典例1 如图，P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，BC = 15，AC = 20，则线段EF长的最小值为　　　　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A. 12
B. 6
C. 12.5
D. 25

微专题(三)　利用垂线段求最值
典例1连接CP.∵∠ACB=90°,AC = 20,BC = 15,∴AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}} = \sqrt{20^{2}+15^{2}} = 25$.∵PE⊥AC,PF⊥BC,∠ACB = 90°,∴四边形CFPE是矩形.∴EF = CP.由垂线段最短,可得当CP⊥AB时,线段CP的长最小,即线段EF的长最小,此时S△ABC=$\frac{1}{2}$BC·AC=$\frac{1}{2}$AB·CP,即$\frac{1}{2}$×15×20 = $\frac{1}{2}$×25·CP,解得CP = 12.∴线段EF长的最小值为12.故选A.

典例2 如图，AD是等边三角形ABC的高，E是射线AD上一动点，连接CE，将CE绕点C按逆时针方向旋转60°得到线段CF，连接EF，DF. 若AB = 6，求DF长的最小值.
　　　　　　　　　　　　　　

典例2连接BF.∵△ABC是等边三角形,∴AB = AC = BC = 6,∠ACB = 60°.∵线段CE绕点C按逆时针方向旋转60°得到线段CF,∴∠ECF = 60°,CE = CF.∴∠ACB = ∠ECF.易得∠ACE = ∠BCF.∴△ACE≌△BCF.∴∠EAC = ∠FBC.∵AB = AC,AD⊥BC,∴BD = CD = $\frac{1}{2}$BC = 3,∠FBC = ∠EAC = $\frac{1}{2}$∠BAC = 30°.∴点F在BC下方与BC成30°角的直线BF上.∴当DF⊥BF时,DF的长最小.∵BD = 3,∴此时DF = $\frac{1}{2}$BD = $\frac{3}{2}$,即DF长的最小值为$\frac{3}{2}$.

典例3 如图，在菱形ABCD中，AB = AC = 10，对角线AC，BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM = 4，P为线段BD上的一个动点，求MP + $\frac{1}{2}$PB的最小值.
　　　　　　　　　　　　　　

典例3过点P作PE⊥BC,垂足为E,连接ME.∵四边形ABCD是菱形,∴AB = BC = 10,BD⊥AC.∵AB = AC = 10,∴AB = AC = BC = 10.∴△ABC是等边三角形.∴∠ABC = ∠ACB = 60°.∴∠DBC = $\frac{1}{2}$∠ABC = 30°.∵PE⊥BC,即∠BEP = 90°,∴PE = $\frac{1}{2}$PB.∴MP+$\frac{1}{2}$PB = MP + PE.∴当点M,P,E在同一条直线上,且ME⊥BC时,MP + PE有最小值,最小值为ME的长.∵AC = 10,AM = 4,∴CM = AC - AM = 10 - 4 = 6.当ME⊥BC时,∠MEC = 90°.∵∠ACB = 60°,∴ME = CM·sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$.∴MP+$\frac{1}{2}$PB的最小值是3$\sqrt{3}$.