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23.综合与实践
【问题背景】
(1)已知A(1,2),B(3,0),C(1,−1),D(−3,−3).在如图(1)所示的平面直角坐标系中描出这几个点,并分别找到线段AB和CD的中点P₁,P₂,然后写出它们的坐标,则P₁的坐标为
【探究发现】
(2)结合上述计算结果,你能发现:若线段的两个端点的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),则线段的中点坐标为
【拓展应用】
(3)利用上述规律解决下列问题:如图(2),已知三点E(−1,2),F(3,1),G(1,4),第四个点H(x,y)与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点,与另外两个点构成的线段的中点重合,求点H的坐标.
【问题背景】
(1)已知A(1,2),B(3,0),C(1,−1),D(−3,−3).在如图(1)所示的平面直角坐标系中描出这几个点,并分别找到线段AB和CD的中点P₁,P₂,然后写出它们的坐标,则P₁的坐标为
(2,1)
,P₂的坐标为(-1,-2)
.【探究发现】
(2)结合上述计算结果,你能发现:若线段的两个端点的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),则线段的中点坐标为
$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
.【拓展应用】
(3)利用上述规律解决下列问题:如图(2),已知三点E(−1,2),F(3,1),G(1,4),第四个点H(x,y)与点E、点F、点G中的一个点构成的线段的中点,与另外两个点构成的线段的中点重合,求点H的坐标.
答案
23.(1)(2,1) (-1,-2) (2)$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
(3)解:
∵E(-1,2),F(3,1),G(1,4),
∴线段EF的中点坐标为$(1,\frac{3}{2})$,线段EG的中点坐标为(0,3),线段FG的中点坐标为$(2,\frac{5}{2})$.
当线段HG的中点与线段EF的中点重合时,则$\begin{cases}\frac{x+1}{2}=1,\\\frac{y+4}{2}=\frac{3}{2}.\end{cases}$
∴$\begin{cases}x=1,\\y=-1.\end{cases}$
∴点H的坐标为(1,-1).
同理,当线段HF的中点与线段EG的中点重合时,点H的坐标为(-3,5);当线段HE的中点与线段FG的中点重合时,点H的坐标为(5,3).
综上所述,点H的坐标为(1,-1)或(-3,5)或(5,3).
(3)解:
∵E(-1,2),F(3,1),G(1,4),
∴线段EF的中点坐标为$(1,\frac{3}{2})$,线段EG的中点坐标为(0,3),线段FG的中点坐标为$(2,\frac{5}{2})$.
当线段HG的中点与线段EF的中点重合时,则$\begin{cases}\frac{x+1}{2}=1,\\\frac{y+4}{2}=\frac{3}{2}.\end{cases}$
∴$\begin{cases}x=1,\\y=-1.\end{cases}$
∴点H的坐标为(1,-1).
同理,当线段HF的中点与线段EG的中点重合时,点H的坐标为(-3,5);当线段HE的中点与线段FG的中点重合时,点H的坐标为(5,3).
综上所述,点H的坐标为(1,-1)或(-3,5)或(5,3).
解析
【分析】
(1) 求线段中点坐标时，中点的横坐标是两个端点横坐标的平均值，纵坐标是两个端点纵坐标的平均值，代入A、B和C、D的坐标直接计算即可。
(2) 将第一问的具体数值推广到一般坐标的点，即可总结出线段中点坐标的通用公式。
(3) 先计算出EF、EG、FG三条已知线段的中点坐标，再分三种情况讨论：①HG的中点与EF中点重合；②HF的中点与EG中点重合；③HE的中点与FG中点重合，分别根据中点坐标公式列方程求解x、y，就能得到H的所有可能坐标，注意不要遗漏情况。
【解析】
(1) 对于线段AB，端点A(1,2)，B(3,0)：
中点$P_1$的横坐标为$\frac{1+3}{2}=2$，纵坐标为$\frac{2+0}{2}=1$，即$P_1(2,1)$；
对于线段CD，端点C(1,-1)，D(-3,-3)：
中点$P_2$的横坐标为$\frac{1+(-3)}{2}=-1$，纵坐标为$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，即$P_2(-1,-2)$。
(2) 结合(1)的计算规律，若线段两个端点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点横坐标为两端点横坐标和的一半，纵坐标为两端点纵坐标和的一半，即中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
(3) 先计算三条已知线段的中点：
线段EF端点E(-1,2)、F(3,1)，中点坐标为$(\frac{-1+3}{2},\frac{2+1}{2})=(1,\frac{3}{2})$；
线段EG端点E(-1,2)、G(1,4)，中点坐标为$(\frac{-1+1}{2},\frac{2+4}{2})=(0,3)$；
