22.(10分)如图,实验基地有一长为10 m的墙MN,研究小组想利用墙MN和长37 m的篱笆,在前面的空地围出一个矩形种植园,且在墙对面的篱笆上开一个宽为1 m的门。
(1)小徐按图1的方案围成矩形种植园(AD为墙MN的一部分),当矩形种植园的面积为$120\ \mathrm{m}^2$时,求出矩形种植园一边AB的长。
(2)小祝按图2的方案围成矩形种植园(墙MN为边AD的一部分),围成的矩形种植园的面积能否为$180\ \mathrm{m}^2$? 若能,请求出矩形种植园的一组邻边长;若不能,请说明理由。

(1)设AB的长为$x$ m。由题意得$x(38-2x)=120$,解得$x_1=4,x_2=15$。因为$0＜38-2x≤10$,所以$14≤ x＜19$。所以$x=15$。所以矩形种植园一边AB的长为15 m。
(2)不能。理由如下:设BC=$y$ cm,则$AB=\frac{37-(y-1)-(y-10)}{2}=(24-y)$cm。由题意得$y(24-y)=180$,整理得$y^2-24y+180=0$。因为$\Delta=(-24)^2-4×180=-144＜0$,所以方程无解。所以围成的矩形种植园的面积不能为$180\ \mathrm{m}^2$。

【分析】
(1) 设AB的长为$x$ m，需结合篱笆总长、门宽表示出AD的长度，再根据墙MN的长度限制确定$x$的取值范围，最后利用矩形面积公式列方程求解，结合范围筛选出符合实际的解。
(2) 设BC的长为$y$ m，根据篱笆总长、门宽和墙的长度限制表示出AB的长度，假设面积为$180\ \mathrm{m}^2$列一元二次方程，通过判别式判断方程是否有实数解，进而确定能否围成该面积的矩形。
【解析】
(1) 设AB的长为$x$ m，
由题意，篱笆总长37 m，门宽1 m，因此AD的长度为$37 - 2x + 1 = 38 - 2x$ m，
又因为AD是墙MN的一部分，墙MN长10 m，所以$0 ＜ 38 - 2x ≤ 10$，
解得$14 ≤ x ＜ 19$。
矩形面积为$x(38 - 2x) = 120$，
整理得$x^2 - 19x + 60 = 0$，
因式分解得$(x - 4)(x - 15) = 0$，
解得$x_1 = 4$，$x_2 = 15$。
结合$14 ≤ x ＜ 19$，得$x = 15$，即AB的长为15 m。
(2) 设BC的长为$y$ m，
由题意，墙MN长10 m，篱笆总长37 m，门宽1 m，
则AB的长度为$\frac{37 - (y - 1) - (y - 10)}{2} = (24 - y)$ m，
若矩形面积为$180\ \mathrm{m}^2$，则$y(24 - y) = 180$，
整理得$y^2 - 24y + 180 = 0$，
判别式$\Delta = (-24)^2 - 4×1×180 = 576 - 720 = -144 ＜ 0$，
该方程无实数解，因此不能围成面积为$180\ \mathrm{m}^2$的矩形种植园。
【答案】
(1) 15 m；(2) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，判别式的应用
【点评】
本题考查一元二次方程在实际几何问题中的应用，关键是根据实际条件合理表示边长，需注意结合图形和限制条件确定未知数的取值范围，避免出现不符合实际的解，第二问利用判别式判断方程解的情况，是此类问题的常见考法。
【难度系数】
0.4