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三、解答题(共50分)
11. (20分)解方程:
(1) $3x - 1 = 4 - 2x$;
(2) $20 - 2x = -x - 1$;
(3) $2(x - 3) - (3x - 1) = 1$;
(4) $\dfrac{x}{3} + \dfrac{30 - x}{2} = 5$.
11. (20分)解方程:
(1) $3x - 1 = 4 - 2x$;
(2) $20 - 2x = -x - 1$;
(3) $2(x - 3) - (3x - 1) = 1$;
(4) $\dfrac{x}{3} + \dfrac{30 - x}{2} = 5$.
答案
11. (1) $x=1$ (2) $x=21$
(3) $x=-6$ (4) $x=60$
(3) $x=-6$ (4) $x=60$
解析
【分析】
这是4道不同类型的一元一次方程求解题目，解题核心思路是按照一元一次方程的标准求解流程逐步化简：对于无括号无分母的方程，先移项（将含x的项移到等号一侧、常数项移到另一侧，移项必须变号），再合并同类项，最后将x的系数化为1得到解；带括号的方程先利用乘法分配律去括号，再按常规步骤计算；带分母的方程先找分母的最小公倍数去分母消去分数，再继续化简，全程要注意运算符号变化，避免漏乘项的错误。
【解析】
(1) 解方程 $3x - 1 = 4 - 2x$
移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧：
$3x + 2x = 4 + 1$
合并同类项得：
$5x = 5$
系数化为1，两边同时除以5：
$x=1$
(2) 解方程 $20 - 2x = -x - 1$
移项，将含x的项移到右侧，常数项移到左侧：
$20 + 1 = 2x - x$
合并同类项得：
$x=21$
(3) 解方程 $2(x - 3) - (3x - 1) = 1$
先去括号，注意括号前为负号时括号内各项要变号：
$2x - 6 - 3x + 1 = 1$
合并同类项得：
$-x -5 = 1$
移项整理：
$-x = 6$
系数化为1，两边同乘-1：
$x=-6$
(4) 解方程 $\dfrac{x}{3} + \dfrac{30 - x}{2} = 5$
分母3和2的最小公倍数为6，方程两边同时乘6去分母，注意所有项都要乘6，不能漏乘右侧常数项：
$2x + 3(30 - x) = 30$
去括号得：
$2x + 90 - 3x = 30$
合并同类项整理：
$-x = -60$
系数化为1：
$x=60$
【答案】
(1) $x=1$；(2) $x=21$；(3) $x=-6$；(4) $x=60$
【知识点】
一元一次方程求解，移项法则，去分母运算
【点评】
本题是一元一次方程的基础巩固题，覆盖了三类最常见的一元一次方程基础题型，核心考察学生对求解全流程的掌握程度，解题时要重点规避移项忘变号、去括号时负号处理错误、去分母漏乘常数项这三类高频易错点，夯实一元一次方程的运算基础。
【难度系数】
0.8
这是4道不同类型的一元一次方程求解题目，解题核心思路是按照一元一次方程的标准求解流程逐步化简：对于无括号无分母的方程，先移项（将含x的项移到等号一侧、常数项移到另一侧，移项必须变号），再合并同类项，最后将x的系数化为1得到解；带括号的方程先利用乘法分配律去括号，再按常规步骤计算；带分母的方程先找分母的最小公倍数去分母消去分数，再继续化简，全程要注意运算符号变化，避免漏乘项的错误。
【解析】
(1) 解方程 $3x - 1 = 4 - 2x$
移项，将含x的项移到左侧，常数项移到右侧：
$3x + 2x = 4 + 1$
合并同类项得：
$5x = 5$
系数化为1，两边同时除以5：
$x=1$
(2) 解方程 $20 - 2x = -x - 1$
移项，将含x的项移到右侧，常数项移到左侧：
$20 + 1 = 2x - x$
合并同类项得：
$x=21$
(3) 解方程 $2(x - 3) - (3x - 1) = 1$
先去括号，注意括号前为负号时括号内各项要变号：
$2x - 6 - 3x + 1 = 1$
合并同类项得：
$-x -5 = 1$
移项整理：
$-x = 6$
系数化为1，两边同乘-1：
$x=-6$
(4) 解方程 $\dfrac{x}{3} + \dfrac{30 - x}{2} = 5$
分母3和2的最小公倍数为6，方程两边同时乘6去分母，注意所有项都要乘6，不能漏乘右侧常数项：
$2x + 3(30 - x) = 30$
去括号得：
$2x + 90 - 3x = 30$
合并同类项整理：
$-x = -60$
系数化为1：
$x=60$
【答案】
(1) $x=1$；(2) $x=21$；(3) $x=-6$；(4) $x=60$
【知识点】
一元一次方程求解，移项法则，去分母运算
【点评】
本题是一元一次方程的基础巩固题，覆盖了三类最常见的一元一次方程基础题型，核心考察学生对求解全流程的掌握程度，解题时要重点规避移项忘变号、去括号时负号处理错误、去分母漏乘常数项这三类高频易错点，夯实一元一次方程的运算基础。
【难度系数】
0.8
12. (16分)先化简,再求值:
(1) $-3(a^{2}-2ab)+2(-5ab-4a^{2})$,其中 $a=-1,b=2$;
(2) $4(3a^{2}b-ab^{2})-2(3ab^{2}-a^{2}b)-14a^{2}b$,其中 $a=1,b=-\dfrac{1}{2}$.
