1[2025江苏南通崇川区调研,中]如图,数轴上A,B两点表示的数分别为-1和$\sqrt{3}$,点A是CB的中点,则点C所表示的数为（）


A.$-2-\sqrt{3}$
B.$-1-\sqrt{3}$
C.$-2+\sqrt{3}$
D.$1-2\sqrt{3}$

1. A 【解析】
∵ 数轴上 A,B 两点表示的数分别为-1 和$\sqrt{3}$,$\therefore AB=\sqrt{3}-(-1)=\sqrt{3}+1$.
∵ 点 A 是 CB 的中点,$\therefore AC=AB=\sqrt{3}+1$.
∵ 点 C 在 A 的左边,$\therefore -1-(\sqrt{3}+1)=-2-\sqrt{3}$,则点 C 所表示的数为$-2-\sqrt{3}$,故选 A.

2[2025浙江杭州期中,中]已知$a$是$\sqrt{26}-2$的整数部分，$b$是$\sqrt{26}-2$的小数部分，则$(-a+2)^3 + (b+5)^2$的平方根是（）

A.$3$
B.$\pm3$
C.$5$
D.$\pm5$

2. D 【解析】$\because 5＜\sqrt{26}＜6$,$\therefore 3＜\sqrt{26}-2＜4$. $\because a$ 是$\sqrt{26}-2$的整数部分,$b$ 是$\sqrt{26}-2$的小数部分,$\therefore a=3$,$b=\sqrt{26}-2-3=\sqrt{26}-5$,$\therefore (-a+2)^3 + (b+5)^2 = (-3+2)^3 + (\sqrt{26}-5+5)^2 = -1+26=25$,$\therefore (-a+2)^3 + (b+5)^2$ 的平方根为$\pm\sqrt{25}=\pm5$,故选 D.

3[2025江苏无锡期末,中]已知$a,b,n$均为正整数.若$n-1＜\sqrt{a}＜n$，$n＜\sqrt{b}＜n+1$，则满足条件的$a$的个数总比$b$的个数少个.

3. 2 【解析】
∵ $a,b,n$ 均为正整数,$n-1＜\sqrt{a}＜n$,$n＜\sqrt{b}＜n+1$,$\therefore n＞1$,且 $n-1,n,n+1$ 为三个连续的正整数,$\therefore \sqrt{(n-1)^2}＜\sqrt{a}＜\sqrt{n^2}$,$\sqrt{n^2}＜\sqrt{b}＜\sqrt{(n+1)^2}$. $\because 1^2=1,2^2=4,3^2=9,4^2=16,···$,$\therefore (n-1)^2$ 与 $n^2$ 之间的整数有$(2n-2)$个,$n^2$ 与 $(n+1)^2$ 之间的整数有 $2n$ 个,$\therefore$ 满足条件的 $a$ 的个数总比 $b$ 的个数少 $2n-(2n-2)=2$(个),故答案为 2.

4[较难]如图，纸上画有一个数轴，点A表示的数为-1，点B表示的数为3，点C表示的数为$\sqrt{3}$。若子轩同学先将纸对折，折痕与数轴的交点为点B，然后再次将纸对折，使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是。

4. $4+\sqrt{3}$ 或 $6-\sqrt{3}$ 或 $2-\sqrt{3}$ 【解析】第一次对折后与 A 重合的点表示的数是 $3+(3+1)=7$,与 C 重合的点表示的数为 $3+(3-\sqrt{3})=6-\sqrt{3}$. 第二次对折后,折痕与数轴的交点表示的数为 $\dfrac{1}{2}×(3+7)=5$ 或 $\dfrac{1}{2}×(-1+3)=1$,此时与数轴上的点 C 重合的点表示的数为 $5+(5-6+\sqrt{3})=4+\sqrt{3}$ 或 $1-(\sqrt{3}-1)=2-\sqrt{3}$. 故答案为 $4+\sqrt{3}$ 或 $6-\sqrt{3}$ 或 $2-\sqrt{3}$.

5[2025江苏苏州调研,较难]我们发现:$\sqrt{6+3}=3,\sqrt{6+\sqrt{6+3}}=3,\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+3}}}=3,···,\underbrace{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+···+\sqrt{6+\sqrt{6+3}}}}}}_{n个根号}=3$,一般地,对于正整数$a,b$,如果满足$=a$,那么称$(a,b)$为一组完美方根数对,如上面$(3,6)$是一组完美方根数对.下面4个结论:①$(4,12)$是完美方根数对;②$(9,91)$是完美方根数对;③若$(a,380)$是完美方根数对,则$a^2 -a=380$;④若$(x,y)$是完美方根数对,则$x,y$满足$y=x^2 -x$.其中正确的结论有.(填序号)

5. ①③④ 【解析】$\because \sqrt{12+4}=4$,$\sqrt{12+\sqrt{12+4}}=4$,$\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+4}}}=4$,$···$,$\therefore (4,12)$ 是完美方根数对,故①正确;$\because \sqrt{91+9}=10≠9$,$\therefore (9,91)$ 不是完美方根数对,故②错误;若 $(a,380)$ 是完美方根数对,则 $\sqrt{380+a}=a$,$\therefore a^2=380+a$,即 $a^2-a=380$,故③正确;若 $(x,y)$ 是完美方根数对,则 $\sqrt{y+x}=x$,$\therefore y+x=x^2$,即 $y=x^2-x$,故④正确. 故答案为①③④.

