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21.阅读下列材料
在平面直角坐标系中,对于点$P(x,y)$,若点$Q$的坐标为$(ax+y,x+ay)$,其中$a$为常数,则称点$Q$是点$P$的“$a$级关联点”.例如:点$P(1,4)$的“3级关联点”为$Q(3×1+4,1+3×4)$,即$Q(7,13)$.
(1)已知点$A(2,6)$的“$\frac{1}{2}$级关联点”是$B$,求点$B$的坐标;
(2)已知点$P(2,-1)$的“$a$级关联点”为$(9,b)$,求$a+b$的值;
(3)已知点$M(m-1,2m)$的“$-4$级关联点”$N$位于坐标轴上,求点$N$的坐标.
在平面直角坐标系中,对于点$P(x,y)$,若点$Q$的坐标为$(ax+y,x+ay)$,其中$a$为常数,则称点$Q$是点$P$的“$a$级关联点”.例如:点$P(1,4)$的“3级关联点”为$Q(3×1+4,1+3×4)$,即$Q(7,13)$.
(1)已知点$A(2,6)$的“$\frac{1}{2}$级关联点”是$B$,求点$B$的坐标;
(2)已知点$P(2,-1)$的“$a$级关联点”为$(9,b)$,求$a+b$的值;
(3)已知点$M(m-1,2m)$的“$-4$级关联点”$N$位于坐标轴上,求点$N$的坐标.
答案
21.解:(1)点A(2,6)的“$\frac{1}{2}$级关联点”为$B(\frac{1}{2}×2+6,2+\frac{1}{2}×6)$,即B(7,5).
(2)
∵点P(2,-1)的“a级关联点”为(9,b),
∴2a-1=9,2-a=b.
∴a=5,b=-3.
∴a+b=5-3=2.
(3)
∵点M(m-1,2m)的“-4级关联点”N的横坐标为-4(m-1)+2m,纵坐标为m-1-4×2m,
∴N(-2m+4,-7m-1).
当点N位于x轴上时,可得-7m-1=0,解得$m=-\frac{1}{7}$.
∴$-2m+4=\frac{30}{7}.\therefore N(\frac{30}{7},0)$;
当点N位于y轴上时,可得-2m+4=0,解得m=2.
∴-7m-1=-15.
∴N(0,-15).
综上,点N的坐标为$(\frac{30}{7},0)$或(0,-15).
(2)
∵点P(2,-1)的“a级关联点”为(9,b),
∴2a-1=9,2-a=b.
∴a=5,b=-3.
∴a+b=5-3=2.
(3)
∵点M(m-1,2m)的“-4级关联点”N的横坐标为-4(m-1)+2m,纵坐标为m-1-4×2m,
∴N(-2m+4,-7m-1).
当点N位于x轴上时,可得-7m-1=0,解得$m=-\frac{1}{7}$.
∴$-2m+4=\frac{30}{7}.\therefore N(\frac{30}{7},0)$;
当点N位于y轴上时,可得-2m+4=0,解得m=2.
∴-7m-1=-15.
∴N(0,-15).
综上,点N的坐标为$(\frac{30}{7},0)$或(0,-15).