(1) $-3(a^{2}-2ab)+2(-5ab-4a^{2})$,其中 $a=-1,b=2$;
(2) $4(3a^{2}b-ab^{2})-2(3ab^{2}-a^{2}b)-14a^{2}b$,其中 $a=1,b=-\dfrac{1}{2}$.
答案
12. (1) 原式$=-3a^{2}+6ab-10ab-8a^{2}=-3a^{2}-8a^{2}+6ab-10ab=-11a^{2}-4ab$. 当 $a=-1,b=2$ 时,原式$=-11×(-1)^{2}-4×(-1)×2=-11×1+4×1×2=-11+8=-3$
(2) 原式$=12a^{2}b-4ab^{2}-6ab^{2}+2a^{2}b-14a^{2}b=-10ab^{2}$. 当 $a=1,b=-\dfrac{1}{2}$ 时,原式$=-10×1×(-\dfrac{1}{2})^{2}=-\dfrac{5}{2}$
(2) 原式$=12a^{2}b-4ab^{2}-6ab^{2}+2a^{2}b-14a^{2}b=-10ab^{2}$. 当 $a=1,b=-\dfrac{1}{2}$ 时,原式$=-10×1×(-\dfrac{1}{2})^{2}=-\dfrac{5}{2}$
解析
【分析】
这是典型的整式化简求值类题目，解题思路可以分为两步走：第一步先对原式做整式加减化简，首先利用去括号法则去掉所有括号，注意括号外的系数要乘括号内的每一项，若括号外是负号，括号内所有项都要改变符号；接下来找到同类项，将同类项的系数合并，字母和对应指数保持不变，得到最简整式。第二步再把题目给出的字母取值代入最简整式中计算最终结果，这种先化简后代入的方法比直接代入原式计算运算量小，也更不容易出错。对于第(1)小问，去括号后分别合并$a^2$项和$ab$项即可得到最简式；第(2)小问去括号后合并同类项最终会消去$a^2b$的项，只剩下$ab^2$项，代入数值计算非常简便。
【解析】
(1) 先对原式去括号：
原式$=-3a^{2}+6ab-10ab-8a^{2}$
合并同类项，将含$a^2$的项、含$ab$的项分别合并：
$=(-3-8)a^2+(6-10)ab$
$=-11a^2-4ab$
将$a=-1$，$b=2$代入化简后的式子：
原式$=-11×(-1)^2 -4×(-1)×2$
$=-11×1 +8$
$=-11+8$
$=-3$
(2) 先对原式去括号：
原式$=12a^{2}b-4ab^{2}-6ab^{2}+2a^{2}b-14a^{2}b$
合并同类项，将含$a^2b$的项、含$ab^2$的项分别合并：
$=(12+2-14)a^2b + (-4-6)ab^2$
$=-10ab^2$
将$a=1$，$b=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=-10×1×(-\dfrac{1}{2})^2$
$=-10×\dfrac{1}{4}$
$=-\dfrac{5}{2}$
【答案】
(1) 化简结果为$-11a^2-4ab$，最终值为$-3$；(2) 化简结果为$-10ab^2$，最终值为$-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题属于整式加减章节的基础题型，核心考查去括号和合并同类项的基本运算能力，易错点集中在去括号时漏乘括号内的项、忽略负号导致的符号错误，先化简再代入的运算逻辑能有效降低复杂计算的出错概率，是巩固整式加减运算的典型练习。
【难度系数】
0.8
这是典型的整式化简求值类题目，解题思路可以分为两步走：第一步先对原式做整式加减化简，首先利用去括号法则去掉所有括号，注意括号外的系数要乘括号内的每一项，若括号外是负号，括号内所有项都要改变符号；接下来找到同类项，将同类项的系数合并，字母和对应指数保持不变，得到最简整式。第二步再把题目给出的字母取值代入最简整式中计算最终结果，这种先化简后代入的方法比直接代入原式计算运算量小，也更不容易出错。对于第(1)小问，去括号后分别合并$a^2$项和$ab$项即可得到最简式；第(2)小问去括号后合并同类项最终会消去$a^2b$的项，只剩下$ab^2$项，代入数值计算非常简便。
【解析】
(1) 先对原式去括号：
原式$=-3a^{2}+6ab-10ab-8a^{2}$
合并同类项，将含$a^2$的项、含$ab$的项分别合并：
$=(-3-8)a^2+(6-10)ab$
$=-11a^2-4ab$
将$a=-1$，$b=2$代入化简后的式子：
