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20.(8分)运动员在跳台跳水的某轮比赛中完成了难度系数为3.0的动作,7位裁判的打分(单位:分)如下:9.5,9.5,9.0,9.5,9.5,9.5,9.0。
(1)求这位运动员得分的中位数,众数。
(2)已知跳台跳水成绩的计分规则如下:先去掉两个最高分和两个最低分,余下3名裁判员的分数之和乘以运动员所跳动作的难度系数,便得出该动作的实得分。
①请计算该运动员此轮比赛的成绩。
②结合所学的平均数知识,说明跳台跳水成绩的计分规则的科学合理性。
(1)求这位运动员得分的中位数,众数。
(2)已知跳台跳水成绩的计分规则如下:先去掉两个最高分和两个最低分,余下3名裁判员的分数之和乘以运动员所跳动作的难度系数,便得出该动作的实得分。
①请计算该运动员此轮比赛的成绩。
②结合所学的平均数知识,说明跳台跳水成绩的计分规则的科学合理性。
答案
(1)将这组数据重新排列为9.0,9.0,9.5,9.5,9.5,9.5,9.5,所以这组数据的中位数为9.5分,众数为9.5分。
(2)①$(9.5+9.5+9.5)×3=85.5$(分),所以该运动员此轮比赛的成绩为85.5分。
②跳台跳水成绩的计分规则的科学合理性:
(Ⅰ)去掉两个最高分和两个最低分能有效消除极端评分(如裁判个人偏好或者评分失误等)对成绩的影响;
(Ⅱ)乘以难度系数可以兼顾动作难度(权重),使得不同难度的动作在总分中占比不同。
(答案不唯一,合理即可)
(2)①$(9.5+9.5+9.5)×3=85.5$(分),所以该运动员此轮比赛的成绩为85.5分。
②跳台跳水成绩的计分规则的科学合理性:
(Ⅰ)去掉两个最高分和两个最低分能有效消除极端评分(如裁判个人偏好或者评分失误等)对成绩的影响;
(Ⅱ)乘以难度系数可以兼顾动作难度(权重),使得不同难度的动作在总分中占比不同。
(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
要解决本题，需分步骤处理：第一问求中位数和众数，需先对数据排序，再依据中位数（奇数个数据取中间位置的数）、众数（出现次数最多的数）的定义计算；第二问①需严格遵循计分规则，先剔除两个最高分和两个最低分，计算余下分数的和后乘以难度系数得到成绩；②需结合平均数易受极端值影响的特点，分析计分规则的合理性，同时理解难度系数对动作权重的作用。
【解析】
(1) 将7位裁判的打分从小到大重新排列为：9.0，9.0，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5。
中位数是排序后位于中间位置的数，共7个数据，中间位置为第4个，因此中位数为9.5分；
众数是出现次数最多的数，9.5共出现5次，次数最多，因此众数为9.5分。
(2)① 根据计分规则，去掉2个最低分（9.0）和2个最高分（9.5），余下3个分数均为9.5，
余下分数的和为：9.5+9.5+9.5=28.5（分），
该运动员此轮比赛的成绩为：28.5×3=85.5（分）。
② 计分规则的科学合理性：
去掉两个最高分和两个最低分，利用平均数易受极端值影响的特点，可消除个别裁判的主观偏好、评分失误等极端评分对成绩的干扰，使结果更公平；
乘以难度系数，能兼顾不同动作的难度权重，让难度更高的动作在总分中占比更大，体现对动作难度的考量，符合竞技评分的公平性原则。
【答案】
(1) 中位数为9.5分，众数为9.5分；
(2)① 该运动员此轮比赛的成绩为85.5分；
② 合理性：去掉两个最高分和两个最低分能有效消除极端评分对成绩的影响；乘以难度系数可以兼顾动作难度，使得不同难度的动作在总分中占比不同。
【知识点】
中位数、众数、平均数的应用
【点评】
本题结合跳台跳水的实际计分场景，考查统计量的计算与实际应用，既巩固了中位数、众数的基础概念，又引导学生理解统计知识在生活中的合理运用，难度适中，贴近实际。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需分步骤处理：第一问求中位数和众数，需先对数据排序，再依据中位数（奇数个数据取中间位置的数）、众数（出现次数最多的数）的定义计算；第二问①需严格遵循计分规则，先剔除两个最高分和两个最低分，计算余下分数的和后乘以难度系数得到成绩；②需结合平均数易受极端值影响的特点，分析计分规则的合理性，同时理解难度系数对动作权重的作用。
【解析】
(1) 将7位裁判的打分从小到大重新排列为：9.0，9.0，9.5，9.5，9.5，9.5，9.5。
中位数是排序后位于中间位置的数，共7个数据，中间位置为第4个，因此中位数为9.5分；
众数是出现次数最多的数，9.5共出现5次，次数最多，因此众数为9.5分。
(2)① 根据计分规则，去掉2个最低分（9.0）和2个最高分（9.5），余下3个分数均为9.5，
余下分数的和为：9.5+9.5+9.5=28.5（分），
该运动员此轮比赛的成绩为：28.5×3=85.5（分）。
② 计分规则的科学合理性：
去掉两个最高分和两个最低分，利用平均数易受极端值影响的特点，可消除个别裁判的主观偏好、评分失误等极端评分对成绩的干扰，使结果更公平；
乘以难度系数，能兼顾不同动作的难度权重，让难度更高的动作在总分中占比更大，体现对动作难度的考量，符合竞技评分的公平性原则。
【答案】
(1) 中位数为9.5分，众数为9.5分；
(2)① 该运动员此轮比赛的成绩为85.5分；
② 合理性：去掉两个最高分和两个最低分能有效消除极端评分对成绩的影响；乘以难度系数可以兼顾动作难度，使得不同难度的动作在总分中占比不同。
【知识点】
中位数、众数、平均数的应用
【点评】
本题结合跳台跳水的实际计分场景，考查统计量的计算与实际应用，既巩固了中位数、众数的基础概念，又引导学生理解统计知识在生活中的合理运用，难度适中，贴近实际。
【难度系数】
0.6
21.(8分)【阅读理解】
材料1:若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1,x_2$,则
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。
材料2:已知实数$m,n$满足$m^2-m-1=0,n^2-n-1=0$,且$m≠n$,
求$\dfrac{n}{m}+\dfrac{m}{n}$的值。
解:由题知$m,n$是方程$x^2-x-1=0$的两个不相等的实数根,
根据材料1得$m+n=1,mn=-1$,
$\therefore \dfrac{n}{m}+\dfrac{m}{n}=\dfrac{m^2+n^2}{mn}=\dfrac{(m+n)^2-2mn}{mn}=\dfrac{1+2}{-1}=-3$。
【解决问题】
(1)已知一元二次方程$x^2-4x-3=0$的两根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=$
(2)已知实数$m,n$满足$2m^2-3m-1=0,2n^2-3n-1=0$,且$m≠n$,求$m^2n+mn^2$的值。
