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4. $\frac{2}{5}+\frac{3}{7}$等于多少? 小南认为$\frac{2}{5}$表示5份中的2份,$\frac{3}{7}$表示7份中的3份,所以加起来是12份中的5份,结果是$\frac{5}{12}$。这名学生的计算是否正确? 请说明理由。
答案
$\frac{2}{5}+\frac{3}{7}$
$=\frac{2×7}{5×7}+\frac{3×5}{7×5}$
$=\frac{14}{35}+\frac{15}{35}$
$=\frac{29}{35}$
答：这名学生的计算不正确。异分母分数相加，要先通分，转化为同分母分数后，分子相加、分母不变，不能直接将分子和分母分别相加。
$=\frac{2×7}{5×7}+\frac{3×5}{7×5}$
$=\frac{14}{35}+\frac{15}{35}$
$=\frac{29}{35}$
答：这名学生的计算不正确。异分母分数相加，要先通分，转化为同分母分数后，分子相加、分母不变，不能直接将分子和分母分别相加。
解析
【分析】
要判断小南的计算是否正确，需先明确异分母分数加法的核心逻辑：分数相加是分数单位的累加，$\frac{2}{5}$的分数单位是$\frac{1}{5}$，$\frac{3}{7}$的分数单位是$\frac{1}{7}$，两者分数单位不同，不能直接将分子、分母分别相加。正确思路是：先找到5和7的最小公倍数35进行通分，将两个分数转化为同分母分数（分数单位相同），再按同分母分数加法规则，分子相加、分母不变，最后对比小南的结果说明错误原因。
【解析】
计算$\frac{2}{5}+\frac{3}{7}$的正确步骤：
1. 通分：因为5和7互质，最小公倍数为$5×7=35$，所以
$\frac{2}{5}=\frac{2×7}{5×7}=\frac{14}{35}$，$\frac{3}{7}=\frac{3×5}{7×5}=\frac{15}{35}$
2. 同分母分数相加：$\frac{14}{35}+\frac{15}{35}=\frac{14+15}{35}=\frac{29}{35}$
结论：小南的计算不正确，理由是异分母分数相加时，由于分数单位不同，不能直接将分子和分母分别相加，必须先通分，转化为同分母分数后，再按照分子相加、分母不变的规则计算。
【答案】
小南的计算不正确，正确结果是$\frac{29}{35}$。理由：异分母分数相加，要先通分，转化为同分母分数后，分子相加、分母不变，不能直接将分子和分母分别相加。
【知识点】
1. 异分母分数加法法则
2. 通分的方法
【点评】
本题聚焦异分母分数加法的基础概念，针对学生易犯的“直接分子分母相加”错误，强化了分数单位的本质理解，通分是异分母分数运算的关键步骤，通过本题可加深对分数加法逻辑的认知。
【难度系数】
0.7
要判断小南的计算是否正确，需先明确异分母分数加法的核心逻辑：分数相加是分数单位的累加，$\frac{2}{5}$的分数单位是$\frac{1}{5}$，$\frac{3}{7}$的分数单位是$\frac{1}{7}$，两者分数单位不同，不能直接将分子、分母分别相加。正确思路是：先找到5和7的最小公倍数35进行通分，将两个分数转化为同分母分数（分数单位相同），再按同分母分数加法规则，分子相加、分母不变，最后对比小南的结果说明错误原因。
【解析】
计算$\frac{2}{5}+\frac{3}{7}$的正确步骤：
1. 通分：因为5和7互质，最小公倍数为$5×7=35$，所以
$\frac{2}{5}=\frac{2×7}{5×7}=\frac{14}{35}$，$\frac{3}{7}=\frac{3×5}{7×5}=\frac{15}{35}$
2. 同分母分数相加：$\frac{14}{35}+\frac{15}{35}=\frac{14+15}{35}=\frac{29}{35}$
结论：小南的计算不正确，理由是异分母分数相加时，由于分数单位不同，不能直接将分子和分母分别相加，必须先通分，转化为同分母分数后，再按照分子相加、分母不变的规则计算。
【答案】
小南的计算不正确，正确结果是$\frac{29}{35}$。理由：异分母分数相加，要先通分，转化为同分母分数后，分子相加、分母不变，不能直接将分子和分母分别相加。
【知识点】
1. 异分母分数加法法则
2. 通分的方法
【点评】
本题聚焦异分母分数加法的基础概念，针对学生易犯的“直接分子分母相加”错误，强化了分数单位的本质理解，通分是异分母分数运算的关键步骤，通过本题可加深对分数加法逻辑的认知。
【难度系数】
0.7
5. 小秀用$\frac{3}{4}$小时做完家庭作业,比小海少用了$\frac{1}{6}$小时,小南比小海多用了$\frac{1}{20}$小时,小南做完家庭作业用了多长时间?