线段FG端点F(3,1)、G(1,4)，中点坐标为$(\frac{3+1}{2},\frac{1+4}{2})=(2,\frac{5}{2})$。
分三种情况求解：
① 当线段HG的中点与EF的中点重合时，列方程：
$\begin{cases}\frac{x+1}{2}=1\\\frac{y+4}{2}=\frac{3}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}$，即$H(1,-1)$；
② 当线段HF的中点与EG的中点重合时，列方程：
$\begin{cases}\frac{x+3}{2}=0\\\frac{y+1}{2}=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-3\\y=5\end{cases}$，即$H(-3,5)$；
③ 当线段HE的中点与FG的中点重合时，列方程：
$\begin{cases}\frac{x+(-1)}{2}=2\\\frac{y+2}{2}=\frac{5}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=5\\y=3\end{cases}$，即$H(5,3)$。
综上，点H的坐标为(1,-1)或(-3,5)或(5,3)。
【答案】
(1) $(2,1)$；$(-1,-2)$
(2) $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
(3) $(1,-1)$或$(-3,5)$或$(5,3)$
【知识点】
平面直角坐标系，中点坐标公式，分类讨论
【点评】
本题从具体计算入手引导学生探究中点坐标规律，再应用规律解决多情况的坐标求解问题，既考察了规律探究能力，也要求学生考虑问题全面，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 求线段中点坐标时，中点的横坐标是两个端点横坐标的平均值，纵坐标是两个端点纵坐标的平均值，代入A、B和C、D的坐标直接计算即可。
(2) 将第一问的具体数值推广到一般坐标的点，即可总结出线段中点坐标的通用公式。
(3) 先计算出EF、EG、FG三条已知线段的中点坐标，再分三种情况讨论：①HG的中点与EF中点重合；②HF的中点与EG中点重合；③HE的中点与FG中点重合，分别根据中点坐标公式列方程求解x、y，就能得到H的所有可能坐标，注意不要遗漏情况。
【解析】
(1) 对于线段AB，端点A(1,2)，B(3,0)：
中点$P_1$的横坐标为$\frac{1+3}{2}=2$，纵坐标为$\frac{2+0}{2}=1$，即$P_1(2,1)$；
对于线段CD，端点C(1,-1)，D(-3,-3)：
中点$P_2$的横坐标为$\frac{1+(-3)}{2}=-1$，纵坐标为$\frac{-1+(-3)}{2}=-2$，即$P_2(-1,-2)$。
(2) 结合(1)的计算规律，若线段两个端点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点横坐标为两端点横坐标和的一半，纵坐标为两端点纵坐标和的一半，即中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。
(3) 先计算三条已知线段的中点：
线段EF端点E(-1,2)、F(3,1)，中点坐标为$(\frac{-1+3}{2},\frac{2+1}{2})=(1,\frac{3}{2})$；
线段EG端点E(-1,2)、G(1,4)，中点坐标为$(\frac{-1+1}{2},\frac{2+4}{2})=(0,3)$；
线段FG端点F(3,1)、G(1,4)，中点坐标为$(\frac{3+1}{2},\frac{1+4}{2})=(2,\frac{5}{2})$。
分三种情况求解：
① 当线段HG的中点与EF的中点重合时，列方程：
$\begin{cases}\frac{x+1}{2}=1\\\frac{y+4}{2}=\frac{3}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=1\\y=-1\end{cases}$，即$H(1,-1)$；
② 当线段HF的中点与EG的中点重合时，列方程：
$\begin{cases}\frac{x+3}{2}=0\\\frac{y+1}{2}=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=-3\\y=5\end{cases}$，即$H(-3,5)$；
③ 当线段HE的中点与FG的中点重合时，列方程：
$\begin{cases}\frac{x+(-1)}{2}=2\\\frac{y+2}{2}=\frac{5}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=5\\y=3\end{cases}$，即$H(5,3)$。
综上，点H的坐标为(1,-1)或(-3,5)或(5,3)。
【答案】
(1) $(2,1)$；$(-1,-2)$
(2) $(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$
(3) $(1,-1)$或$(-3,5)$或$(5,3)$
【知识点】
平面直角坐标系，中点坐标公式，分类讨论
【点评】
本题从具体计算入手引导学生探究中点坐标规律，再应用规律解决多情况的坐标求解问题，既考察了规律探究能力，也要求学生考虑问题全面，避免漏解。
【难度系数】
0.6