原式$=-11×(-1)^2 -4×(-1)×2$
$=-11×1 +8$
$=-11+8$
$=-3$
(2) 先对原式去括号：
原式$=12a^{2}b-4ab^{2}-6ab^{2}+2a^{2}b-14a^{2}b$
合并同类项，将含$a^2b$的项、含$ab^2$的项分别合并：
$=(12+2-14)a^2b + (-4-6)ab^2$
$=-10ab^2$
将$a=1$，$b=-\dfrac{1}{2}$代入化简后的式子：
原式$=-10×1×(-\dfrac{1}{2})^2$
$=-10×\dfrac{1}{4}$
$=-\dfrac{5}{2}$
【答案】
(1) 化简结果为$-11a^2-4ab$，最终值为$-3$；(2) 化简结果为$-10ab^2$，最终值为$-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
去括号法则，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题属于整式加减章节的基础题型，核心考查去括号和合并同类项的基本运算能力，易错点集中在去括号时漏乘括号内的项、忽略负号导致的符号错误，先化简再代入的运算逻辑能有效降低复杂计算的出错概率，是巩固整式加减运算的典型练习。
【难度系数】
0.8
13. (14 分) 已知 $A=7x-1010xy+15y$ , $B=-7x+1008xy+y$.
(1) 化简 $A-B$;
(2) 若 $x+y=\dfrac{1}{2}$ , $xy=-1$ , 求 $A-B$ 的值;
(3) 若 $A-B$ 的值与 $x$ 的取值无关, 求 $A-B$ 的值.
(1) 化简 $A-B$;
(2) 若 $x+y=\dfrac{1}{2}$ , $xy=-1$ , 求 $A-B$ 的值;
(3) 若 $A-B$ 的值与 $x$ 的取值无关, 求 $A-B$ 的值.
答案
13. (1) $A-B = 7x - 1\ 010xy + 15y - (-7x + 1\ 008xy + y) = 7x - 1\ 010xy + 15y + 7x - 1\ 008xy - y = 14x - 2\ 018xy + 14y$
(2) 因为 $x+y=\dfrac{1}{2},xy=-1$,所以 $A-B=14(x+y)-2\ 018xy=14×\dfrac{1}{2}-2\ 018×(-1)=7+2\ 018=2\ 025$
(3) $A-B=14x+14y-2\ 018xy=(14-2\ 018y)x+14y$,因为 $A-B$ 的值与 $x$ 的取值无关,所以 $14-2\ 018y=0$,解得 $y=\dfrac{7}{1\ 009}$. 所以 $A-B=14y=\dfrac{98}{1\ 009}$
(2) 因为 $x+y=\dfrac{1}{2},xy=-1$,所以 $A-B=14(x+y)-2\ 018xy=14×\dfrac{1}{2}-2\ 018×(-1)=7+2\ 018=2\ 025$
(3) $A-B=14x+14y-2\ 018xy=(14-2\ 018y)x+14y$,因为 $A-B$ 的值与 $x$ 的取值无关,所以 $14-2\ 018y=0$,解得 $y=\dfrac{7}{1\ 009}$. 所以 $A-B=14y=\dfrac{98}{1\ 009}$
解析
【分析】
这是一道整式加减的综合题型，我们可以分三步逐步思考求解：
1. 第一问化简A-B：先把A、B的表达式整体代入A-B，注意B前面是减号，去括号时括号内每一项都要变号，之后准确识别同类项、合并同类项，就能得到化简结果，计算时注意大数字的系数不要算错。
2. 第二问求A-B的值：观察第一问得到的化简式，发现可以变形为含(x+y)和xy的整体形式，题目已经直接给出x+y和xy的数值，不需要单独求解x、y，直接整体代入计算即可，大幅简化运算。
3. 第三问已知A-B的值和x的取值无关：说明整理后所有含x的项的系数之和必须为0，先把化简后的A-B整理为以x为变量的一次式，令x的系数等于0，先解出y的值，再代入剩余的不含x的项，就能算出最终的A-B的数值。
【解析】
(1) 化简A-B：
将$A=7x-1010xy+15y$，$B=-7x+1008xy+y$代入$A-B$，去括号合并同类项：
$\begin{aligned}A-B&=7x - 1010xy + 15y - (-7x + 1008xy + y)\\&=7x - 1010xy + 15y +7x -1008xy -y\\&=(7x+7x)+(-1010xy-1008xy)+(15y-y)\\&=14x -2018xy +14y\end{aligned}$
