登录
1.如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC对折,使得点B落在点E处,CE交AD于点F。若CE平分∠ACD,AF=2,则CD的长是
（
A.1.5
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}+1$
D.$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
（
B
）A.1.5
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}+1$
D.$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决本题，需结合矩形的性质、折叠的性质、角平分线的性质及直角三角形的性质逐步推导：
1. 利用矩形对边平行的性质，得到内错角相等；
2. 由折叠的全等关系和角平分线的定义，推导出角度相等，进而得到等腰三角形，得出AF=CF；
3. 根据三个等角之和为直角，算出∠ECD=30°；
4. 在含30°角的直角三角形中，结合勾股定理求出CD的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，∠D=90°，
∴ ∠ACB=∠CAD（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可知：△ABC≌△AEC，
∴ ∠ACB=∠ACE。
又
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠ACE=∠ECD，
∴ ∠CAD=∠ACE=∠ECD。
∵ ∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=90°，
∴ 3∠ECD=90°，解得∠ECD=30°。
∵ ∠CAD=∠ACE，
∴ AF=CF=2（等角对等边）。
在Rt△CDF中，∠D=90°，∠FCD=30°，CF=2，
∴ DF=½CF=1（直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半），
根据勾股定理：CD=√(CF² - DF²)=√(2² -1²)=√3。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查几何图形的性质，关键在于通过角度关系推导得出30°角，进而利用直角三角形的特殊性质求解，需要学生具备一定的几何推理能力。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合矩形的性质、折叠的性质、角平分线的性质及直角三角形的性质逐步推导：
1. 利用矩形对边平行的性质，得到内错角相等；
2. 由折叠的全等关系和角平分线的定义，推导出角度相等，进而得到等腰三角形，得出AF=CF；
3. 根据三个等角之和为直角，算出∠ECD=30°；
4. 在含30°角的直角三角形中，结合勾股定理求出CD的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，∠D=90°，
∴ ∠ACB=∠CAD（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可知：△ABC≌△AEC，
∴ ∠ACB=∠ACE。
又
∵ CE平分∠ACD，
∴ ∠ACE=∠ECD，
∴ ∠CAD=∠ACE=∠ECD。
∵ ∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=90°，
∴ 3∠ECD=90°，解得∠ECD=30°。
∵ ∠CAD=∠ACE，
∴ AF=CF=2（等角对等边）。
在Rt△CDF中，∠D=90°，∠FCD=30°，CF=2，
∴ DF=½CF=1（直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半），
根据勾股定理：CD=√(CF² - DF²)=√(2² -1²)=√3。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查几何图形的性质，关键在于通过角度关系推导得出30°角，进而利用直角三角形的特殊性质求解，需要学生具备一定的几何推理能力。
【难度系数】
0.5
2. 如图,将菱形ABCD沿AE折叠,点B的对应点为点F。若点E,F,D刚好在同一直线上。设∠ABE=α,∠BAE=β,∠C=γ,则关系正确的是 (
A.$\gamma = α + 2β - 180°$
B.$3β + \gamma = 180°$
C.$3α + 2β = 360°$
D.$2α - \gamma = 180°$
C
)A.$\gamma = α + 2β - 180°$
B.$3β + \gamma = 180°$
C.$3α + 2β = 360°$
D.$2α - \gamma = 180°$
答案
2.C
