1. 如图，$AB // CD$，$F$ 为 $AB$ 上一点，$FD // EH$，且 $FE$ 平分$∠ AFG$，$FG ⊥ EH$ 于点$G$，且$∠ AFG=2∠ D$，有下列结论：
①$∠ D=30°$；
②$FD$ 平分$∠ HFB$；
③$2∠ D+∠ EHC=90°$；
④$FH$ 平分$∠ GFD$.
其中正确的结论有（）


A.①②
B.①③
C.②③
D.①③④

1. B 提示: 因为 $FG ⊥ EH$,所以 $∠ FGE=90°$,又因为 $FD // EH$,所以 $∠ GFD = ∠ FGE = 90°$,所以 $FG ⊥ FD$,所以 $∠ AFG + ∠ BFD = 180° - 90° = 90°$,所以 $2∠ D + ∠ BFD = 90°$, 因为 $AB // CD$, 所以 $∠ D = ∠ BFD$, 所以 $2∠ D + ∠ D = 90°$, 解得 $∠ D = 30°$, 故①正确; 因为 $FD // EH$, 所以 $∠ EHC = ∠ D = 30°$, 所以 $2∠ D + ∠ EHC = 2 × 30° + 30° = 90°$, 故③正确; 因为 $∠ D = 30°$, 所以 $∠ BFD = ∠ D = 30°$, $∠ GFD = 90°$, 但 $∠ HFD$ 不一定等于 $30°$, 也不一定等于 $45°$, 所以 $FD$ 平分 $∠ HFB$, $FH$ 平分 $∠ GFD$ 都不一定正确, 故②和④都错误. 综上, 正确的是①③.

【分析】
我们可以从已知的垂直和平行条件逐步推导角的关系：第一步先利用FG⊥EH、FD//EH，推出FG⊥FD，得到∠GFD=90°；第二步结合平角定义，得到∠AFG + ∠BFD = 90°，再代入题目给出的∠AFG=2∠D，以及AB//CD得到的内错角∠BFD=∠D，即可算出∠D的度数，验证结论①；第三步利用FD//EH的同位角相等，推导∠EHC和∠D的关系，验证结论③；最后判断剩余两个结论时，严格对照已知条件，确认是否有足够条件证明角平分线成立，避免主观臆造不存在的等量关系。
【解析】
解：
1. 验证结论①：
∵ FG⊥EH，
∴ ∠FGE=90°，
又
∵ FD//EH，
∴ ∠GFD=∠FGE=90°，即FG⊥FD，
∵ F在AB上，∠AFB=180°，
∴ ∠AFG + ∠GFD + ∠BFD = 180°，代入∠GFD=90°得：∠AFG + ∠BFD = 90°，
已知∠AFG=2∠D，又
∵ AB//CD，由内错角相等得∠BFD=∠D，
代入得：2∠D + ∠D = 90°，解得∠D=30°，故①正确。
2. 验证结论③：
∵ FD//EH，
∴ ∠EHC=∠D=30°，
代入得2∠D + ∠EHC = 2×30° + 30° = 90°，故③正确。
3. 判断结论②：
由已知仅能得到∠BFD=∠D=30°，没有任何条件可以证明∠HFD=30°，无法推出∠BFH=∠HFD，因此FD不一定平分∠HFB，②错误。
4. 判断结论④：
由已知仅能得到∠GFD=90°，没有条件可以证明∠GFH=∠HFD=45°，因此FH不一定平分∠GFD，④错误。
综上，正确的结论是①③。
【答案】B
【知识点】
平行线的性质，垂直的定义，角平分线判定
【点评】
本题属于平行线相关的中档综合题，核心考察平行线性质的灵活运用，解题时要严格依托已知条件推导角的等量关系，不能主观添加题目没有给出的角相等条件，避免误判②、④这类缺少条件的结论。
【难度系数】
0.5

2. 一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起,其中$∠ D=30°$,$∠ OAB=45°$.若固定三角板$AOB$,改变三角板$ACD$的位置(其中点$A$的位置始终不变),当$∠ BAD=$时,$CD// OB$.

2. $15°$或$165°$ 提示:分两种情况讨论:①如图1,当 $CD // OB$ 时, 设 $CD$ 与 $AO$ 相交于点 $E$, 所以 $∠ AED = ∠ O = 90°$, 所以 $∠ EAD = 90° - ∠ D = 60°$, 所以 $∠ BAD = ∠ EAD - ∠ EAB = 15°$. ②如图 2, 当 $CD // OB$ 时, 过点 $A$ 作 $AM // OB$, 因为 $CD // OB$, 所以 $CD // AM // OB$, 所以 $∠ OAM = ∠ O = 90°$, $∠ DAM = ∠ D = 30°$, 所以 $∠ BAD = ∠ BAO + ∠ OAM + ∠ DAM = 45° + 90° + 30° = 165°$.

