算顺序，属于基础应用型习题，能有效锻炼学生把数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.8
（1）解题时先明确高度变化规则：上升高度记为正向增量，下降高度记为负向增量，最终高度=初始高度+上升总高度-下降总高度，先分别算出上升60s的升高量、下降120s的降低量，代入公式即可求出当前高度。
（2）要最短时间回到起始位置，需选择最快的上升速度，先算出当前高度和起始高度的差值，再用高度差除以上升速度，就能得到最少需要的上升时间。
【解析】
（1）先计算上升60秒的升高量：$20×60=1200\ \mathrm{m}$
再计算下降120秒的降低量：$12×120=1440\ \mathrm{m}$
代入高度计算公式得：
$460+20×60-12×120$
$=460+1200-1440$
$=220\ \mathrm{m}$
（2）当前高度与起始位置的高度差为：$460-220=240\ \mathrm{m}$
选择最快上升速度$20\ \mathrm{m/s}$，所需最少时间为：
$240÷20=12\ \mathrm{s}$
【答案】
(1)此时直升机的高度是220 m；
(2)至少还需要上升12 s。
【知识点】
1. 有理数混合运算
2. 正负数实际应用
3. 行程基本公式
【点评】
本题结合直升机升降的实际场景考查有理数运算的应用，解题核心是理清升降对应的数量关系，计算时需遵循先乘除后加减的运算顺序，属于基础应用型习题，能有效锻炼学生把数学知识应用到实际场景的能力。
【难度系数】
0.8
【例3】用计算器计算(结果保留两位小数)：
(1)$-2.34× (-0.12)-3.74÷ (-2.68)\approx$______；
(2)$-5.28+0.75× (-3.14)\approx$______；
(3)$37.5-(-4.2)× 31+(-16)= $______。
(1)$-2.34× (-0.12)-3.74÷ (-2.68)\approx$______；
(2)$-5.28+0.75× (-3.14)\approx$______；
(3)$37.5-(-4.2)× 31+(-16)= $______。
答案
(1)1.68
(2)-7.64
(3)151.70
解析
【分析】
解题时先遵循有理数加减乘除混合运算的规则：先算乘除运算，后算加减运算，有括号先算括号内的。计算乘除时首先根据“同号得正、异号得负”确定结果的符号，再计算绝对值的乘除；完成乘除计算后再进行加减运算，最后按照要求将结果保留两位小数，注意四舍五入规则的正确使用。
【解析】
(1) 先分别计算乘除部分：
$-2.34×(-0.12)=2.34×0.12=0.2808$
$-3.74÷(-2.68)=3.74÷2.68≈1.3955$
再计算加减：$0.2808+1.3955≈1.6763$，保留两位小数得$1.68$。
(2) 先计算乘法部分：
$0.75×(-3.14)=-2.355$
再计算加减：$-5.28+(-2.355)=-7.635$，保留两位小数得$-7.64$。
(3) 先计算乘法部分：
$-(-4.2)×31=4.2×31=130.2$
再计算加减：$37.5+130.2-16=151.7$，保留两位小数补0得$151.70$。
【答案】
(1)$1.68$；(2)$-7.64$；(3)$151.70$
【知识点】
有理数混合运算；近似数取值；计算器使用
【点评】
本题侧重考察有理数运算的基础规则，计算时需严格遵守“先乘除后加减”的运算顺序，尤其要注意正负号的判定，避免符号出错，保留小数时要注意符合位数要求，末尾用来占位的0不能省略。
【难度系数】
0.8
解题时先遵循有理数加减乘除混合运算的规则：先算乘除运算，后算加减运算，有括号先算括号内的。计算乘除时首先根据“同号得正、异号得负”确定结果的符号，再计算绝对值的乘除；完成乘除计算后再进行加减运算，最后按照要求将结果保留两位小数，注意四舍五入规则的正确使用。
【解析】
(1) 先分别计算乘除部分：
$-2.34×(-0.12)=2.34×0.12=0.2808$
$-3.74÷(-2.68)=3.74÷2.68≈1.3955$
再计算加减：$0.2808+1.3955≈1.6763$，保留两位小数得$1.68$。
(2) 先计算乘法部分：
$0.75×(-3.14)=-2.355$