解析
【分析】
本题是新定义类的平面直角坐标系题目，解题核心是先准确理解“a级关联点”的定义：若点P坐标为$(x,y)$，则其“a级关联点”Q的坐标为$(ax+y,x+ay)$。(1)问直接将点A的坐标和$a=\frac{1}{2}$代入定义公式计算即可得到B的坐标；(2)问先根据定义列关于a、b的一元一次方程，解出a和b后再计算$a+b$的值；(3)问先根据定义写出N点的坐标表达式，再分N在x轴（纵坐标为0）和y轴（横坐标为0）两种情况列方程求解m，进而得到N的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 根据“a级关联点”的定义，点$A(2,6)$的“$\frac{1}{2}$级关联点”B的横坐标为$\frac{1}{2}×2 + 6 = 7$，纵坐标为$2 + \frac{1}{2}×6 = 5$，即$B(7,5)$。
(2) 已知点$P(2,-1)$的“a级关联点”为$(9,b)$，根据定义可得：
$\begin{cases}2a -1 =9 \\2 -a =b \end{cases}$
解第一个方程得$a=5$，将$a=5$代入第二个方程得$b=2-5=-3$，
因此$a+b=5+(-3)=2$。
(3) 点$M(m-1,2m)$的“-4级关联点”N的坐标：
横坐标：$-4(m-1)+2m=-2m+4$，
纵坐标：$(m-1)+(-4)×2m=-7m-1$，
即$N(-2m+4,-7m-1)$。
分两种情况讨论：
① 当N位于x轴上时，纵坐标为0，即$-7m-1=0$，解得$m=-\frac{1}{7}$，
代入横坐标得$-2×(-\frac{1}{7})+4=\frac{30}{7}$，此时$N(\frac{30}{7},0)$；
② 当N位于y轴上时，横坐标为0，即$-2m+4=0$，解得$m=2$，
代入纵坐标得$-7×2-1=-15$，此时$N(0,-15)$。
【答案】
(1) $B(7,5)$；
(2) $a+b=2$；
(3) 点N的坐标为$(\frac{30}{7},0)$或$(0,-15)$。
【知识点】
新定义运算，平面直角坐标系点的特征，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于新定义基础题型，核心是准确理解新定义的运算规则，第三问需要结合坐标轴上点的坐标特征分类讨论，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类的平面直角坐标系题目，解题核心是先准确理解“a级关联点”的定义：若点P坐标为$(x,y)$，则其“a级关联点”Q的坐标为$(ax+y,x+ay)$。(1)问直接将点A的坐标和$a=\frac{1}{2}$代入定义公式计算即可得到B的坐标；(2)问先根据定义列关于a、b的一元一次方程，解出a和b后再计算$a+b$的值；(3)问先根据定义写出N点的坐标表达式，再分N在x轴（纵坐标为0）和y轴（横坐标为0）两种情况列方程求解m，进而得到N的坐标，注意不要漏解。
【解析】
(1) 根据“a级关联点”的定义，点$A(2,6)$的“$\frac{1}{2}$级关联点”B的横坐标为$\frac{1}{2}×2 + 6 = 7$，纵坐标为$2 + \frac{1}{2}×6 = 5$，即$B(7,5)$。
(2) 已知点$P(2,-1)$的“a级关联点”为$(9,b)$，根据定义可得：
$\begin{cases}2a -1 =9 \\2 -a =b \end{cases}$
解第一个方程得$a=5$，将$a=5$代入第二个方程得$b=2-5=-3$，
因此$a+b=5+(-3)=2$。
(3) 点$M(m-1,2m)$的“-4级关联点”N的坐标：
横坐标：$-4(m-1)+2m=-2m+4$，
纵坐标：$(m-1)+(-4)×2m=-7m-1$，
即$N(-2m+4,-7m-1)$。
分两种情况讨论：
① 当N位于x轴上时，纵坐标为0，即$-7m-1=0$，解得$m=-\frac{1}{7}$，
代入横坐标得$-2×(-\frac{1}{7})+4=\frac{30}{7}$，此时$N(\frac{30}{7},0)$；
② 当N位于y轴上时，横坐标为0，即$-2m+4=0$，解得$m=2$，
代入纵坐标得$-7×2-1=-15$，此时$N(0,-15)$。
【答案】
(1) $B(7,5)$；
(2) $a+b=2$；
(3) 点N的坐标为$(\frac{30}{7},0)$或$(0,-15)$。
【知识点】
新定义运算，平面直角坐标系点的特征，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于新定义基础题型，核心是准确理解新定义的运算规则，第三问需要结合坐标轴上点的坐标特征分类讨论，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
22.如图,线段AB和直线AD交于点A,C为AD上一点(不与点A,D重合).过点C在BC的右侧作射线CE⊥BC,过点D作直线DF//AB,交CE于点G(G与D不重合).
(1)如图,若点C在线段AD上,且∠BCA为钝角.
①按要求补全图形；
②判断∠B与∠CGD的数量关系,并证明；
(2)若点C在线段DA的延长线上,请直接写出∠B与∠CGD的数量关系.
(1)如图,若点C在线段AD上,且∠BCA为钝角.
①按要求补全图形；
②判断∠B与∠CGD的数量关系,并证明；
(2)若点C在线段DA的延长线上,请直接写出∠B与∠CGD的数量关系.
答案
22.解:(1)①补全图形如图所示.
②判断:∠CGD-∠B=90°.
证明:如图,过点C作CH//AB.
∴∠1=∠B(两直线平行,内错角相等).