【分析】
这道题需要结合平行线的性质和三角板的固有角度求解，首先要明确两个三角板的已知角度：等腰直角三角板AOB中∠O=90°、∠OAB=45°，含30°角的三角板ACD中∠D=30°、∠CAD=60°。由于三角板ACD可绕点A任意旋转，满足CD//OB的位置不止一种，因此需要分类讨论：第一种是CD与OB在AO同侧的平行情况，利用平行线同位角相等推导角度差得到∠BAD；第二种是CD旋转到AO另一侧的平行情况，通过作辅助平行线利用内错角、同旁内角的性质推导角度和得到∠BAD，避免漏解。
【解析】
解：由题意可知：
△AOB为等腰直角三角形，∠O=90°，∠OAB=45°；△ACD中∠ACD=90°，∠D=30°，因此∠CAD=60°。
分两种情况讨论：
① 当CD//OB，CD与AO相交时：
∵ CD//OB，∠O=90°
∴ ∠AED=∠O=90°（两直线平行，同位角相等）
在Rt△ADE中，∠EAD=90°-∠D=90°-30°=60°
∴ ∠BAD=∠EAD - ∠OAB=60°-45°=15°
② 当CD//OB，CD位于AO远离OB的一侧时：
过点A作AM//OB，
∵ CD//OB，
∴ CD//AM//OB
∴ ∠OAM + ∠O = 180°，代入∠O=90°得∠OAM=90°；同时∠DAM=∠D=30°（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠BAD=∠BAO + ∠OAM + ∠DAM=45°+90°+30°=165°
综上，∠BAD为15°或165°。
【答案】
$15°$或$165°$ 提示:分两种情况讨论:①如图1,当 $CD // OB$ 时, 设 $CD$ 与 $AO$ 相交于点 $E$, 所以 $∠ AED = ∠ O = 90°$, 所以 $∠ EAD = 90° - ∠ D = 60°$, 所以 $∠ BAD = ∠ EAD - ∠ EAB = 15°$. ②如图 2, 当 $CD // OB$ 时, 过点 $A$ 作 $AM // OB$, 因为 $CD // OB$, 所以 $CD // AM // OB$, 所以 $∠ OAM = ∠ O = 90°$, $∠ DAM = ∠ D = 30°$, 所以 $∠ BAD = ∠ BAO + ∠ OAM + ∠ DAM = 45° + 90° + 30° = 165°$.
【知识点】
平行线的性质，三角板角度计算，分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略三角板可绕点A旋转的特性，仅得到15°这一个答案，漏算165°的情况。解题时要全面梳理所有满足CD//OB的位置，灵活运用平行线的角度转化性质计算，养成多情况分类讨论的习惯，避免漏解。
【难度系数】
0.4

3. 已知 $OC$ 是过点 $O$ 的一条射线，$OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC,∠ BOC.$
(1) 如图 1,若射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 的内部，$∠ AOB=80°,$ 则 $∠ DOE=$ $°$；
(2) 如图 2,若射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 的内部绕点 $O$ 旋转，$∠ AOB=x°,$ 则 $∠ DOE=$ $°$；
(3) 若射线 $OC$ 在 $∠ AOB$ 的外部绕点 $O$ 旋转，$∠ AOB=x°,$ 请借助图 3 探究 $∠ DOE$ 的度数.

3. (1) 40 提示: 因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC, ∠ BOC$, 所以 $∠ COD = ∠ AOD = \dfrac{1}{2}∠ AOC$, $∠ COE = ∠ BOE = \dfrac{1}{2}∠ BOC$, 所以 $∠ DOE = ∠ COD + ∠ COE = \dfrac{1}{2}∠ AOC + \dfrac{1}{2}∠ BOC = \dfrac{1}{2}∠ AOB = 40°$.
(2) $(\dfrac{x}{2})$ 提示: 因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC, ∠ BOC$, 所以 $∠ COD = ∠ AOD = \dfrac{1}{2}∠ AOC$, $∠ COE = ∠ BOE = \dfrac{1}{2}∠ BOC$, 所以 $∠ DOE = ∠ COD + ∠ COE = \dfrac{1}{2}∠ AOC + \dfrac{1}{2}∠ BOC = \dfrac{1}{2}∠ AOB$, 所以 $∠ DOE = (\dfrac{x}{2})°$.
(3) 解:分两种情况讨论:
①如图1, 因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC$, $∠ BOC$, 所以 $∠ COD = ∠ AOD = \dfrac{1}{2}∠ AOC$, $∠ COE = ∠ BOE = \dfrac{1}{2}∠ BOC$, 所以 $∠ DOE = ∠ COD - ∠ COE = \dfrac{1}{2}∠ AOC - \dfrac{1}{2}∠ BOC = \dfrac{1}{2}∠ AOB$, 所以 $∠ DOE = (\dfrac{x}{2})°$;
②如图2, 因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC$, $∠ BOC$, 所以 $∠ COD = ∠ AOD = \dfrac{1}{2}∠ AOC$, $∠ COE = ∠ BOE = \dfrac{1}{2}∠ BOC$, 所以 $∠ DOE = ∠ COD + ∠ COE = \dfrac{1}{2}∠ AOC + \dfrac{1}{2}∠ BOC = \dfrac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOC) = \dfrac{1}{2}(360° - ∠ AOB)$, 所以 $∠ DOE = \dfrac{1}{2} × (360° - x°) = (180 - \dfrac{1}{2}x)°$.
综上所述, $∠ DOE$ 的度数为 $(\dfrac{x}{2})°$ 或 $(180 - \dfrac{1}{2}x)°$.