答案
$\frac{3}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{20}$
$=\frac{45}{60} + \frac{10}{60} + \frac{3}{60}$
$=\frac{58}{60}$
$=\frac{29}{30}$（小时）
答：小南做完家庭作业用了$\frac{29}{30}$小时。
$=\frac{45}{60} + \frac{10}{60} + \frac{3}{60}$
$=\frac{58}{60}$
$=\frac{29}{30}$（小时）
答：小南做完家庭作业用了$\frac{29}{30}$小时。
解析
【分析】
要解决这个问题，需先理清三人完成作业时间的数量关系：
1. 已知小秀的作业时间，且小秀比小海少用$\frac{1}{6}$小时，那么小海的作业时间 = 小秀的作业时间 + 小秀比小海少用的时间；
2. 又知小南比小海多用$\frac{1}{20}$小时，所以小南的作业时间 = 小海的作业时间 + 小南比小海多用的时间。
我们先求出小海的作业时间，再以此为基础计算小南的作业时间即可。
【解析】
1. 先计算小海做完家庭作业的时间：
因为小秀比小海少用$\frac{1}{6}$小时，所以小海的时间为小秀的时间加上$\frac{1}{6}$小时，即$\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$。
2. 再计算小南做完家庭作业的时间：
小南比小海多用$\frac{1}{20}$小时，因此小南的时间为小海的时间加上$\frac{1}{20}$小时，列综合算式为：
$\frac{3}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{20}$
3. 通分计算（分母4、6、20的最小公倍数是60）：
$=\frac{45}{60} + \frac{10}{60} + \frac{3}{60}$
$=\frac{45+10+3}{60}$
$=\frac{58}{60}$
$=\frac{29}{30}$（小时）
答：小南做完家庭作业用了$\frac{29}{30}$小时。
【答案】
$\frac{29}{30}$小时
【知识点】
1. 异分母分数加减法
2. 分数数量关系应用
【点评】
本题核心考查异分母分数的连加运算，解题关键是准确梳理三人作业时间的逻辑关系，先通过小秀的时间求出小海的时间，再计算小南的时间。计算时需注意先通分，将异分母分数转化为同分母分数后再加减，最终结果要化为最简分数。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需先理清三人完成作业时间的数量关系：
1. 已知小秀的作业时间，且小秀比小海少用$\frac{1}{6}$小时，那么小海的作业时间 = 小秀的作业时间 + 小秀比小海少用的时间；
2. 又知小南比小海多用$\frac{1}{20}$小时，所以小南的作业时间 = 小海的作业时间 + 小南比小海多用的时间。
我们先求出小海的作业时间，再以此为基础计算小南的作业时间即可。
【解析】
1. 先计算小海做完家庭作业的时间：
因为小秀比小海少用$\frac{1}{6}$小时，所以小海的时间为小秀的时间加上$\frac{1}{6}$小时，即$\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$。
2. 再计算小南做完家庭作业的时间：
小南比小海多用$\frac{1}{20}$小时，因此小南的时间为小海的时间加上$\frac{1}{20}$小时，列综合算式为：
$\frac{3}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{20}$
3. 通分计算（分母4、6、20的最小公倍数是60）：
$=\frac{45}{60} + \frac{10}{60} + \frac{3}{60}$
$=\frac{45+10+3}{60}$
$=\frac{58}{60}$
$=\frac{29}{30}$（小时）
答：小南做完家庭作业用了$\frac{29}{30}$小时。
【答案】
$\frac{29}{30}$小时
【知识点】
1. 异分母分数加减法
2. 分数数量关系应用
【点评】
本题核心考查异分母分数的连加运算，解题关键是准确梳理三人作业时间的逻辑关系，先通过小秀的时间求出小海的时间，再计算小南的时间。计算时需注意先通分，将异分母分数转化为同分母分数后再加减，最终结果要化为最简分数。
【难度系数】
0.7
6. 某大桥全长7.9 km(包括主桥路段、高速路段和普通路段),其中主桥路段的长度占全长的$\frac{1}{4}$,高速路段的长度占全长的$\frac{5}{8}$。
(1)“$\frac{1}{4}+\frac{5}{8}$”这个算式解决的问题:()?