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质和折叠的性质逐步推导角度关系：首先利用菱形邻角互补、对角相等的性质，再根据折叠前后对应角和边相等的特点，结合等腰三角形的内角关系，最终建立α、β、γ的等式。步骤思路：1. 由菱形邻角互补得α与γ的关系；2. 利用折叠性质得到对应角相等，推出AF=AD，确定△AFD为等腰三角形；3. 结合平角定义和三角形内角和求出∠DAF；4. 表示出∠BAD，再结合菱形对角相等，联立等式化简得到最终关系。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠ABE=α，∠BAD=∠C=γ，且∠B + ∠C=180°（菱形邻角互补），即α + γ=180°，得γ=180° - α。
由折叠的性质可知：△ABE≌△AFE，
∴∠BAE=∠FAE=β，∠AFE=∠B=α，AB=AF。
又
∵菱形中AB=AD，
∴AF=AD，即△AFD为等腰三角形，∠ADF=∠AFD。
∵点E、F、D在同一直线上，
∴∠AFD=180° - ∠AFE=180° - α，
∴在△AFD中，∠DAF=180° - 2∠AFD=180° - 2(180° - α)=2α - 180°。
而∠BAD=∠BAE + ∠FAE + ∠DAF=β + β + (2α - 180°)=2β + 2α - 180°，
又
∵∠BAD=γ，
∴γ=2α + 2β - 180°。
将γ=180° - α代入上式：
180° - α=2α + 2β - 180°，
移项整理得：3α + 2β=360°。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查菱形和折叠的性质，需要熟练运用邻角互补、对角相等、折叠全等、等腰三角形内角和等知识点，逐步推导角度关系，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合菱形的性质和折叠的性质逐步推导角度关系：首先利用菱形邻角互补、对角相等的性质，再根据折叠前后对应角和边相等的特点，结合等腰三角形的内角关系，最终建立α、β、γ的等式。步骤思路：1. 由菱形邻角互补得α与γ的关系；2. 利用折叠性质得到对应角相等，推出AF=AD，确定△AFD为等腰三角形；3. 结合平角定义和三角形内角和求出∠DAF；4. 表示出∠BAD，再结合菱形对角相等，联立等式化简得到最终关系。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠ABE=α，∠BAD=∠C=γ，且∠B + ∠C=180°（菱形邻角互补），即α + γ=180°，得γ=180° - α。
由折叠的性质可知：△ABE≌△AFE，
∴∠BAE=∠FAE=β，∠AFE=∠B=α，AB=AF。
又
∵菱形中AB=AD，
∴AF=AD，即△AFD为等腰三角形，∠ADF=∠AFD。
∵点E、F、D在同一直线上，
∴∠AFD=180° - ∠AFE=180° - α，
∴在△AFD中，∠DAF=180° - 2∠AFD=180° - 2(180° - α)=2α - 180°。
而∠BAD=∠BAE + ∠FAE + ∠DAF=β + β + (2α - 180°)=2β + 2α - 180°，
又
∵∠BAD=γ，
∴γ=2α + 2β - 180°。
将γ=180° - α代入上式：
180° - α=2α + 2β - 180°，
移项整理得：3α + 2β=360°。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查菱形和折叠的性质，需要熟练运用邻角互补、对角相等、折叠全等、等腰三角形内角和等知识点，逐步推导角度关系，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.4
3.如图,矩形纸片ABCD中,AB=2,BC=3,点E在BC边上。将△AEB沿AE翻折得到△AEF,若∠FEC=∠ACE,则BE的长度为
√13−3
。答案
3.$\sqrt{13}-3$
解析
【分析】
要解决该问题，需利用矩形的性质、翻折变换的对称性，结合角度关系建立方程求解。首先设BE的长度为未知数，根据翻折性质得到对应边和角相等，再结合已知的角度等量关系，通过三角函数或代数方法建立方程，解方程并根据实际意义取舍得到结果。
【解析】
设BE = x，则EC = BC - BE = 3 - x。
将△AEB沿AE翻折得到△AEF，由翻折的性质可知：EF = BE = x，∠AEB = ∠AEF，∠B = ∠AFE = 90°。
在矩形ABCD中，∠ACE（即∠ACB）的正切值为tan∠ACB = AB/BC = 2/3。
已知∠FEC = ∠ACE，结合翻折后的几何关系，可得∠FEC的正切值等于tan∠ACB = 2/3，通过推导该角的正切表达式，建立方程：
|4x/(4 - x²)| = 2/3。
由于x为线段长度，0 ＜ x ＜ 3，且正根需满足实际意义，故取4 - x² ＞ 0，方程化简为：
4x/(4 - x²) = 2/3
交叉相乘整理得：x² + 6x - 4 = 0
解一元二次方程，得：
x = [-6 ± √(6² + 4×1×4)]/2 = -3 ± √13
取正根，得x = √13 - 3。
【答案】
√13 - 3
【知识点】
矩形的性质、翻折变换、一元二次方程的应用
【点评】
