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1. 一个正方体的表面展开图如图所示.关于这个正方体,有下列结论:①点$D$与点$H$重合; ②$FN$与$GM$重合; ③$AB // EF$; ④$CD$与$GH$的夹角是$60^{ \circ }$.其中所有正确结论的序号是 （
A.①③
B.①③④
C.①②④
D.②③④
B
）A.①③
B.①③④
C.①②④
D.②③④
答案
1. B 提示:将正方体的表面展开图还原成几何体,如图,点 D 与点 H 重合,故①正确;FN 与 GM 垂直,不是重合,故②错误;AB//EF,故③正确;连接 CG,则三角形 CDG 是等边三角形,所以$∠ CDG=60°$,即CD 与 GH 的夹角是 $60°$,故④正确.
解析
【分析】
这道题的核心解题思路是先将给定的正方体表面展开图折叠还原为正方体，依托还原后的立体图形逐一验证四个结论的正确性：首先通过空间想象（或动手模拟折叠）确定所有顶点折叠后的对应位置，先判断点的重合关系，再依次判断线段的重合、平行、夹角关系，每一个结论都对应立体几何中点线面的位置关系规则，逐个排除错误结论即可得到正确选项。
【解析】
我们将该正方体表面展开图还原为正方体，逐一验证各个结论：
1. 验证结论①：折叠后点D与点H会落在正方体的同一个顶点，二者重合，因此①正确；
2. 验证结论②：还原正方体后，线段FN与GM互相垂直，并不重合，因此②错误；
3. 验证结论③：还原后线段AB与EF的方向完全一致，两条线段互相平行，因此③正确；
4. 验证结论④：连接CD、DG、CG，三条线段均为正方体的面对角线，长度完全相等，因此△CDG是等边三角形，可得∠CDG=60°，即CD与GH的夹角为60°，因此④正确。
综上，正确的结论为①③④，对应选项B。
【答案】
B 提示:将正方体的表面展开图还原成几何体,如图,点 D 与点 H 重合,故①正确;FN 与 GM 垂直,不是重合,故②错误;AB//EF,故③正确;连接 CG,则三角形 CDG 是等边三角形,所以$∠ CDG=60°$,即CD 与 GH 的夹角是 $60°$,故④正确.
【知识点】
正方体展开图，线线位置关系，异面直线夹角
【点评】
本题重点考察学生的空间想象能力，依托正方体展开图的折叠还原，综合考查了点的重合、线线平行、线线夹角等基础立体几何知识点，易错点是容易误判折叠后线段FN和GM的位置关系，以及异面直线CD和GH的夹角计算，空间想象能力较弱的同学可以通过动手裁剪模拟折叠的方式辅助判断，降低出错概率。
【难度系数】
0.4
这道题的核心解题思路是先将给定的正方体表面展开图折叠还原为正方体，依托还原后的立体图形逐一验证四个结论的正确性：首先通过空间想象（或动手模拟折叠）确定所有顶点折叠后的对应位置，先判断点的重合关系，再依次判断线段的重合、平行、夹角关系，每一个结论都对应立体几何中点线面的位置关系规则，逐个排除错误结论即可得到正确选项。
【解析】
我们将该正方体表面展开图还原为正方体，逐一验证各个结论：
1. 验证结论①：折叠后点D与点H会落在正方体的同一个顶点，二者重合，因此①正确；
2. 验证结论②：还原正方体后，线段FN与GM互相垂直，并不重合，因此②错误；
3. 验证结论③：还原后线段AB与EF的方向完全一致，两条线段互相平行，因此③正确；
4. 验证结论④：连接CD、DG、CG，三条线段均为正方体的面对角线，长度完全相等，因此△CDG是等边三角形，可得∠CDG=60°，即CD与GH的夹角为60°，因此④正确。
综上，正确的结论为①③④，对应选项B。
【答案】
B 提示:将正方体的表面展开图还原成几何体,如图,点 D 与点 H 重合,故①正确;FN 与 GM 垂直,不是重合,故②错误;AB//EF,故③正确;连接 CG,则三角形 CDG 是等边三角形,所以$∠ CDG=60°$,即CD 与 GH 的夹角是 $60°$,故④正确.
