10. 新趋势 尺规作图（2023·威海中考）如图，在正方形ABCD中，分别以点A、B为圆心，以AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE，则∠CDE = ________ °.

10.15　解析:如图，连接AE、BE，由作图方法可知，AB = AE = BE，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE = 60°.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD = ∠ADC = 90°，AD = AB = AE，∴∠DAE = 90° - 60° = 30°，∴∠ADE = ∠AED = $\frac{180° - 30°}{2}$ = 75°，∴∠CDE = 90° - 75° = 15°.

11. 某同学的卧室地面形状是一个如图所示的四边形，现在量得AB = BC，∠B = ∠D = 90°，若点B到CD的距离为4 m，则该同学的卧室地面的面积为________ m².

11.16　解析:如图，过点B作BE⊥CD于点E，则BE = 4m，∠BEC = ∠BED = 90°，过点B作BF⊥DA，交DA的延长线于点F，则∠F = 90°，∴∠F = ∠BEC.∵∠F = ∠D = ∠BED = 90°，∴四边形BEDF是矩形，∴∠EBF = 90°，即∠FBA + ∠ABE = 90°.∵∠CBE + ∠ABE = ∠ABC = 90°，∴∠FBA = ∠EBC.在△ABF和△CBE中，$\begin{cases} \angle F = \angle BEC \\ \angle ABF = \angle CBE \\ AB = CB \end{cases}$，∴△ABF≌△CBE(AAS)，∴BF = BE = 4m，∴矩形BEDF是正方形，S正方形BEDF = BE² = 16m².∵△ABF≌△CBE，∴S四边形ABCD = S四边形ABED + S△BCE = S四边形ABED + S△ABF = S正方形BEDF = 16m².

12. 如图，矩形ABCD中，AD = 6，DC = 8，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH = 2，连接CF.
（1）若DG = 2，求证：四边形EFGH为正方形；
（2）若DG = 6，求△FCG的面积.

12.(1)∵四边形EFGH为菱形，∴HG = EH.∵AH = 2，DG = 2，∴DG = AH.在Rt△DHG和Rt△AEH中，$\begin{cases} HG = EH \\ DG = AH \end{cases}$，∴Rt△DHG≌Rt△AEH(HL)，∴∠DHG = ∠AEH.∵∠AEH + ∠AHE = 90°，∴∠DHG + ∠AHE = 90°，∴∠GHE = 90°，∴菱形EFGH为正方形.
(2)作FQ⊥CD交DC的延长线于点Q，连接GE，如图.∵四边形ABCD为矩形，∴AB//CD，∴∠AEG = ∠QGE，即∠AEH + ∠HEG = ∠QGF + ∠FGE.∵四边形EFGH为菱形，∴HE = GF，HE//GF，∴∠HEG = ∠FGE，∴∠AEH = ∠QGF.在△AEH和△QGF中，$\begin{cases} \angle A = \angle Q \\ \angle AEH = \angle QGF \\ HE = FG \end{cases}$，∴△AEH≌△QGF，∴QF = AH = 2.∵DG = 6，CD = 8，∴CG = 2，∴△FCG的面积 = $\frac{1}{2}$CG·FQ = $\frac{1}{2}$×2×2 = 2.

13.（2024·泸州中考）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB、BC上的动点，且满足AE = BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG = 2GB，则OM + $\frac{1}{2}$FG的最小值是 （ ）

A. 4
B. 5
C. 8
D. 10

13.B　解析:∵四边形ABCD是正方形，∴AD = AB，∠DAB = ∠ABC = 90°.又∵AE = BF，∴△ADE≌△BAF(SAS)，∴∠ADE = ∠BAF，∴∠DOF = ∠ADO + ∠DAO = ∠BAF + ∠DAO = ∠DAB = 90°.∵M是DF的中点，∴OM = $\frac{1}{2}$DF.如图所示，在AB延长线上截取BH = BG，连接FH.∵∠FBG = ∠FBH = 90°，FB = FB，BG = BH，∴△FBG≌△FBH(SAS)，∴FH = FG，∴OM + $\frac{1}{2}$FG = $\frac{1}{2}$DF + $\frac{1}{2}$HF = $\frac{1}{2}$(DF + HF)，∴当H、D、F三点共线时，DF + HF有最小值，即此时OM + $\frac{1}{2}$FG有最小值，最小值即为DH的长的一半.∵AG = 2GB，AB = 6，∴BH = BG = 2，∴AH = 8，在Rt△ADH中，由勾股定理得DH = $\sqrt{AD^{2} + AH^{2}}$ = 10，∴OM + $\frac{1}{2}$FG的最小值为5.故选B.

14.（2023·湖南中考）问题情境：
小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形ABCD的边BC上任意取一点G，以BG为边长向外作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转.
特例感知：
（1）当BG在BC上时，连接DF、AC相交于点P，小红发现点P恰为DF的中点，如图①. 针对小红发现的结论，请给出证明.
（2）小红继续连接EG，并延长与DF相交，发现交点恰好也是DF的中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由.
规律探究：
（3）如图③，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α，连接DF，点P是DF的中点，连接AP、EP、AE，△APE的形状是否发生改变？请说明理由.

14.(1)连接BD、BF、BP，如图①.∵四边形ABCD、四边形BEFG都是正方形，∴∠CBD = 45° = ∠FBG，∴∠DBF = 90°.∵四边形ABCD是正方形，∴AD = AB，∠DAC = ∠BAC = 45°.又∵AP = AP，∴△APD≌△APB(SAS)，∴BP = DP，∴∠PDB = ∠PBD.∵∠PDB + ∠PFB = 90° = ∠PBD + ∠PBF，∴∠PBF = ∠PFB，∴PB = PF，∴PD = PF，即点P恰为DF的中点.
　
(2)△APE是等腰直角三角形，理由如下:
∵四边形ABCD、四边形BEFG都是正方形，∴∠CAE = ∠PEA = 45°，∴AP = EP，∠APE = 90°，∴△APE是等腰直角三角形.
(3)△APE的形状不改变.理由:延长EP至点M，使PM = EP，连接MA、MD，如图②.∵四边形ABCD、四边形BEFG都是正方形，∴AB = AD，∠BAD = ∠ABC = ∠EBG = 90°，BE = EF，BG//EF.∵点P为DF的中点，∴PD = PF.∵∠DPM = ∠FPE，PM = PE，∴△MPD≌△EPF(SAS)，∴DM = EF，∠DMP = ∠FEP，∴BE = DM，DM//EF，∴BG//DM.设DF交BC于点H，交BG于点N，∴∠MDN = ∠DNB.∵AD//BC，∴∠ADN = ∠BHN.∵∠BHN + ∠BNH + ∠HBN = 180°，∴∠ADM = ∠ADN + ∠MDN = ∠BHN + ∠BNH = 180° - ∠HBN.∵∠ABE = 360° - ∠ABC - ∠EBG - ∠HBN = 180° - ∠HBN，∴∠ADM = ∠ABE.又∵AD = AB，∴△ADM≌△ABE(SAS)，∴AM = AE，∠DAM = ∠BAE.∵PM = EP，∴AP⊥ME，即∠APE = 90°.∵∠DAM + ∠MAB = 90°，∴∠BAE + ∠MAB = 90°，即∠MAE = 90°，∴∠MAP = ∠PAE = 45°，∴∠PEA = 45° = ∠PAE，∴AP = EP，∴△APE是等腰直角三角形.