【变式7】如图，已知A，B是数轴上的两点，点A在点B左侧，点B表示的数为-2，AB=12.点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动.
(1)数轴上点A表示的数为；
(2)当点P运动t s时，点P表示的数为，PB=；当点P运动s时，PB=3.

(1)点A表示的数为−2−12=−14。
(2)点P的起始点表示的数为−14，向右运动t s，速度为每秒2个单位长度，所以此时点P表示的数为−14+2t。
线段PB的长的表示方法：①当点P在点B左侧时，用点B表示的数减去点P表示的数，−2−(−14+2t)=12−2t；当点P在点B右侧时，用点P表示的数减去点B表示的数，(−14+2t)−(−2)=2t−12。②因为绝对值的非负性，也可以用点P，B表示的数的差的绝对值表示两点之间的距离，|−2−(−14+2t)|=|12−2t|，此时不需要分类讨论，即PB=|12−2t|。
解方程|12−2t|=3，解得t=$\frac{9}{2}$或t=$\frac{15}{2}$。

【分析】
(1) 数轴上左侧的点表示的数比右侧的小，已知点A在点B左侧，AB长度为12，用点B表示的数减去AB的长度即可求出点A表示的数。
(2) 点P向右运动，t秒运动的路程为速度×时间=2t，因此点P表示的数为起始点A对应的数加上运动的路程；计算PB长度时，两点距离等于两点对应数的差的绝对值，也可以分点P在点B左侧、右侧两种情况计算；当PB=3时，列方程求解即可得到对应的运动时间。
【解析】
(1) 因为点A在点B左侧，AB=12，点B表示的数为-2，所以点A表示的数为：$\boldsymbol{-2-12=-14}$。
(2) 点P从表示-14的点A出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，t秒后运动的路程为2t，因此此时点P表示的数为：$\boldsymbol{-14+2t}$。
计算PB的长度：
① 分类讨论：当点P在点B左侧时，$PB=-2-(-14+2t)=12-2t$；当点P在点B右侧时，$PB=(-14+2t)-(-2)=2t-12$，也可以用绝对值统一表示为$\boldsymbol{PB=|12-2t|}$。
② 当PB=3时，分两种情况解方程：
情况1：$12-2t=3$，解得$2t=9$，$t=\frac{9}{2}$；
情况2：$2t-12=3$，解得$2t=15$，$t=\frac{15}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-14}$
(2) $\boldsymbol{-14+2t}$；$\boldsymbol{|12-2t|}$（或$12-2t$和$2t-12$）；$\boldsymbol{\frac{9}{2}}$或$\boldsymbol{\frac{15}{2}}$
【知识点】
数轴的应用，两点间距离计算，动点问题求解
【点评】
本题是数轴动点类基础题型，核心考查数轴上点的平移规律（左减右加）和两点距离的计算方法，解题时可以通过分类讨论或者绝对值的性质避免漏解，是后续学习方程实际应用的常用基础模型。
【难度系数】
0.7

1.已知∠AOB=90°,OC是它的一条三等分线,则∠AOC等于（）

A.30°或60°
B.45°或60°
C.30°
D.45°

1.A [解析] 因为∠AOB=90°,OC是它的一条三等分线,所以当∠AOC=$\frac{1}{3}$∠AOB时,∠AOC=30°;当∠AOC=$\frac{2}{3}$∠AOB时,∠AOC=60°.

【分析】
首先要明确角的三等分线的含义：将一个角平均分成3个相等小角的射线，其次题目没有明确OC的位置，需要分两种情况讨论。第一步先计算∠AOB三等分后每份的角度，再分别计算两种情况下∠AOC的度数即可。
【解析】
已知∠AOB=90°，OC是它的三等分线，说明OC把∠AOB分成3个大小相等的角，每个小角的度数为：$90°÷3=30°$。
分两种情况讨论：
1. 当∠AOC占1份，即$∠ AOC=\frac{1}{3}∠ AOB$时，$∠ AOC=90°×\frac{1}{3}=30°$；
2. 当∠AOC占2份，即$∠ AOC=\frac{2}{3}∠ AOB$时，$∠ AOC=90°×\frac{2}{3}=60°$。
因此∠AOC的度数为30°或60°。
【答案】
A
【知识点】
角的三等分线，分类讨论，角度计算
【点评】
本题的易错点是忽略OC位置不唯一，仅考虑一种情况导致漏解，遇到未明确位置的角等分线问题时，要全面考虑所有可能的情况。
【难度系数】
0.6

2.已知线段AB上有两点C,D,使得AC:CD:DB=1:2:3,M,N也在线段AB上,且M是AC的中点,DN=$\frac{1}{4}$DB,AB=48,则MN的长是.