【知识点】
正方体展开图，线线位置关系，异面直线夹角
【点评】
本题重点考察学生的空间想象能力，依托正方体展开图的折叠还原，综合考查了点的重合、线线平行、线线夹角等基础立体几何知识点，易错点是容易误判折叠后线段FN和GM的位置关系，以及异面直线CD和GH的夹角计算，空间想象能力较弱的同学可以通过动手裁剪模拟折叠的方式辅助判断，降低出错概率。
【难度系数】
0.4
2. 鸡蛋饼的表面可以看作是一个圆面，切的每一刀都可以抽象为一条直线. 如图，切一刀将饼分成 2 块；切两刀可将饼分成 3块，若两刀在饼内有 1 个交点(不含边界)，最多可将饼分成 4 块；三刀在饼内最多有3 个交点(不含边界)，最多可将饼分成 7块……则切 $a$ 刀在饼内最多有 $b$ 个交点(不含边界)，最多可将饼分成 $c$ 块，$a,b,c$之间的数量关系是
$c=a+b+1$
.答案
2. $c=a+b+1$ 提示:观察可知,切一刀分为2块,没有交点;切两刀最多分为4块,有1个交点;切三刀最多分为7块,有3个交点. 所以 $2=1+0+1$,$4=2+1+1$,$7=3+3+1$.依次类推,若切$a$刀,在饼内最多有$b$个交点(不含边界),最多可将饼分为$c$块,则 $c=a+b+1$.
解析
【分析】
我们的解题思路是先从题干给出的切饼实例中，逐一提取每一组对应的刀数a、饼内最多交点数b、最多分块数c的具体数值，再对每组的三个数值做运算对比，寻找所有实例都共同满足的等量关系，最终归纳得到a、b、c三者的通用数量关系。
【解析】
首先整理题干给出的所有已知实例的对应数值：
1. 切1刀时：a=1，饼内无交点即b=0，最多分成2块即c=2，可得等式：$2=1+0+1$；
2. 切2刀时：a=2，饼内最多1个交点即b=1，最多分成4块即c=4，可得等式：$4=2+1+1$；
3. 切3刀时：a=3，饼内最多3个交点即b=3，最多分成7块即c=7，可得等式：$7=3+3+1$；
观察上述所有等式，均满足c等于a与b的和再加1，因此可以归纳得到a、b、c三者的数量关系。
【答案】
$c=a+b+1$
【知识点】
图形规律探究，平面分区域规律
【点评】
本题不需要强行记忆直线分平面的公式，仅通过列举题干给出的特例数值，对比三个量的运算关系即可快速推导规律，重点考察学生从已知实例中归纳总结通用结论的能力，引导学生避免死记硬背公式的学习误区。
【难度系数】
0.7
我们的解题思路是先从题干给出的切饼实例中，逐一提取每一组对应的刀数a、饼内最多交点数b、最多分块数c的具体数值，再对每组的三个数值做运算对比，寻找所有实例都共同满足的等量关系，最终归纳得到a、b、c三者的通用数量关系。
【解析】
首先整理题干给出的所有已知实例的对应数值：
1. 切1刀时：a=1，饼内无交点即b=0，最多分成2块即c=2，可得等式：$2=1+0+1$；
2. 切2刀时：a=2，饼内最多1个交点即b=1，最多分成4块即c=4，可得等式：$4=2+1+1$；
3. 切3刀时：a=3，饼内最多3个交点即b=3，最多分成7块即c=7，可得等式：$7=3+3+1$；
观察上述所有等式，均满足c等于a与b的和再加1，因此可以归纳得到a、b、c三者的数量关系。
【答案】
$c=a+b+1$
【知识点】
图形规律探究，平面分区域规律
【点评】
本题不需要强行记忆直线分平面的公式，仅通过列举题干给出的特例数值，对比三个量的运算关系即可快速推导规律，重点考察学生从已知实例中归纳总结通用结论的能力，引导学生避免死记硬背公式的学习误区。
【难度系数】
0.7
3. 阅读下列材料，完成探究任务：
光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图(反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点).
我们把右侧后视镜及汽车车身抽象成数学模型，如图2，用线段AE表示右侧的后视镜，用长方形ABCD表示汽车的部分车身，司机在车内点O处，$MO// AD$，后视镜AE与AD形成的$∠ EAD$为$60°$，司机观察车右侧后视镜的视角$∠ MOF$的度数不大于$80°$，F为线段AE上的任意一点，且F为入射点.
开车时，由于视角的限制以及车位的遮挡，会形成我们常说的汽车盲区.图3为小汽车的车头、车尾盲区，以及两侧后视镜的可见区域.一辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，小汽车车尾盲区为正后方长为5 m的长方形区域，在小汽车的正后方跟随着一辆匀速行驶的摩托车.若此时小汽车司机紧急刹车，则摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2 s的反应时间.已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22 m，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32 m.