∵AB//DF(已知),
∴CH//DF(平行于同一条直线的两条直线平行).
∴∠CGD+∠HCG=180°(两直线平行,同旁内角互补).
∵CE⊥BC(已知),
∴∠1+∠HCG=90°(垂直的定义).
∴∠HCG=90°-∠1=90°-∠B.
∴∠CGD+(90°-∠B)=180°,即∠CGD-∠B=90°.
(2)∠CGD+∠B=90°.
解析
【分析】
(1)①补全图形时，先过点C在BC右侧作垂直于BC的射线CE，再过点D作平行于AB的直线DF，两条线的交点即为G，按此要求作图即可。②要推导∠B与∠CGD的数量关系，已知AB//DF，图形存在折线B-C-G，可采用过拐点作平行线的常用辅助线方法：过C作CH//AB，利用平行线的传递性得到CH//DF，再结合平行线的性质、垂直的定义，即可建立两个角的联系推导结论。(2)当点C在DA延长线上时，同样结合平行线性质和垂直定义，即可直接得到两角的数量关系。
【解析】
(1)①补全图形如下：
②判断：$\boldsymbol{∠ CGD - ∠ B = 90°}$，证明如下：
过点C作$CH// AB$，
∴$∠ 1 = ∠ B$（两直线平行，内错角相等），
∵$AB// DF$（已知），
∴$CH// DF$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴$∠ CGD + ∠ HCG = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∵$CE⊥ BC$（已知），
∴$∠ 1 + ∠ HCG = 90°$（垂直的定义），
∴$∠ HCG = 90° - ∠ 1 = 90° - ∠ B$，
将$∠ HCG = 90° - ∠ B$代入$∠ CGD + ∠ HCG = 180°$，可得：
$∠ CGD + 90° - ∠ B = 180°$，
整理得$∠ CGD - ∠ B = 90°$。
(2)当点C在线段DA的延长线上时，结合平行线性质和垂直定义可直接得：$\boldsymbol{∠ CGD + ∠ B = 90°}$。
【答案】
(1)①补全图形如图：
②$∠ CGD - ∠ B = 90°$，证明见解析；
(2)$∠ CGD + ∠ B = 90°$
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，平行公理推论
【点评】
本题重点考查平行线相关性质的应用，解题的核心是掌握过拐点作平行线的辅助线方法，通过平行线性质将所求角建立关联，同时考查了学生的作图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1)①补全图形时，先过点C在BC右侧作垂直于BC的射线CE，再过点D作平行于AB的直线DF，两条线的交点即为G，按此要求作图即可。②要推导∠B与∠CGD的数量关系，已知AB//DF，图形存在折线B-C-G，可采用过拐点作平行线的常用辅助线方法：过C作CH//AB，利用平行线的传递性得到CH//DF，再结合平行线的性质、垂直的定义，即可建立两个角的联系推导结论。(2)当点C在DA延长线上时，同样结合平行线性质和垂直定义，即可直接得到两角的数量关系。
【解析】
(1)①补全图形如下：
②判断：$\boldsymbol{∠ CGD - ∠ B = 90°}$，证明如下：
过点C作$CH// AB$，
∴$∠ 1 = ∠ B$（两直线平行，内错角相等），
∵$AB// DF$（已知），
∴$CH// DF$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴$∠ CGD + ∠ HCG = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∵$CE⊥ BC$（已知），
∴$∠ 1 + ∠ HCG = 90°$（垂直的定义），
∴$∠ HCG = 90° - ∠ 1 = 90° - ∠ B$，
将$∠ HCG = 90° - ∠ B$代入$∠ CGD + ∠ HCG = 180°$，可得：
$∠ CGD + 90° - ∠ B = 180°$，
整理得$∠ CGD - ∠ B = 90°$。
(2)当点C在线段DA的延长线上时，结合平行线性质和垂直定义可直接得：$\boldsymbol{∠ CGD + ∠ B = 90°}$。
【答案】
(1)①补全图形如图：
②$∠ CGD - ∠ B = 90°$，证明见解析；
(2)$∠ CGD + ∠ B = 90°$
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，平行公理推论
【点评】
本题重点考查平行线相关性质的应用，解题的核心是掌握过拐点作平行线的辅助线方法，通过平行线性质将所求角建立关联，同时考查了学生的作图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