2. 26或14 [解析] 因为AB=48,AC:CD:DB=1:2:3,所以AC=8,CD=16,DB=24.
因为M是AC的中点,DN=$\frac{1}{4}$DB,所以MC=4,DN=6.
如图1,当点N在点D右侧时,则MN=MC+CD+DN=4+16+6=26.

如图2,当点N在点D左侧时,则MN=MC+CD-DN=4+16-6=14.
故MN的长为26或14.

【分析】
解题时先根据线段的比例关系和AB的总长度，求出AC、CD、DB的长度，再结合中点的性质求出MC的长度，根据DN和DB的关系求出DN的长度。由于点N的位置没有明确，需要分两种情况讨论：点N在D的右侧、点N在D的左侧，分别根据线段的和差关系计算MN的长度即可。
【解析】
解：已知AC:CD:DB=1:2:3，总份数为$1+2+3=6$份。
因为$AB=48$，所以每份长度为$48÷6=8$，因此：
$AC=1×8=8$，$CD=2×8=16$，$DB=3×8=24$。
因为M是AC的中点，所以$MC=AC÷2=8÷2=4$；
又因为$DN=\frac{1}{4}DB$，所以$DN=24×\frac{1}{4}=6$。
分两种情况讨论：
① 如图1，当点N在点D右侧时，MN由MC、CD、DN三段组成，
所以$MN=MC+CD+DN=4+16+6=26$；

② 如图2，当点N在点D左侧时，DN在CD内部，
所以$MN=MC+CD-DN=4+16-6=14$。
综上，MN的长为26或14。
【答案】
26或14
【知识点】
按比例分配计算、线段中点的定义、线段的和差计算
【点评】
本题易错点是容易忽略点N的位置有两种情况，导致漏解。解题时要先根据比例关系求出各段线段长度，再结合图形分情况讨论，利用线段的和差关系求解即可。
【难度系数】
0.6

3.如图,射线OC,OD把∠AOB分成三个角，且∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，
OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，且∠NOM=90°.求∠COD的度数.

3.解:因为∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4,设∠AOC=2x,所以∠COD=3x,∠DOB=4x.
因为OM平分∠AOC,ON平分∠BOD,所以∠AOM=∠COM=x,∠DON=∠BON=2x.
因为∠NOM=90°,所以2x+3x+x=90°,解得x=15°,所以∠COD=3×15°=45°.

【分析】
遇到角度比的问题，我们可以先设每份角度为x，用含x的代数式表示出各个角的度数；再结合角平分线的性质，得到被平分后的小角的度数；最后观察图形可知∠NOM由∠COM、∠COD、∠DON组成，已知∠NOM=90°，据此列方程求出x的值，即可计算∠COD的度数。
【解析】
解：已知∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，设∠AOC=2x，则∠COD=3x，∠DOB=4x。
因为OM平分∠AOC，所以∠COM=∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=x；
因为ON平分∠BOD，所以∠DON=∠BON=$\frac{1}{2}$∠DOB=2x。
观察图形可得∠NOM=∠COM+∠COD+∠DON，且∠NOM=90°，代入得：
$x + 3x + 2x = 90°$
$6x = 90°$
解得$x=15°$
所以$∠ COD=3x=3×15°=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
1. 角平分线的定义
2. 角的和差计算
3. 比例的应用
【点评】
本题是角度计算的基础题型，综合考查了比例、角平分线和角的和差关系，解题的关键是合理设未知数，根据已知角度找到等量关系列方程求解，掌握解题思路后很容易得出答案。
【难度系数】
0.7