三、解答题(共45分)
12. (30分)计算：
(1) $13+59.8-12\dfrac{1}{5}-30\dfrac{4}{5}-8.1$；
(2) $-2^{4}-(-3+7)^{2}-(-1)^{2}×(-2)$；
(3) $-81÷2\dfrac{1}{4}×\left\lvert -\dfrac{4}{9}\right\rvert-28÷(-\dfrac{7}{4})$；
(4) $(-2×\dfrac{1}{2})^{101}×3+[(-3)^{3}-3^{3}]$；
(5) $(-10)÷(-\dfrac{1}{2})-(-10)×\dfrac{1}{2}+2×(-10)$；
(6) $-1^{3}-(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{6}+\dfrac{8}{9})÷\dfrac{1}{36}×(-4)$。

12. (1) 21.7 (2) -30 (3) 0
(4) -57 (5) 5 (6) 211

【分析】
这是6道有理数混合运算题，解题的核心思路是先明确有理数运算优先级：先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减，有括号优先计算括号内的部分。同时可以观察式子特征，优先使用凑整、乘法分配律等简便技巧简化计算，尤其要注意符号陷阱：比如区分$-2^4$和$(-2)^4$的差异、负数的奇/偶次幂符号、去括号时的符号变化，避免低级错误，每一步逐步推导即可得到正确结果。
【解析】
(1) 先将分数统一转化为小数，分组凑整计算：
原式$=13 + 59.8 - 12.2 - 30.8 - 8.1$
$=13 + (59.8 - 30.8) + (-12.2 - 8.1)$
$=13 + 29 - 20.3$
$=42 - 20.3 = 21.7$
(2) 先计算乘方和括号内的运算：
原式$=-16 - (4)^2 - 1×(-2)$
$=-16 - 16 + 2$
$=-32 + 2 = -30$
(3) 把带分数化为假分数、除法转为乘法，同时去掉绝对值计算：
原式$=-81 ÷ \frac{9}{4} × \frac{4}{9} - 28×(-\frac{4}{7})$
$=-81×\frac{4}{9}×\frac{4}{9} + 16$
$=-16 + 16 = 0$
(4) 先算小括号内的乘法，再计算乘方和中括号部分：
原式$=(-1)^{101}×3 + (-27 - 27)$
$=-1×3 - 54$
$=-3 - 54 = -57$
(5) 将除法转换为乘法后逐项计算：
原式$=(-10)×(-2) - (-5) + (-20)$
$=20 + 5 - 20 = 5$
(6) 利用乘法分配律简化括号内的除法运算：
原式$=-1 - [ (-\frac{1}{4}+\frac{5}{6}+\frac{8}{9})×36 ]×(-4)$
$=-1 - ( -9 + 30 + 32 )×(-4)$
$=-1 - 53×(-4)$
$=-1 + 212 = 211$
【答案】
(1) 21.7；(2) -30；(3) 0；(4) -57；(5) 5；(6) 211
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算规则，乘法分配律
【点评】
本题是有理数运算的综合基础练习，既考察了基础运算顺序的掌握，也考察了凑整、分配律等简便计算技巧的应用，易错点集中在乘方符号判断、去括号的符号变化、分配律漏乘三类问题，建议计算时不要随意跳步，每一步确认符号后再推进，能大幅降低出错概率。
【难度系数】
0.6

13. (15 分) 定义新运算: $a * b=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}, a \bigotimes b=\dfrac{1}{a b}$. 例如: $3 * 7=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{7}=\dfrac{4}{21}, 3 \bigotimes 7=\dfrac{1}{3 × 7}=\dfrac{1}{21}$. 若 $a \bigotimes b=$ $a * b$, 则称有理数 $a, b$ 为“隔一数对”. 例如: $2 \bigotimes 3=\dfrac{1}{2 × 3}=\dfrac{1}{6}, 2 * 3=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}, 2 \bigotimes 3=2 * 3$, 所以 2,3 为“隔一数对”.
(1) 有下面两组数: ① $a=-\dfrac{4}{3}, b=-\dfrac{1}{3}$; ② $a=-1, b=1$. 其中, 属于“隔一数对”的是(填序号).
(2) 计算: $(-3) * 4-(-3) \bigotimes 4+4 \bigotimes(-5)$.
(3) 已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”, 计算: $1 \bigotimes 2+2 \bigotimes 3+3 \bigotimes 4+4 \bigotimes 5+···+$ $2024 \bigotimes 2025$.

