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1. 垂直
一般地，当两条直线 $ a,b $ 相交所成的四个角中，有一个角是时，我们说 $ a $ 与 $ b $ 互相垂直，记作“$ a ⊥ b $”。
如图。
(1) 直线 $ AB,CD $ 相交于点 $ O $，若 $ ∠ AOC = 90° $，则；
(2) 若 $ AB ⊥ CD $，则 $ ∠ COB = $。
2. 垂线
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作。如图，$ AB ⊥ CD $，垂足为 $ O $。
3. 垂线的性质
(1) 在同一平面内，过一点有且只有直线与已知直线垂直；
(2) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短。
简单说成：。
4. 点到直线的距离
直线外一点到这条直线的的长度，叫作点到直线的距离。
一般地，当两条直线 $ a,b $ 相交所成的四个角中，有一个角是时，我们说 $ a $ 与 $ b $ 互相垂直，记作“$ a ⊥ b $”。
如图。
(1) 直线 $ AB,CD $ 相交于点 $ O $，若 $ ∠ AOC = 90° $，则；
(2) 若 $ AB ⊥ CD $，则 $ ∠ COB = $。
2. 垂线
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作。如图，$ AB ⊥ CD $，垂足为 $ O $。
3. 垂线的性质
(1) 在同一平面内，过一点有且只有直线与已知直线垂直；
(2) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短。
简单说成：。
4. 点到直线的距离
直线外一点到这条直线的的长度，叫作点到直线的距离。
答案
1. 直角； (1)$AB⊥ CD$；(2)$90°$；
2. 互相垂直；垂足；
3. (1) 一条；(2) 垂线段；垂线段最短；
4. 垂线段。
2. 互相垂直；垂足；
3. (1) 一条；(2) 垂线段；垂线段最短；
4. 垂线段。
解析
1. 垂直的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（$90°$），就说这两条直线互相垂直。
(1) 已知$∠ AOC = 90°$，根据垂直的定义，$AB⊥ CD$。
(2) 若$AB⊥ CD$，则$∠ COB = 90°$（因为垂直时所成的角为直角）。
2. 垂线的定义：
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。
3. 垂线的性质：
(1) 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的基本性质。
(2) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段的性质。
4. 点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（$90°$），就说这两条直线互相垂直。
(1) 已知$∠ AOC = 90°$，根据垂直的定义，$AB⊥ CD$。
(2) 若$AB⊥ CD$，则$∠ COB = 90°$（因为垂直时所成的角为直角）。
2. 垂线的定义：
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足。
3. 垂线的性质：
(1) 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这是垂线的基本性质。
(2) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是垂线段的性质。
4. 点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离。
【例 1】如图，直线 $ AB $ 和 $ EF $ 相交于点 $ O $，$ CO ⊥ EF $，垂足为 $ O $，$ ∠ BOE = \frac{1}{3} ∠ AOE $。
(1) 求 $ ∠ AOC $ 的度数；
(2) 若 $ OE $ 平分 $ ∠ BOD $，判断 $ OD $ 和 $ AB $ 的位置关系，并说明理由。
(1) 求 $ ∠ AOC $ 的度数；
(2) 若 $ OE $ 平分 $ ∠ BOD $，判断 $ OD $ 和 $ AB $ 的位置关系，并说明理由。
答案
(1) 因为直线AB和EF相交于点O，所以∠AOE+∠BOE=180°（邻补角定义）。设∠AOE=x，则∠BOE=1/3x，可得x+1/3x=180°，解得x=135°，即∠AOE=135°。
因为CO⊥EF，所以∠COE=90°（垂直定义）。
所以∠AOC=∠AOE-∠COE=135°-90°=45°。
(2) OD⊥AB。理由：因为OE平分∠BOD，所以∠BOE=∠DOE（角平分线定义）。由(1)知∠BOE=45°，所以∠DOE=45°，则∠BOD=∠BOE+∠DOE=45°+45°=90°，所以OD⊥AB（垂直定义）。
因为CO⊥EF，所以∠COE=90°（垂直定义）。
所以∠AOC=∠AOE-∠COE=135°-90°=45°。
(2) OD⊥AB。理由：因为OE平分∠BOD，所以∠BOE=∠DOE（角平分线定义）。由(1)知∠BOE=45°，所以∠DOE=45°，则∠BOD=∠BOE+∠DOE=45°+45°=90°，所以OD⊥AB（垂直定义）。
【变式 1】如图，$ ∠ 1 = 135° $，$ AO ⊥ OB $ 于点 $ O $，点 $ C,O,D $ 在一条直线上，则 $ ∠ 2 = $。
答案
$45^{\circ}$（按照题目要求这里应只填数值）
解析
本题可先根据邻补角的性质求出$∠AOD$的度数，再结合$AO⊥OB$求出$∠2$的度数。
步骤一：求$∠AOD$的度数
已知点$C$，$O$，$D$在一条直线上，则$∠1$与$∠AOD$互为邻补角。
根据邻补角的性质：互为邻补角的两个角之和为$180^{\circ}$，可得$∠1 + ∠AOD = 180^{\circ}$。
已知$∠1 = 135^{\circ}$，将其代入上式可得：$∠AOD = 180^{\circ} - ∠1 = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$。
步骤二：求$∠2$的度数
因为$AO⊥OB$，根据垂直的定义：如果两条直线相交成直角，则称这两条直线互相垂直，可知$∠AOB = 90^{\circ}$。
又因为$∠AOB = ∠AOD + ∠2$，所以$∠2 = ∠AOB - ∠AOD$。
将$∠AOB = 90^{\circ}$，$∠AOD = 45^{\circ}$代入上式可得：$∠2 = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$。
步骤一：求$∠AOD$的度数
已知点$C$，$O$，$D$在一条直线上，则$∠1$与$∠AOD$互为邻补角。
根据邻补角的性质：互为邻补角的两个角之和为$180^{\circ}$，可得$∠1 + ∠AOD = 180^{\circ}$。
已知$∠1 = 135^{\circ}$，将其代入上式可得：$∠AOD = 180^{\circ} - ∠1 = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$。
步骤二：求$∠2$的度数
因为$AO⊥OB$，根据垂直的定义：如果两条直线相交成直角，则称这两条直线互相垂直，可知$∠AOB = 90^{\circ}$。
又因为$∠AOB = ∠AOD + ∠2$，所以$∠2 = ∠AOB - ∠AOD$。
将$∠AOB = 90^{\circ}$，$∠AOD = 45^{\circ}$代入上式可得：$∠2 = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$。
【变式 2】如图，$ O $ 为直线 $ AB $ 上一点，$ OE $ 平分 $ ∠ BOC $，$ DO ⊥ OE $ 于点 $ O $。若 $ ∠ BOC = 80° $，则 $ ∠ AOD = $。
答案
50°
解析
因为OE平分∠BOC，∠BOC=80°，所以∠COE=∠BOC÷2=80°÷2=40°。因为DO⊥OE，所以∠DOE=90°，则∠COD=∠DOE - ∠COE=90° - 40°=50°。又因为O为直线AB上一点，所以∠AOC=180° - ∠BOC=180° - 80°=100°，故∠AOD=∠AOC - ∠COD=100° - 50°=50°。