(2)普通路段的长度占全长的几分之几?
①画图,标出需要的信息和问题;
②列式计算:
(1)“$\frac{1}{4}+\frac{5}{8}$”这个算式解决的问题:()?
(2)普通路段的长度占全长的几分之几?
①画图,标出需要的信息和问题;
②列式计算:
答案
(1) 主桥路段和高速路段的长度一共占全长的几分之几
② 画图：
画一条线段表示大桥全长，将线段平均分成8份，标注其中2份为“主桥路段（占全长的$\frac{1}{4}$）”，5份为“高速路段（占全长的$\frac{5}{8}$）”，剩余部分标注“普通路段（占全长的几分之几？）”
列式计算：
1 - $\frac{1}{4}$ - $\frac{5}{8}$
= $\frac{8}{8}$ - $\frac{2}{8}$ - $\frac{5}{8}$
= $\frac{1}{8}$
答：普通路段的长度占全长的$\frac{1}{8}$。
② 画图：
画一条线段表示大桥全长，将线段平均分成8份，标注其中2份为“主桥路段（占全长的$\frac{1}{4}$）”，5份为“高速路段（占全长的$\frac{5}{8}$）”，剩余部分标注“普通路段（占全长的几分之几？）”
列式计算：
1 - $\frac{1}{4}$ - $\frac{5}{8}$
= $\frac{8}{8}$ - $\frac{2}{8}$ - $\frac{5}{8}$
= $\frac{1}{8}$
答：普通路段的长度占全长的$\frac{1}{8}$。
解析
【分析】
对于第(1)问，我们要结合分数的意义来思考，$\frac{1}{4}$是主桥路段占全长的分率，$\frac{5}{8}$是高速路段占全长的分率，两个分率相加，就是求这两部分长度之和占全长的比例，所以这个算式解决的是主桥和高速路段一共占全长的几分之几的问题。
对于第(2)问，我们把大桥全长看作单位“1”，要求普通路段占全长的几分之几，只需用单位“1”减去主桥路段和高速路段占全长的分率即可。画图时，根据分数分母将线段平均分成8份，把$\frac{1}{4}$转化为$\frac{2}{8}$，标注出主桥、高速路段对应的份数，剩余部分就是普通路段，以此直观呈现数量关系。
【解析】
(1) 因为$\frac{1}{4}$表示主桥路段占全长的分率，$\frac{5}{8}$表示高速路段占全长的分率，两者相加是求这两部分长度之和占全长的比例，所以该算式解决的问题是：主桥路段和高速路段的长度一共占全长的几分之几？
(2) ① 画图：
画一条线段表示大桥全长，将线段平均分成8份，标注其中2份为“主桥路段（占全长的$\frac{1}{4}$）”，5份为“高速路段（占全长的$\frac{5}{8}$）”，剩余部分标注“普通路段（占全长的几分之几？）”。
② 列式计算：
$1 - \frac{1}{4} - \frac{5}{8}$
$= \frac{8}{8} - \frac{2}{8} - \frac{5}{8}$
$= \frac{1}{8}$
答：普通路段的长度占全长的$\frac{1}{8}$。
【答案】
(1) 主桥路段和高速路段的长度一共占全长的几分之几
(2) ① 画图见解析；② $\frac{1}{8}$
【知识点】
分数加减法应用、单位“1”的认识
【点评】
本题考查分数加减法的实际应用，通过分析算式意义、画图梳理数量关系，帮助学生巩固对单位“1”的理解，培养数形结合的解题思维，属于基础分数应用题，能提升学生解决分数实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
对于第(1)问，我们要结合分数的意义来思考，$\frac{1}{4}$是主桥路段占全长的分率，$\frac{5}{8}$是高速路段占全长的分率，两个分率相加，就是求这两部分长度之和占全长的比例，所以这个算式解决的是主桥和高速路段一共占全长的几分之几的问题。
对于第(2)问，我们把大桥全长看作单位“1”，要求普通路段占全长的几分之几，只需用单位“1”减去主桥路段和高速路段占全长的分率即可。画图时，根据分数分母将线段平均分成8份，把$\frac{1}{4}$转化为$\frac{2}{8}$，标注出主桥、高速路段对应的份数，剩余部分就是普通路段，以此直观呈现数量关系。
【解析】