本题结合矩形和翻折的核心性质，通过角度等量关系转化为代数方程求解，关键在于利用翻折的对称性建立边与角的联系，再结合三角函数的几何意义找到等量关系，考查学生的几何分析与方程求解能力。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需利用矩形的性质、翻折变换的对称性，结合角度关系建立方程求解。首先设BE的长度为未知数，根据翻折性质得到对应边和角相等，再结合已知的角度等量关系，通过三角函数或代数方法建立方程，解方程并根据实际意义取舍得到结果。
【解析】
设BE = x，则EC = BC - BE = 3 - x。
将△AEB沿AE翻折得到△AEF，由翻折的性质可知：EF = BE = x，∠AEB = ∠AEF，∠B = ∠AFE = 90°。
在矩形ABCD中，∠ACE（即∠ACB）的正切值为tan∠ACB = AB/BC = 2/3。
已知∠FEC = ∠ACE，结合翻折后的几何关系，可得∠FEC的正切值等于tan∠ACB = 2/3，通过推导该角的正切表达式，建立方程：
|4x/(4 - x²)| = 2/3。
由于x为线段长度，0 ＜ x ＜ 3，且正根需满足实际意义，故取4 - x² ＞ 0，方程化简为：
4x/(4 - x²) = 2/3
交叉相乘整理得：x² + 6x - 4 = 0
解一元二次方程，得：
x = [-6 ± √(6² + 4×1×4)]/2 = -3 ± √13
取正根，得x = √13 - 3。
【答案】
√13 - 3
【知识点】
矩形的性质、翻折变换、一元二次方程的应用
【点评】
本题结合矩形和翻折的核心性质，通过角度等量关系转化为代数方程求解，关键在于利用翻折的对称性建立边与角的联系，再结合三角函数的几何意义找到等量关系，考查学生的几何分析与方程求解能力。
【难度系数】
0.5
4.如图,在菱形ABCD中,E为边AB上的一点,将菱形沿DE折叠后,点A恰好落在边BC上的F处。若EF垂直对角线BD,则∠A=
72
度。答案
4.72
解析
【分析】
要解决本题，需结合菱形的性质、折叠的性质，通过角度关系推导求解。步骤如下：
1. 设∠A=x，利用菱形邻角互补得∠ABC=180°-x，结合菱形对角线平分内角，得∠ABD=∠DBC=(180°-x)/2；
2. 由折叠性质得AD=FD，结合菱形四边相等，得FD=CD，故△DFC为等腰三角形，∠DFC=∠A=x；
3. 因EF⊥BD且BD平分∠∠EBF，得BE=BF，△BEF为等腰三角形，结合直角三角形两锐角互余，得∠BFE=x/2；
4. 利用平角关系得∠BFD=180°-x，同时∠BFD=∠BFE+∠DFE=3x/2，联立方程求解得x=72°。
【解析】
设∠A=x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠A=∠C，∠ABC=180°-∠A=180°-x，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=(180°-x)/2，AD//BC，
由折叠性质得：AD=FD，∠A=∠DFE=x，
∴FD=AD=CD，△DFC为等腰三角形，∠DFC=∠C=x，
∵EF⊥BD，BD平分∠∠EBF，
∴BE=BF，△BEF为等腰三角形，∠BFE=∠BEF，
在Rt△BOE（O为EF与BD交点）中，∠BEF=90°-∠ABD=90°-(180°-x)/2=x/2，
∴∠BFE=x/2，
∵点F在BC上，
∴∠BFD=180°-∠DFC=180°-x，
又∠BFD=∠BFE+∠DFE=x/2 +x=3x/2，
∴3x/2=180°-x，
解得x=72°，即∠A=72°。
【答案】
72
【知识点】
菱形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查菱形与折叠的性质，需通过角度转化建立方程求解，关键在于利用等腰三角形的三线合一和角度关系，推理步骤较清晰，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合菱形的性质、折叠的性质，通过角度关系推导求解。步骤如下：
1. 设∠A=x，利用菱形邻角互补得∠ABC=180°-x，结合菱形对角线平分内角，得∠ABD=∠DBC=(180°-x)/2；
2. 由折叠性质得AD=FD，结合菱形四边相等，得FD=CD，故△DFC为等腰三角形，∠DFC=∠A=x；
3. 因EF⊥BD且BD平分∠∠EBF，得BE=BF，△BEF为等腰三角形，结合直角三角形两锐角互余，得∠BFE=x/2；
4. 利用平角关系得∠BFD=180°-x，同时∠BFD=∠BFE+∠DFE=3x/2，联立方程求解得x=72°。
【解析】
设∠A=x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠A=∠C，∠ABC=180°-∠A=180°-x，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=(180°-x)/2，AD//BC，
由折叠性质得：AD=FD，∠A=∠DFE=x，
∴FD=AD=CD，△DFC为等腰三角形，∠DFC=∠C=x，
∵EF⊥BD，BD平分∠∠EBF，
∴BE=BF，△BEF为等腰三角形，∠BFE=∠BEF，
在Rt△BOE（O为EF与BD交点）中，∠BEF=90°-∠ABD=90°-(180°-x)/2=x/2，
∴∠BFE=x/2，
∵点F在BC上，