材料1:若一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的两根为$x_1,x_2$,则
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。
材料2:已知实数$m,n$满足$m^2-m-1=0,n^2-n-1=0$,且$m≠n$,
求$\dfrac{n}{m}+\dfrac{m}{n}$的值。
解:由题知$m,n$是方程$x^2-x-1=0$的两个不相等的实数根,
根据材料1得$m+n=1,mn=-1$,
$\therefore \dfrac{n}{m}+\dfrac{m}{n}=\dfrac{m^2+n^2}{mn}=\dfrac{(m+n)^2-2mn}{mn}=\dfrac{1+2}{-1}=-3$。
【解决问题】
(1)已知一元二次方程$x^2-4x-3=0$的两根为$x_1,x_2$,则$x_1+x_2=$
4
,$x_1x_2=$-3
。(2)已知实数$m,n$满足$2m^2-3m-1=0,2n^2-3n-1=0$,且$m≠n$,求$m^2n+mn^2$的值。
答案
(1)4 -3
(2)因为实数$m,n$满足$2m^2-3m-1=0,2n^2-3n-1=0$,所以$m,n$是方程$2x^2-3x-1=0$的两根。
所以$m+n=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2},mn=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。所以$m^2n+mn^2=mn(m+n)=-\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=-\frac{3}{4}$。
(2)因为实数$m,n$满足$2m^2-3m-1=0,2n^2-3n-1=0$,所以$m,n$是方程$2x^2-3x-1=0$的两根。
所以$m+n=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2},mn=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。所以$m^2n+mn^2=mn(m+n)=-\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=-\frac{3}{4}$。
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路为：（1）直接利用韦达定理，对一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，代入方程$x^2-4x-3=0$的系数即可求出对应值；（2）根据$m、n$满足的方程，确定它们是方程$2x^2-3x-1=0$的两个不等实根，利用韦达定理求出$m+n$和$mn$，再将所求代数式$m^2n+mn^2$因式分解为$mn(m+n)$，代入数值计算结果。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2-4x-3=0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=-3$，根据韦达定理：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
（2）已知实数$m、n$满足$2m^2-3m-1=0$，$2n^2-3n-1=0$且$m≠n$，故$m、n$是一元二次方程$2x^2-3x-1=0$的两个不相等的实数根。
根据韦达定理，该方程中$a=2$，$b=-3$，$c=-1$，因此：
$m+n=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$，
$mn=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
对所求式子因式分解：$m^2n+mn^2=mn(m+n)$，
代入数值计算：$mn(m+n)=-\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=-\frac{3}{4}$。
【答案】(1)4；-3 (2)$-\dfrac{3}{4}$
【知识点】一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用
【点评】本题为基础题型，核心考查韦达定理的应用及代数式的因式分解变形，解题关键是准确识别方程的根并正确运用韦达定理，难度较低，适合多数学生掌握。
【难度系数】0.2
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路为：（1）直接利用韦达定理，对一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$，代入方程$x^2-4x-3=0$的系数即可求出对应值；（2）根据$m、n$满足的方程，确定它们是方程$2x^2-3x-1=0$的两个不等实根，利用韦达定理求出$m+n$和$mn$，再将所求代数式$m^2n+mn^2$因式分解为$mn(m+n)$，代入数值计算结果。
【解析】
（1）对于一元二次方程$x^2-4x-3=0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=-3$，根据韦达定理：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-\frac{-4}{1}=4$，
$x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$。
（2）已知实数$m、n$满足$2m^2-3m-1=0$，$2n^2-3n-1=0$且$m≠n$，故$m、n$是一元二次方程$2x^2-3x-1=0$的两个不相等的实数根。
根据韦达定理，该方程中$a=2$，$b=-3$，$c=-1$，因此：
$m+n=-\frac{b}{a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2}$，
$mn=\frac{c}{a}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}$。
对所求式子因式分解：$m^2n+mn^2=mn(m+n)$，
代入数值计算：$mn(m+n)=-\frac{1}{2}×\frac{3}{2}=-\frac{3}{4}$。
【答案】(1)4；-3 (2)$-\dfrac{3}{4}$
【知识点】一元二次方程根与系数的关系，因式分解的应用
【点评】本题为基础题型，核心考查韦达定理的应用及代数式的因式分解变形，解题关键是准确识别方程的根并正确运用韦达定理，难度较低，适合多数学生掌握。
【难度系数】0.2