【问题解决】(提示：“三角形的内角和为$180°$”可直接使用)
(1) 若$∠ MOF=70°$，则图2中入射角$∠ OFH=$
(2) 在图2中，我们把$∠ OFG$称为司机观察车右侧的“给力角”，当入射点F与点E重合时，“给力角”最大.图2中“给力角”的最大值为
(3) 已知在行驶过程中的某一时刻，测得小汽车与摩托车之间相距45 m，如图4是根据题意画出的线段示意图.
①线段AC表示的实际意义是
②若此时小汽车司机刚好紧急刹车，为了保证摩托车不闯入小汽车的车尾盲区，则摩托车行驶的最大速度为
光的反射是生活中常见的现象，图1是光的反射示意图(反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点).
我们把右侧后视镜及汽车车身抽象成数学模型，如图2，用线段AE表示右侧的后视镜，用长方形ABCD表示汽车的部分车身，司机在车内点O处，$MO// AD$，后视镜AE与AD形成的$∠ EAD$为$60°$，司机观察车右侧后视镜的视角$∠ MOF$的度数不大于$80°$，F为线段AE上的任意一点，且F为入射点.
开车时，由于视角的限制以及车位的遮挡，会形成我们常说的汽车盲区.图3为小汽车的车头、车尾盲区，以及两侧后视镜的可见区域.一辆小汽车在平直的公路上匀速行驶，小汽车车尾盲区为正后方长为5 m的长方形区域，在小汽车的正后方跟随着一辆匀速行驶的摩托车.若此时小汽车司机紧急刹车，则摩托车司机也随即刹车，但摩托车司机有一个1.2 s的反应时间.已知小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22 m，摩托车从开始刹车到完全停住的滑行距离为32 m.
【问题解决】(提示：“三角形的内角和为$180°$”可直接使用)
(1) 若$∠ MOF=70°$，则图2中入射角$∠ OFH=$
40
$°$.(2) 在图2中，我们把$∠ OFG$称为司机观察车右侧的“给力角”，当入射点F与点E重合时，“给力角”最大.图2中“给力角”的最大值为
$100°$
.(3) 已知在行驶过程中的某一时刻，测得小汽车与摩托车之间相距45 m，如图4是根据题意画出的线段示意图.
①线段AC表示的实际意义是
小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为22 m
；②若此时小汽车司机刚好紧急刹车，为了保证摩托车不闯入小汽车的车尾盲区，则摩托车行驶的最大速度为
25
m/s.答案
3. (1) 40 提示:如图1,设 FO 交 AD 于点 K.
因为 $AD // MO$ 且 $∠ MOF = 70°$, 所以 $∠ AKF = ∠ MOF = 70°$. 又因为 $∠ EAD = 60°$, 所以 $∠ AFK = 180°-∠ AKF-∠ EAD = 50°$. 因为 $FH ⊥ AE$, 所以 $∠ AFH=90°$,所以$∠ OFH=90°-∠ AFK=40°$.
(2) $100°$ 提示:如图2,当入射点F与点E重合时,$∠ MOF$的度数最大,为 $80°$. 因为 $AD// MO$,所以$∠ AKF=∠ MOF=80°$. 又因为$∠ EAD=60°$,所以$∠ AFK=180°-∠ AKF-∠ EAD=40°$. 因为 $FH ⊥ AE$,所以$∠ AFH=90°$,所以$∠ OFH=90°-∠ AFK=50°$,所以$∠ OFG=2∠ OFH=100°$.
(3) ①小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离为 22 m
②25 提示:设摩托车的行驶速度为 $x$ m/s,当$BE=32$ m 时,摩托车的速度最快. 因为 $AD-BE-DE=5$,即 $CD+AC-BE-DE=5$,所以 $45+22-32-1.2x=5$,解得 $x=25$. 故摩托车行驶的最大速度为25 m/s.