∴∠BFD=180°-∠DFC=180°-x，
又∠BFD=∠BFE+∠DFE=x/2 +x=3x/2，
∴3x/2=180°-x，
解得x=72°，即∠A=72°。
【答案】
72
【知识点】
菱形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查菱形与折叠的性质，需通过角度转化建立方程求解，关键在于利用等腰三角形的三线合一和角度关系，推理步骤较清晰，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.4
5.如图，C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边向上作正方形ACDE和正方形CBFG，点M，N分别是正方形ACDE和正方形CBFG的对称中心，边BF上有一点H，连结MN，GH。若$FH=AE$，$MN^2+GH=2$，则$MN^2-GH=$
4−2√5
。答案
5.$4-2\sqrt{5}$
解析
【分析】
本题通过建立平面直角坐标系，利用正方形对称中心的坐标性质表示相关点，进而推导$MN^2$和$GH$的表达式，结合已知条件设元建立方程，最终代入求解目标式。
【解析】
设正方形$ACDE$边长为$a$，正方形$CBFG$边长为$b$，建立平面直角坐标系：令$A(0,0)$，则$C(a,0)$，正方形$ACDE$的对称中心$M(\frac{a}{2},\frac{a}{2})$；正方形$CBFG$的顶点$G(a,b)$、$F(a+b,b)$，其对称中心$N(\frac{2a+b}{2},\frac{b}{2})$。
1. 计算$MN^2$：
$MN^2 = (\frac{2a+b}{2}-\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2}-\frac{a}{2})^2 = \frac{(a+b)^2 + (b-a)^2}{4} = \frac{a^2 + b^2}{2}$
2. 计算$GH$：
由$FH=AE=a$，得$H(a+b, b-a)$，则：
$GH = \sqrt{(a+b-a)^2 + [(b-a)-b]^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$
3. 结合$MN^2 + GH = 2$，设$t=\sqrt{a^2 + b^2}(t＞0)$，则：
$\frac{t^2}{2} + t = 2 \implies t^2 + 2t -4=0$
解得$t=\sqrt{5}-1$（舍去负根）。
4. 计算$MN^2 - GH$：
由$t^2=4-2t$，代入得：
$MN^2 - GH = \frac{t^2}{2} - t = \frac{4-2t}{2} - t = 2 - 2t = 2 -2(\sqrt{5}-1)=4-2\sqrt{5}$
【答案】
$4 - 2\sqrt{5}$
【知识点】
正方形性质、坐标法求线段长、一元二次方程应用
【点评】
本题用坐标法将几何问题转化为代数计算，利用对称中心性质简化表达式，结合方程思想求解，体现数形结合的应用，需注意方程解的取舍。
【难度系数】
0.4
本题通过建立平面直角坐标系，利用正方形对称中心的坐标性质表示相关点，进而推导$MN^2$和$GH$的表达式，结合已知条件设元建立方程，最终代入求解目标式。
【解析】
设正方形$ACDE$边长为$a$，正方形$CBFG$边长为$b$，建立平面直角坐标系：令$A(0,0)$，则$C(a,0)$，正方形$ACDE$的对称中心$M(\frac{a}{2},\frac{a}{2})$；正方形$CBFG$的顶点$G(a,b)$、$F(a+b,b)$，其对称中心$N(\frac{2a+b}{2},\frac{b}{2})$。
1. 计算$MN^2$：
$MN^2 = (\frac{2a+b}{2}-\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2}-\frac{a}{2})^2 = \frac{(a+b)^2 + (b-a)^2}{4} = \frac{a^2 + b^2}{2}$
2. 计算$GH$：
由$FH=AE=a$，得$H(a+b, b-a)$，则：
$GH = \sqrt{(a+b-a)^2 + [(b-a)-b]^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$
3. 结合$MN^2 + GH = 2$，设$t=\sqrt{a^2 + b^2}(t＞0)$，则：
$\frac{t^2}{2} + t = 2 \implies t^2 + 2t -4=0$
解得$t=\sqrt{5}-1$（舍去负根）。
4. 计算$MN^2 - GH$：
由$t^2=4-2t$，代入得：
$MN^2 - GH = \frac{t^2}{2} - t = \frac{4-2t}{2} - t = 2 - 2t = 2 -2(\sqrt{5}-1)=4-2\sqrt{5}$
【答案】
$4 - 2\sqrt{5}$
【知识点】
正方形性质、坐标法求线段长、一元二次方程应用
【点评】
本题用坐标法将几何问题转化为代数计算，利用对称中心性质简化表达式，结合方程思想求解，体现数形结合的应用，需注意方程解的取舍。
【难度系数】
0.4
