1. 教材P94复习题T19变式 (1)如图①，在正方形ABCD中，AE、DF相交于点O且AE⊥DF，则AE和DF的数量关系为_______.
(2)如图②，在正方形ABCD中，E、F、G分别是边AD、BC、CD上的点，BG⊥EF，垂足为H. 求证：EF=BG.
(3)如图③，在正方形ABCD中，E、F、M分别是边AD、BC、AB上的点，AE = 2，BF = 4，BM = 1，将正方形沿EF折叠，点M的对应点与CD边上的点N重合，求CN的长度.

(1) $AE = DF$ 解析：在正方形 $ABCD$ 中，$\angle BAD=\angle DAO+\angle BAE = 90^{\circ}$。$\because AE\perp DF$，$\therefore\angle DAO+\angle ADF = 90^{\circ}$。$\therefore\angle BAE=\angle ADF$。在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle DAF$ 中，$\begin{cases}\angle BAE=\angle ADF,\\AB = DA,\\\angle ABE=\angle DAF,\end{cases}$
$\therefore\triangle ABE\cong\triangle DAF(ASA)$，$\therefore AE = DF$。
(2) 如图①，过点 $E$ 作 $EM\perp BC$ 于点 $M$，则四边形 $ABME$ 为矩形，则 $AB = EM$。在正方形 $ABCD$ 中，$AB = BC$，$\therefore EM = BC$。$\because EM\perp BC$，$\therefore\angle MEF+\angle EFM = 90^{\circ}$。$\because BG\perp EF$，$\therefore\angle CBG+\angle EFM = 90^{\circ}$，$\therefore\angle CBG=\angle MEF$。在 $\triangle BCG$ 和 $\triangle EMF$ 中，$\begin{cases}\angle CBG=\angle MEF,\\BC = EM,\\\angle C=\angle EMF,\end{cases}$
$\therefore\triangle BCG\cong\triangle EMF(ASA)$，$\therefore EF = BG$。
　　　　　　　 　　　
(3) 如图②，连接 $MN$。$\because M$、$N$ 关于 $EF$ 对称，$\therefore MN\perp EF$，过点 $E$ 作 $EH\perp BC$ 于点 $H$，过点 $M$ 作 $MG\perp CD$ 于点 $G$，则 $EH\perp MG$。由(2)同理可得 $\triangle EHF\cong\triangle MGN$，$\therefore NG = HF$。$\because AE = 2$，$BF = 4$，$\therefore NG = HF = 4 - 2 = 2$。又 $\because GC = MB = 1$，$\therefore NC = NG+CG = 2 + 1 = 3$。

2. 将n个边长都为1 cm的正方形按如图所示的方法摆放，点$A_{1}、$$A_{2}、$$A_{3}、$…、$A_{n}$分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为________.

$\frac{n - 1}{4}cm^{2}$

3. 如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在边AB、BC上(AE＜BE)，且∠EOF = 90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN.
(1)求证：△OMN是等腰直角三角形；
(2)若正方形ABCD的边长为2，OE = EM，求MN的长.

(1) $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$\therefore OA = OB$，$\angle DAO = 45^{\circ}$，$\angle OBA = 45^{\circ}$，$\therefore\angle OAM=\angle OBN = 135^{\circ}$。$\because\angle EOF = 90^{\circ}$，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle AOM=\angle BON$，$\therefore\triangle OAM\cong\triangle OBN(ASA)$，$\therefore OM = ON$，$\therefore\triangle OMN$ 是等腰直角三角形。
(2) 如图，过点 $O$ 作 $OH\perp AD$ 于点 $H$，$OG\perp AB$ 于点 $G$，$\because$ 正方形的边长为 $2$，$\therefore HA = OH = OG = 1$。$\because OE = EM$，$\angle OGE=\angle MAE = 90^{\circ}$，$\angle OEG=\angle MEA$，$\therefore\triangle OEG\cong\triangle MEA(AAS)$，$\therefore OG = MA = 1$，$\therefore HM = 2$，$\therefore OM = ON=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，$\therefore MN=\sqrt{5 + 5}=\sqrt{10}$。