解析
【分析】
这是一道跨学科综合探究题，融合几何、物理光学与运动学知识，解题思路可按小问逐步梳理：
1. 第(1)问：先利用平行线的性质，将已知的∠MOF转化为和AD相交的内错角，再结合三角形内角和算出△AFK中∠AFK的度数，最后根据法线FH与镜面AE垂直（夹角为90°），用90°减去∠AFK即可得到入射角∠OFH的度数。
2. 第(2)问：根据题干提示，入射点F与E重合时“给力角”最大，此时∠MOF取最大值80°，沿用第(1)问的方法先算出入射角的度数，再结合光的反射定律（反射角等于入射角），可知“给力角”是入射角的2倍，直接计算即可得到最大值。
3. 第(3)问：①对照题干给出的物理条件，匹配线段AC对应的实际物理意义即可；②找到摩托车不闯入盲区的临界状态：摩托车刚好停在盲区边缘，根据各段路程的和差关系列一元一次方程，求解就能得到摩托车的最大行驶速度。
【解析】
(1) 设FO交AD于点K，
∵ $MO//AD$，$∠MOF=70°$，
∴ $∠AKF=∠MOF=70°$（两直线平行，内错角相等），
在△AFK中，$∠EAD=60°$，$∠AKF=70°$，
由三角形内角和为180°得：$∠AFK=180°-60°-70°=50°$，
∵ FH是法线，$FH⊥AE$，即$∠AFH=90°$，
∴ $∠OFH=90°-∠AFK=90°-50°=40°$。
(2) 当入射点F与E重合时，∠MOF取最大值80°，
同理(1)推导：
∵ $MO//AD$，
∴ $∠AKF=∠MOF=80°$，
在△AFK中，$∠EAD=60°$，$∠AKF=80°$，
∴ $∠AFK=180°-60°-80°=40°$，
∵ $FH⊥AE$，
∴ $∠OFH=90°-40°=50°$，
根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°，
“给力角”$∠OFG$是入射角与反射角的和，因此$∠OFG=50°×2=100°$。
(3) ① 对照题干给出的物理条件，线段AC对应的实际意义为小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离。
② 设摩托车行驶的最大速度为$x$ m/s，
临界状态下摩托车刚好不闯入5m长的车尾盲区，根据路程和差关系列方程：
$45 + 22 - 32 - 1.2x = 5$，
解得$1.2x=30$，即$x=25$。
【答案】
(1) 40
(2) $100°$
(3) ① 小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离 ② 25
【知识点】
平行线的性质；光的反射定律；一元一次方程应用
【点评】
本题属于跨学科创新题型，结合生活中的汽车盲区场景设置问题，既考查了基础几何性质的应用，又要求学生准确提取题干给出的新定义、物理条件，理清角度和路程的数量关系，对信息整合能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.4
这是一道跨学科综合探究题，融合几何、物理光学与运动学知识，解题思路可按小问逐步梳理：
1. 第(1)问：先利用平行线的性质，将已知的∠MOF转化为和AD相交的内错角，再结合三角形内角和算出△AFK中∠AFK的度数，最后根据法线FH与镜面AE垂直（夹角为90°），用90°减去∠AFK即可得到入射角∠OFH的度数。
2. 第(2)问：根据题干提示，入射点F与E重合时“给力角”最大，此时∠MOF取最大值80°，沿用第(1)问的方法先算出入射角的度数，再结合光的反射定律（反射角等于入射角），可知“给力角”是入射角的2倍，直接计算即可得到最大值。
3. 第(3)问：①对照题干给出的物理条件，匹配线段AC对应的实际物理意义即可；②找到摩托车不闯入盲区的临界状态：摩托车刚好停在盲区边缘，根据各段路程的和差关系列一元一次方程，求解就能得到摩托车的最大行驶速度。
【解析】
(1) 设FO交AD于点K，
∵ $MO//AD$，$∠MOF=70°$，
∴ $∠AKF=∠MOF=70°$（两直线平行，内错角相等），
在△AFK中，$∠EAD=60°$，$∠AKF=70°$，
由三角形内角和为180°得：$∠AFK=180°-60°-70°=50°$，
∵ FH是法线，$FH⊥AE$，即$∠AFH=90°$，
∴ $∠OFH=90°-∠AFK=90°-50°=40°$。
(2) 当入射点F与E重合时，∠MOF取最大值80°，
同理(1)推导：
∵ $MO//AD$，
∴ $∠AKF=∠MOF=80°$，
在△AFK中，$∠EAD=60°$，$∠AKF=80°$，
∴ $∠AFK=180°-60°-80°=40°$，
∵ $FH⊥AE$，
∴ $∠OFH=90°-40°=50°$，
根据光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也为50°，
“给力角”$∠OFG$是入射角与反射角的和，因此$∠OFG=50°×2=100°$。
(3) ① 对照题干给出的物理条件，线段AC对应的实际意义为小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离。
② 设摩托车行驶的最大速度为$x$ m/s，
临界状态下摩托车刚好不闯入5m长的车尾盲区，根据路程和差关系列方程：
$45 + 22 - 32 - 1.2x = 5$，
解得$1.2x=30$，即$x=25$。
【答案】
(1) 40
(2) $100°$
(3) ① 小汽车从开始刹车到完全停住的滑行距离 ② 25
【知识点】
平行线的性质；光的反射定律；一元一次方程应用
【点评】
本题属于跨学科创新题型，结合生活中的汽车盲区场景设置问题，既考查了基础几何性质的应用，又要求学生准确提取题干给出的新定义、物理条件，理清角度和路程的数量关系，对信息整合能力有一定的锻炼作用。
【难度系数】
0.4