(1) 因为$\frac{1}{4}$表示主桥路段占全长的分率，$\frac{5}{8}$表示高速路段占全长的分率，两者相加是求这两部分长度之和占全长的比例，所以该算式解决的问题是：主桥路段和高速路段的长度一共占全长的几分之几？
(2) ① 画图：
画一条线段表示大桥全长，将线段平均分成8份，标注其中2份为“主桥路段（占全长的$\frac{1}{4}$）”，5份为“高速路段（占全长的$\frac{5}{8}$）”，剩余部分标注“普通路段（占全长的几分之几？）”。
② 列式计算：
$1 - \frac{1}{4} - \frac{5}{8}$
$= \frac{8}{8} - \frac{2}{8} - \frac{5}{8}$
$= \frac{1}{8}$
答：普通路段的长度占全长的$\frac{1}{8}$。
【答案】
(1) 主桥路段和高速路段的长度一共占全长的几分之几
(2) ① 画图见解析；② $\frac{1}{8}$
【知识点】
分数加减法应用、单位“1”的认识
【点评】
本题考查分数加减法的实际应用，通过分析算式意义、画图梳理数量关系，帮助学生巩固对单位“1”的理解，培养数形结合的解题思维，属于基础分数应用题，能提升学生解决分数实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
7. 妈妈做了一杯咖啡,她先喝掉$\frac{1}{4}$后,又喝了剩下的$\frac{1}{3}$,然后加满牛奶,接着喝了半杯。妈妈一共喝了多少杯咖啡? 多少杯牛奶? (画图试一试)
答案
$\frac{1}{4} + (1 - \frac{1}{4})×\frac{1}{3} + (1 - \frac{1}{4} - (1 - \frac{1}{4})×\frac{1}{3})×\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$
$=\frac{3}{4}$（杯）
$(1 - \frac{1}{4} - (1 - \frac{1}{4})×\frac{1}{3}) = \frac{1}{2}$（杯）
$\frac{1}{2}×\frac{1}{2} = \frac{1}{4}$（杯）
答：妈妈一共喝了$\frac{3}{4}$杯咖啡，$\frac{1}{4}$杯牛奶。
$=\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$
$=\frac{3}{4}$（杯）
$(1 - \frac{1}{4} - (1 - \frac{1}{4})×\frac{1}{3}) = \frac{1}{2}$（杯）
$\frac{1}{2}×\frac{1}{2} = \frac{1}{4}$（杯）
答：妈妈一共喝了$\frac{3}{4}$杯咖啡，$\frac{1}{4}$杯牛奶。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要分阶段理清每次喝的咖啡和牛奶量：
1. 咖啡是初始的1杯，无额外添加，只需把每次喝的咖啡量累加；牛奶是后续添加的，只有加牛奶后喝的部分才含牛奶，需先确定添加的牛奶量，再计算喝掉的牛奶量。
2. 第一次喝掉$\frac{1}{4}$杯，全是咖啡，剩余咖啡为$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$杯。
3. 第二次喝剩余咖啡的$\frac{1}{3}$，这部分也全是咖啡，算出该部分后可得到剩余咖啡量。
4. 加满牛奶时，添加的牛奶量等于之前喝掉的咖啡总量，因为杯子空缺部分就是喝掉的咖啡量。
5. 最后喝半杯，这半杯里咖啡和牛奶的比例等于剩余咖啡量与添加牛奶量的比例，据此算出这半杯里的咖啡和牛奶量，再累加咖啡总量，牛奶量即为最后喝的那部分。
【解析】
计算咖啡总量：
1. 第一次喝的咖啡：$\frac{1}{4}$杯
2. 第二次喝的咖啡：剩余咖啡为$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$杯，喝掉其中的$\frac{1}{3}$，即$(1-\frac{1}{4})×\frac{1}{3}=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$杯