(2) 代入已知条件求值：
对A-B的化简式提取公因式变形，可得：
$A-B=14(x+y)-2018xy$
将$x+y=\dfrac{1}{2}$，$xy=-1$代入上式：
$\begin{aligned}A-B&=14×\frac{1}{2} - 2018×(-1)\\&=7 + 2018\\&=2025\end{aligned}$
(3) 利用与x取值无关的条件求解：
将A-B的表达式合并含x的项，整理为：
$A-B=(14 - 2018y)x +14y$
因为A-B的值与x的取值无关，说明含x的项的系数为0，即：
$14 - 2018y = 0$
解得$y=\dfrac{7}{1009}$，此时A-B仅剩余不含x的项14y，代入y的值得：
$A-B=14×\frac{7}{1009}=\frac{98}{1009}$
【答案】
(1) $A-B=14x - 2018xy +14y$；
(2) $A-B$的值为$2025$；
(3) $A-B$的值为$\dfrac{98}{1009}$
【知识点】
整式加减运算，整体代入求值，代数式无关性应用
【点评】
本题是整式章节的经典综合题，难度梯度设置合理，从基础化简到整体代换求值，再到“代数式与变量取值无关”的常考题型，既考察了去括号、合并同类项的基础运算能力，也渗透了整体代换的数学思想，其中第三问的核心逻辑“代数式与x无关则x的系数为0”是整式部分的高频考点，也是容易出错的地方，需要学生准确理解变量无关的含义。
【难度系数】
0.6
这是一道整式加减的综合题型，我们可以分三步逐步思考求解：
1. 第一问化简A-B：先把A、B的表达式整体代入A-B，注意B前面是减号，去括号时括号内每一项都要变号，之后准确识别同类项、合并同类项，就能得到化简结果，计算时注意大数字的系数不要算错。
2. 第二问求A-B的值：观察第一问得到的化简式，发现可以变形为含(x+y)和xy的整体形式，题目已经直接给出x+y和xy的数值，不需要单独求解x、y，直接整体代入计算即可，大幅简化运算。
3. 第三问已知A-B的值和x的取值无关：说明整理后所有含x的项的系数之和必须为0，先把化简后的A-B整理为以x为变量的一次式，令x的系数等于0，先解出y的值，再代入剩余的不含x的项，就能算出最终的A-B的数值。
【解析】
(1) 化简A-B：
将$A=7x-1010xy+15y$，$B=-7x+1008xy+y$代入$A-B$，去括号合并同类项：
$\begin{aligned}A-B&=7x - 1010xy + 15y - (-7x + 1008xy + y)\\&=7x - 1010xy + 15y +7x -1008xy -y\\&=(7x+7x)+(-1010xy-1008xy)+(15y-y)\\&=14x -2018xy +14y\end{aligned}$
(2) 代入已知条件求值：
对A-B的化简式提取公因式变形，可得：
$A-B=14(x+y)-2018xy$
将$x+y=\dfrac{1}{2}$，$xy=-1$代入上式：
$\begin{aligned}A-B&=14×\frac{1}{2} - 2018×(-1)\\&=7 + 2018\\&=2025\end{aligned}$
(3) 利用与x取值无关的条件求解：
将A-B的表达式合并含x的项，整理为：
$A-B=(14 - 2018y)x +14y$
因为A-B的值与x的取值无关，说明含x的项的系数为0，即：
$14 - 2018y = 0$
解得$y=\dfrac{7}{1009}$，此时A-B仅剩余不含x的项14y，代入y的值得：
$A-B=14×\frac{7}{1009}=\frac{98}{1009}$
【答案】
(1) $A-B=14x - 2018xy +14y$；
(2) $A-B$的值为$2025$；
(3) $A-B$的值为$\dfrac{98}{1009}$
【知识点】
整式加减运算，整体代入求值，代数式无关性应用
【点评】
本题是整式章节的经典综合题，难度梯度设置合理，从基础化简到整体代换求值，再到“代数式与变量取值无关”的常考题型，既考察了去括号、合并同类项的基础运算能力，也渗透了整体代换的数学思想，其中第三问的核心逻辑“代数式与x无关则x的系数为0”是整式部分的高频考点，也是容易出错的地方，需要学生准确理解变量无关的含义。
【难度系数】
0.6