【分析】
这道题围绕角平分线的性质展开角度计算，解题思路如下：
1. 对于前两问，OC在∠AOB内部，首先根据角平分线的定义，将∠DOE拆分为∠COD和∠COE的和，两个角分别是∠AOC和∠BOC的一半，合并后可以发现∠DOE恒等于∠AOB的一半，直接代入已知角度数值即可得到结果。
2. 第三问OC在∠AOB外部时，没有给出OC的具体位置，需要分类讨论：第一种情况OC仅在∠AOB某一条边的外侧，此时∠DOE是两个平分后的角的差，依然等于∠AOB的一半；第二种情况OC落在∠AOB的对顶角区域，此时两个平分后的角相加的和对应周角减去∠AOB的一半，推导得到另一个结果，最后汇总所有情况即可。
【解析】
(1) 已知OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，根据角平分线定义：
∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOC，∠COE = $\frac{1}{2}$∠BOC
因此∠DOE = ∠COD + ∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC + $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$(∠AOC+∠BOC) = $\frac{1}{2}$∠AOB
代入∠AOB=80°，得∠DOE = $\frac{1}{2}$ × 80° = 40°。
(2) 同理，当∠AOB=x°时，代入上述推导结论，可得∠DOE = $\frac{1}{2}$∠AOB = $(\frac{x}{2})°$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当射线OC位于∠AOB外侧，且在∠AOB其中一条边的外侧时：
由角平分线定义得∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC
此时∠DOE = ∠COD - ∠COE = $\frac{1}{2}$∠AOC - $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2}$(∠AOC - ∠BOC) = $\frac{1}{2}$∠AOB = $(\frac{x}{2})°$
② 当射线OC位于∠AOB的对顶角所在区域时：
由角平分线定义得∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠BOC
此时∠AOC + ∠BOC = 360° - ∠AOB，因此：
∠DOE = ∠COD + ∠COE = $\frac{1}{2}$(∠AOC + ∠BOC) = $\frac{1}{2}$(360° - x°) = $(180 - \frac{x}{2})°$
综上所述，∠DOE的度数为$(\frac{x}{2})°$或$(180 - \frac{1}{2}x)°$。
【答案】
(1) 40
(2) $\dfrac{x}{2}$
(3) 分两种情况讨论:
① 如图1, 因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC$, $∠ BOC$, 所以 $∠ COD = ∠ AOD = \dfrac{1}{2}∠ AOC$, $∠ COE = ∠ BOE = \dfrac{1}{2}∠ BOC$, 所以 $∠ DOE = ∠ COD - ∠ COE = \dfrac{1}{2}∠ AOC - \dfrac{1}{2}∠ BOC = \dfrac{1}{2}∠ AOB$, 所以 $∠ DOE = (\dfrac{x}{2})°$;
② 如图2, 因为 $OD,OE$ 分别平分 $∠ AOC$, $∠ BOC$, 所以 $∠ COD = ∠ AOD = \dfrac{1}{2}∠ AOC$, $∠ COE = ∠ BOE = \dfrac{1}{2}∠ BOC$, 所以 $∠ DOE = ∠ COD + ∠ COE = \dfrac{1}{2}∠ AOC + \dfrac{1}{2}∠ BOC = \dfrac{1}{2}(∠ AOC + ∠ BOC) = \dfrac{1}{2}(360° - ∠ AOB)$, 所以 $∠ DOE = \dfrac{1}{2} × (360° - x°) = (180 - \dfrac{1}{2}x)°$.
综上所述, $∠ DOE$ 的度数为 $(\dfrac{x}{2})°$ 或 $(180 - \dfrac{1}{2}x)°$.


【知识点】
角平分线定义，角度和差运算，分类讨论思想
【点评】
本题采用从特殊到一般的命题逻辑，先从固定数值的角度计算入手，逐步推广到含参数的通用结论，最后延伸到射线在角外部的分类讨论场景，层层递进巩固角平分线相关的角度推导能力，学生解题时容易遗漏第三问的其中一种位置情况，需要注意射线在角外部的不同位置对应的角度和差关系差异。
【难度系数】
0.6