6 新考法[2026江苏南京期中，中]已知$a＞0,b＞0$,$\sqrt{a}＞\sqrt{b}$,求证:$a＞b$.
(1)证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格.

(2)请用另一种方法证明.
刷素养 走向重高

6.【解】(1)$\because a＞0,b＞0$,$\therefore \sqrt{a}＞0,\sqrt{b}＞0$. $\because \sqrt{a}＞\sqrt{b}$,$\therefore (\sqrt{a})^2 ＞ \sqrt{a} × \sqrt{b}$,$\sqrt{a} × \sqrt{b} ＞ (\sqrt{b})^2$,$\therefore (\sqrt{a})^2 ＞ (\sqrt{b})^2$,$\therefore a＞b$. 故答案为 $\sqrt{a} × \sqrt{b} ＞ (\sqrt{b})^2$,$a＞b$.
(2)$\because a＞0,b＞0$,$\therefore (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2=a-b$. $\because \sqrt{a}＞\sqrt{b}$,$\therefore \sqrt{a}＞\sqrt{b}＞0$,$\therefore \sqrt{a}+\sqrt{b}＞0$,$\sqrt{a}-\sqrt{b}＞0$,$\therefore (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})＞0$,$\therefore a-b＞0$,即 $a＞b$.(方法不唯一)

7 核心素养运算能力[2026江苏扬州期中，较难]对于非负实数a，我们规定：用符号$[\sqrt{a}]$表示不大于$\sqrt{a}$的最大整数，称$[\sqrt{a}]$为a的根整数。例如：$[\sqrt{9}]=3$，$[\sqrt{10}]=3$。如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止。例如：对10连续求根整数2次，$[\sqrt{10}]=3→[\sqrt{3}]=1$，这时候结果为1。
(1)仿照以上方法计算：$[\sqrt{27}]=$。
(2)对100连续求根整数，次之后结果为1。只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的正整数是。
(3)计算：$[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+\dots+[\sqrt{64}]$。
(4)若x是方程$[\sqrt{100-x}]-[\sqrt{x-20}]=2$的最小非负整数解，求x的值。

7.【解】(1)$\because 25＜27＜36$,$\therefore \sqrt{25}＜\sqrt{27}＜\sqrt{36}$,即$5＜\sqrt{27}＜6$,$\therefore [\sqrt{27}]=5$,故答案为 5.
(2)$[\sqrt{100}]=10\rightarrow [\sqrt{10}]=3\rightarrow [\sqrt{3}]=1$,则对 100 连续求根整数,3 次之后结果为 1.$[\sqrt{255}]=15\rightarrow [\sqrt{15}]=3\rightarrow [\sqrt{3}]=1$,$\therefore$ 对 255 只需进行 3 次连续求根整数运算后结果为 1,$[\sqrt{256}]=16\rightarrow [\sqrt{16}]=4\rightarrow [\sqrt{4}]=2\rightarrow [\sqrt{2}]=1$,$\therefore$ 对 256 需进行 4 次连续求根整数运算后结果为 1,则只需进行 3 次连续求根整数运算后结果为 1 的所有正整数中,最大的正整数是 255,故答案为 3,255.
(3)$[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+\dots+[\sqrt{64}]=1+1+1+2×5+3×7+4×9+5×11+6×13+7×15+8=316$.
(4)若x是方程$[\sqrt{100-x}]-[\sqrt{x-20}]=2$的最小非负整数解,则$100-x≥0$,$x-20≥0$,解得$20≤ x≤100$.
①当$[\sqrt{100-x}]=2$,$[\sqrt{x-20}]=0$时,$2≤\sqrt{100-x}＜3$,$0≤\sqrt{x-20}＜1$,解得$91＜x≤96$,$20≤ x＜21$,此时无解;
②当$[\sqrt{100-x}]=3$,$[\sqrt{x-20}]=1$时,$3≤\sqrt{100-x}＜4$,$1≤\sqrt{x-20}＜2$,解得$84＜x≤91$,$21≤ x＜24$,此时无解;
③当$[\sqrt{100-x}]=4$,$[\sqrt{x-20}]=2$时,$4≤\sqrt{100-x}＜5$,$2≤\sqrt{x-20}＜3$,解得$75＜x≤84$,$24≤ x＜29$,此时无解;
④当$[\sqrt{100-x}]=5$,$[\sqrt{x-20}]=3$时,$5≤\sqrt{100-x}＜6$,$3≤\sqrt{x-20}＜4$,解得$64＜x≤75$,$29≤ x＜36$,此时无解;
⑤当$[\sqrt{100-x}]=6$,$[\sqrt{x-20}]=4$时,$6≤\sqrt{100-x}＜7$,$4≤\sqrt{x-20}＜5$,解得$51＜x≤64$,$36≤ x＜45$,此时无解;
⑥当$[\sqrt{100-x}]=7$,$[\sqrt{x-20}]=5$时,$7≤\sqrt{100-x}＜8$,$5≤\sqrt{x-20}＜6$,解得$36＜x≤51$,$45≤ x＜56$,此时$45≤ x≤51$;
⑦当$[\sqrt{100-x}]=8$,$[\sqrt{x-20}]=6$时,$8≤\sqrt{100-x}≤\sqrt{80}$,$6≤\sqrt{x-20}＜7$,解得$20≤ x≤36$,$56≤ x＜69$,此时无解,则最小非负整数解$x=45$.