13. (1) ①
(2) 原式=$\dfrac{1}{-3}-\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{(-3)×4}+\dfrac{1}{4×(-5)}=-\dfrac{11}{20}$
(3) 原式=$1 * 2+2 * 3+3 * 4+4 * 5+…+2024 * 2025 = (\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}) + (\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}) + (\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}) + (\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5})+…+(\dfrac{1}{2024}-\dfrac{1}{2025})=1-\dfrac{1}{2025}=\dfrac{2024}{2025}$

【分析】
这是一道新定义运算类题目，解题核心是先准确掌握题目给出的两个新运算规则，以及“隔一数对”的判定条件，按小问逐步推导：
1. 第(1)问：对两组数分别按照定义计算出a*b和a⊗b的结果，若二者相等就属于“隔一数对”，逐一验证即可得到答案。
2. 第(2)问：把算式中所有新运算符号全部替换为题目给出的常规有理数运算表达式，再按照有理数加减运算法则逐步计算，注意不要搞错负号。
3. 第(3)问：题目说明两个连续非零整数都是“隔一数对”，因此对任意正整数n，都有n⊗(n+1)=n*(n+1)，代入规则可得n⊗(n+1)=1/n - 1/(n+1)，代入求和算式后中间项可以全部抵消，用裂项相消法就能快速算出结果。
【解析】
(1) 逐一验证两组数：
① 当$a=-\dfrac{4}{3}, b=-\dfrac{1}{3}$时：
$a*b=\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{-\dfrac{4}{3}}-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{3}}=-\dfrac{3}{4}+3=\dfrac{9}{4}$
$a\bigotimes b=\dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{(-\dfrac{4}{3})×(-\dfrac{1}{3})}=\dfrac{9}{4}$
满足$a \bigotimes b=a * b$，因此①是“隔一数对”。
② 当$a=-1, b=1$时：
$a*b=\dfrac{1}{-1}-\dfrac{1}{1}=-1-1=-2$
$a\bigotimes b=\dfrac{1}{(-1)×1}=-1$
不满足$a \bigotimes b=a * b$，因此②不是“隔一数对”。
最终属于“隔一数对”的是①。
(2) 按新运算规则展开算式计算：
$\begin{aligned}原式&=(\dfrac{1}{-3}-\dfrac{1}{4})-\dfrac{1}{(-3)×4}+\dfrac{1}{4×(-5)}\\&=-\dfrac{7}{12}+\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{20}\\&=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{20}\\&=-\dfrac{11}{20}\end{aligned}$
(3) 根据连续非零整数都是“隔一数对”的性质，可得$k\bigotimes(k+1)=k*(k+1)=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$，代入求和式：
$\begin{aligned}原式&=1*2+2*3+3*4+\dots+2024*2025\\&=(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4})+\dots+(\dfrac{1}{2024}-\dfrac{1}{2025})\\&=1-\dfrac{1}{2025}\\&=\dfrac{2024}{2025}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{①}$；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{11}{20}}$；(3) $\boldsymbol{\dfrac{2024}{2025}}$
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，裂项相消求和
【点评】
本题梯度设置合理，从基础的规则验证、直接套用运算，到最后结合性质转化为裂项求和，逐步提升难度。解题关键是准确理解新运算规则，不要混淆两个新运算的表达式，计算过程中注意负号处理，第三问的裂项相消是分数求和的常用技巧，掌握后可以大幅简化计算。
【难度系数】
0.7