再计算加减：$-5.28+(-2.355)=-7.635$，保留两位小数得$-7.64$。
(3) 先计算乘法部分：
$-(-4.2)×31=4.2×31=130.2$
再计算加减：$37.5+130.2-16=151.7$，保留两位小数补0得$151.70$。
【答案】
(1)$1.68$；(2)$-7.64$；(3)$151.70$
【知识点】
有理数混合运算；近似数取值；计算器使用
【点评】
本题侧重考察有理数运算的基础规则，计算时需严格遵守“先乘除后加减”的运算顺序，尤其要注意正负号的判定，避免符号出错，保留小数时要注意符合位数要求，末尾用来占位的0不能省略。
【难度系数】
0.8
4. 使用计算器计算时,依次输入$\boxed{(-)}\boxed{1}\boxed{2}\boxed{÷}\boxed{4}\boxed{-}\boxed{3}\boxed{=}$,所运算的式子是______,结果为______。
答案
-12÷4-3 -6
解析
【分析】
解题时首先要清楚计算器的输入规则：先按“(-)”键再输入数字，代表输入的是一个负的数字，而非减法运算。本次输入先按“(-)”再按1、2，对应的是-12，后续依次输入的÷、4、-、3直接对应运算符号和数字，即可确定运算的式子。计算时按照有理数加减乘除混合运算的规则，先算除法，再算减法，逐步计算就能得到结果。
【解析】
1. 确定运算式子：
根据计算器输入规则，输入“(-)12”代表负数-12，后续依次输入运算符号“÷”、数字“4”、运算符号“-”、数字“3”，因此对应的运算式子为：$-12÷4-3$。
2. 计算结果：
根据有理数混合运算“先乘除，后加减”的顺序：
先计算除法：$-12÷4=-3$
再计算减法：$-3-3=-6$
【答案】
$-12÷4-3$；$-6$
【知识点】
计算器的使用、有理数混合运算顺序、有理数四则运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查计算器输入与算式的对应识别，以及有理数混合运算的计算能力，易错点是误将开头的“(-)”当成减法运算符，计算时要注意先算乘除后算加减的顺序，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要清楚计算器的输入规则：先按“(-)”键再输入数字，代表输入的是一个负的数字，而非减法运算。本次输入先按“(-)”再按1、2，对应的是-12，后续依次输入的÷、4、-、3直接对应运算符号和数字，即可确定运算的式子。计算时按照有理数加减乘除混合运算的规则，先算除法，再算减法，逐步计算就能得到结果。
【解析】
1. 确定运算式子：
根据计算器输入规则，输入“(-)12”代表负数-12，后续依次输入运算符号“÷”、数字“4”、运算符号“-”、数字“3”，因此对应的运算式子为：$-12÷4-3$。
2. 计算结果：
根据有理数混合运算“先乘除，后加减”的顺序：
先计算除法：$-12÷4=-3$
再计算减法：$-3-3=-6$
【答案】
$-12÷4-3$；$-6$
【知识点】
计算器的使用、有理数混合运算顺序、有理数四则运算
【点评】
本题属于基础题型，主要考查计算器输入与算式的对应识别，以及有理数混合运算的计算能力，易错点是误将开头的“(-)”当成减法运算符，计算时要注意先算乘除后算加减的顺序，避免运算错误。
【难度系数】
0.8
5. 使用计算器计算下列各式：
$6× 7= $______,
$66× 67= $______,
$666× 667= $______,
$6666× 6667= $______。
(1)根据以上结果,你发现了什么规律？
(2)依照你发现的规律,不用计算器,你能直接写出$666666× 666667$的结果吗？请你试一试。
$6× 7= $______,
$66× 67= $______,
$666× 667= $______,
$6666× 6667= $______。
(1)根据以上结果,你发现了什么规律？
(2)依照你发现的规律,不用计算器,你能直接写出$666666× 666667$的结果吗？请你试一试。
答案
42 4 422 444 222 44 442 222
(1)所得出的规律是$\frac{6\cdots6}{n个6}$×$\frac{6\cdots67}{(n-1)个6}$=$\frac{4\cdots4}{n个4}$$\frac{2\cdots2}{n个2}$.