3. 第三次喝的咖啡：此时剩余咖啡为$1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$杯，喝半杯即喝掉$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$杯
4. 咖啡总量：$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$杯
计算牛奶总量：
1. 加满牛奶时，添加的牛奶量为之前喝掉的咖啡量：$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$杯
2. 最后喝半杯，其中牛奶占$\frac{1}{2}$（剩余咖啡和添加牛奶各为$\frac{1}{2}$杯，比例为1:1），所以喝掉的牛奶量为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$杯
【答案】
妈妈一共喝了$\frac{3}{4}$杯咖啡，$\frac{1}{4}$杯牛奶。
【知识点】
分数乘法应用、分数加减法应用
【点评】
本题核心是分阶段分析饮品成分，明确咖啡总量固定为1杯，需逐步计算每次喝的咖啡占比；牛奶为后续添加，要结合添加量和饮用比例计算，考验学生分段分析和逻辑梳理能力，避免混淆咖啡与牛奶的量。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要分阶段理清每次喝的咖啡和牛奶量：
1. 咖啡是初始的1杯，无额外添加，只需把每次喝的咖啡量累加；牛奶是后续添加的，只有加牛奶后喝的部分才含牛奶，需先确定添加的牛奶量，再计算喝掉的牛奶量。
2. 第一次喝掉$\frac{1}{4}$杯，全是咖啡，剩余咖啡为$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$杯。
3. 第二次喝剩余咖啡的$\frac{1}{3}$，这部分也全是咖啡，算出该部分后可得到剩余咖啡量。
4. 加满牛奶时，添加的牛奶量等于之前喝掉的咖啡总量，因为杯子空缺部分就是喝掉的咖啡量。
5. 最后喝半杯，这半杯里咖啡和牛奶的比例等于剩余咖啡量与添加牛奶量的比例，据此算出这半杯里的咖啡和牛奶量，再累加咖啡总量，牛奶量即为最后喝的那部分。
【解析】
计算咖啡总量：
1. 第一次喝的咖啡：$\frac{1}{4}$杯
2. 第二次喝的咖啡：剩余咖啡为$1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$杯，喝掉其中的$\frac{1}{3}$，即$(1-\frac{1}{4})×\frac{1}{3}=\frac{3}{4}×\frac{1}{3}=\frac{1}{4}$杯
3. 第三次喝的咖啡：此时剩余咖啡为$1-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$杯，喝半杯即喝掉$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$杯
4. 咖啡总量：$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$杯
计算牛奶总量：
1. 加满牛奶时，添加的牛奶量为之前喝掉的咖啡量：$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$杯
2. 最后喝半杯，其中牛奶占$\frac{1}{2}$（剩余咖啡和添加牛奶各为$\frac{1}{2}$杯，比例为1:1），所以喝掉的牛奶量为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$杯
【答案】
妈妈一共喝了$\frac{3}{4}$杯咖啡，$\frac{1}{4}$杯牛奶。
【知识点】
分数乘法应用、分数加减法应用
【点评】
本题核心是分阶段分析饮品成分，明确咖啡总量固定为1杯，需逐步计算每次喝的咖啡占比；牛奶为后续添加，要结合添加量和饮用比例计算，考验学生分段分析和逻辑梳理能力，避免混淆咖啡与牛奶的量。
【难度系数】
0.6