(2)根据
(1)发现的规律可直接得出666 666×666 667=444 444 222 222.
(1)所得出的规律是$\frac{6\cdots6}{n个6}$×$\frac{6\cdots67}{(n-1)个6}$=$\frac{4\cdots4}{n个4}$$\frac{2\cdots2}{n个2}$.
(2)根据
(1)发现的规律可直接得出666 666×666 667=444 444 222 222.
解析
【分析】
首先我们通过计算器计算给出的4个乘法算式的结果，再观察每个算式中第一个因数的6的个数、第二个因数的数字特征，和计算结果中4、2的个数的对应关系，总结出通用规律，最后利用总结的规律直接写出大数乘法的结果即可。
【解析】
先计算4个算式的结果：
$6×7=42$
$66×67=4422$
$666×667=444222$
$6666×6667=44442222$
(1) 观察上述结果可总结规律：当第一个因数是由$n$个6组成的数，第二个因数是由$(n-1)$个6加末尾1个7组成的数时，乘积是由$n$个4后面接$n$个2组成的数，即$\underbrace{6···6}_{n个6} × \underbrace{6···67}_{(n-1)个6} = \underbrace{4···4}_{n个4}\underbrace{2···2}_{n个2}$。
(2) $666666×666667$中第一个因数是6个6组成的数，对应$n=6$，因此结果是6个4后面接6个2，即$444444222222$。
【答案】
42；4422；444222；44442222
(1) $\underbrace{6···6}_{n个6} × \underbrace{6···67}_{(n-1)个6} = \underbrace{4···4}_{n个4}\underbrace{2···2}_{n个2}$
(2) $444444222222$
【知识点】
有理数乘法，数字规律探究
【点评】
本题从简单的乘法运算切入，引导学生观察、归纳数字运算的规律，既考查了基础乘法计算能力，也锻炼了归纳推理的思维，掌握规律后可快速解决同类型的大数乘法问题。
【难度系数】
0.7
首先我们通过计算器计算给出的4个乘法算式的结果，再观察每个算式中第一个因数的6的个数、第二个因数的数字特征，和计算结果中4、2的个数的对应关系，总结出通用规律，最后利用总结的规律直接写出大数乘法的结果即可。
【解析】
先计算4个算式的结果：
$6×7=42$
$66×67=4422$
$666×667=444222$
$6666×6667=44442222$
(1) 观察上述结果可总结规律：当第一个因数是由$n$个6组成的数，第二个因数是由$(n-1)$个6加末尾1个7组成的数时，乘积是由$n$个4后面接$n$个2组成的数，即$\underbrace{6···6}_{n个6} × \underbrace{6···67}_{(n-1)个6} = \underbrace{4···4}_{n个4}\underbrace{2···2}_{n个2}$。
(2) $666666×666667$中第一个因数是6个6组成的数，对应$n=6$，因此结果是6个4后面接6个2，即$444444222222$。
【答案】
42；4422；444222；44442222
(1) $\underbrace{6···6}_{n个6} × \underbrace{6···67}_{(n-1)个6} = \underbrace{4···4}_{n个4}\underbrace{2···2}_{n个2}$
(2) $444444222222$
【知识点】
有理数乘法，数字规律探究
【点评】
本题从简单的乘法运算切入，引导学生观察、归纳数字运算的规律，既考查了基础乘法计算能力，也锻炼了归纳推理的思维，掌握规律后可快速解决同类型的大数乘法问题。
【难度系数】
0.7
