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1. 如图$,AB// CD$，点$E$在$AB$的上方，$G,F$分别为$AB,CD$上的点，$∠ AGE,∠ EFC$的平分线交于点$H$，$∠ EFD$的平分线与$HG$的延长线交于点$M$。下列结论：
①$HF⊥ MF$；②$∠ EFC=∠ E+∠ AGE$；
③$∠ E=2∠ H$；④若$∠ BGE-∠ EFD=∠ M$，则$∠ H=30°$。其中，所有正确结论的序号是（
A.①②
B.①②③
C.①③④
D.①②③④
①$HF⊥ MF$；②$∠ EFC=∠ E+∠ AGE$；
③$∠ E=2∠ H$；④若$∠ BGE-∠ EFD=∠ M$，则$∠ H=30°$。其中，所有正确结论的序号是（
D
）A.①②
B.①②③
C.①③④
D.①②③④
答案
1. D 提示:因为∠AGE,∠EFC的平分线交于点H,∠EFD的平分线与HG的延长线交于点M,所以
$∠ EFM=\frac{1}{2}∠ EFD,∠ CFH=∠ HFE=\frac{1}{2}∠ CFE,$
$∠ AGH=\frac{1}{2}∠ AGE$,因为$∠ CFE+∠ EFD=180°$,所以
$∠ HFM=∠ HFE+∠ EFM=\frac{1}{2}(∠ CFE+∠ EFD)=$
$90°$,即$HF⊥ MF$,故①正确;如图,过点E作$ET// AB$,
因为$AB// CD,ET// AB$,所以$AB// CD// ET$,所以
$∠ TEF=∠ EFC,∠ 1=∠ AGE$, 因为$∠ TEF=$
$∠ FEG+∠ 1$,所以$∠ EFC=∠ FEG+∠ AGE$,故②正
确;如图,过点H作$HW// AB$,因为$HW// AB,AB//$
$CD$,所以$AB // CD // HW$,所以$∠ 2 = ∠ AGH$,
$∠ WHF=∠ CFH$,则$∠ FHM=∠ WHF - ∠ 2=$
$∠ CFH-∠ AGH$,因为$∠ CFH=∠ HFE=\frac{1}{2}∠ CFE$,
$∠ AGH=\frac{1}{2}∠ AGE$,所以$∠ FHM=\frac{1}{2}∠ CFE -$
$\frac{1}{2}∠ AGE$,因为$∠ EFC=∠ FEG+∠ AGE$,所以
$∠ FEG=∠ EFC-∠ AGE$,所以$\frac{1}{2}∠ FEG=$
$\frac{1}{2}(∠ EFC-∠ AGE)$,所以$∠ FHM=\frac{1}{2}∠ EFC -$
$\frac{1}{2}∠ AGE=\frac{1}{2}∠ FEG$,即$∠ FEG=2∠ FHM$,故③正
确;因为$∠ EGB+∠ EGA=180°,∠ CFE+∠ EFD=$
$180°$,所以$∠ EGB=180°-∠ EGA,∠ EFD=180°-$
$∠ CFE$,因为$∠ BGE-∠ EFD=∠ M$,所以$180°-$
$∠ EGA -(180°-∠ CFE)=∠ M$,即$∠ CFE -$
$∠ EGA=∠ M$,由②,得$∠ EFC=∠ FEG+∠ AGE$,所
以$∠ FEG+∠ AGE-∠ EGA=∠ M$,即$∠ FEG=∠ M$,
由③,得$∠ FEG=2∠ FHM$,所以$∠ M=2∠ FHM$,由
①,得$∠ HFM=90°$,所以$∠ M+∠ FHM=3∠ FHM=$
$180°-∠ HFM=90°$,所以$∠ FHM=30°$,故④正确。
解析
【分析】
我们可以逐个验证四个结论，思路如下：
1. 验证①：已知HF平分∠EFC，MF平分∠EFD，而∠EFC和∠EFD是邻补角，和为180°，因此两个角的一半相加就是90°，直接可得∠HFM=90°，即HF⊥MF。
2. 验证②：平行线间出现拐点E，常规辅助线是过E作平行于AB的直线，结合AB//CD，得到三条线互相平行，利用内错角相等拆分角，即可推导出∠EFC=∠E+∠AGE。
3. 验证③：同理过点H作平行于AB的辅助线，利用平行线内错角相等转化角，结合角平分线的性质，将∠H表示为∠CFH-∠AGH，代入②的结论即可得到∠E=2∠H。
4. 验证④：利用平角定义将∠BGE和∠EFD转化，代入题设给出的∠BGE-∠EFD=∠M，结合之前推导的∠E=2∠H，以及直角三角形两锐角和为90°，即可算出∠H=30°。
四个结论全部正确，对应选项D。
【解析】
逐一推导各结论：
1. 推导①：
已知HG平分∠AGE，HF平分∠EFC，MF平分∠EFD，因此：
$∠ CFH=∠ HFE=\frac{1}{2}∠ CFE$，$∠ EFM=\frac{1}{2}∠ EFD$，
又因为$∠ CFE + ∠ EFD = 180°$（邻补角定义），
所以$∠ HFM = ∠ HFE + ∠ EFM = \frac{1}{2}(∠ CFE + ∠ EFD) = 90°$，即$HF⊥ MF$，①正确。
2. 推导②：
过点E作$ET//AB$，因为$AB//CD$，所以$AB//CD//ET$，
由平行线内错角相等得：$∠ TEF=∠ EFC$，$∠ GET=∠ AGE$，
又因为$∠ TEF = ∠ GEF + ∠ GET$，代入得$∠ EFC=∠ GEF+∠ AGE$，即$∠ EFC=∠ E+∠ AGE$，②正确。
3. 推导③：
过点H作$HW//AB$，因为$AB//CD$，所以$AB//CD//HW$，
由平行线内错角相等得：$∠ AGH=∠ GHW$，$∠ CFH=∠ FHW$，
因此$∠ GHF = ∠ FHW - ∠ GHW = ∠ CFH - ∠ AGH$，
代入角平分线的关系：$∠ CFH=\frac{1}{2}∠ CFE$，$∠ AGH=\frac{1}{2}∠ AGE$，
得$∠ GHF = \frac{1}{2}(∠ CFE - ∠ AGE)$，
结合②的结论$∠ EFC - ∠ AGE = ∠ E$，代入得$∠ GHF=\frac{1}{2}∠ E$，即$∠ E=2∠ H$，③正确。
4. 推导④：
由平角定义：$∠ BGE + ∠ AGE = 180°$，$∠ CFE + ∠ EFD = 180°$，
因此$∠ BGE = 180° - ∠ AGE$，$∠ EFD=180°-∠ CFE$，
代入题设条件$∠ BGE - ∠ EFD = ∠ M$：
$180° - ∠ AGE - (180° - ∠ CFE) = ∠ M$，化简得$∠ CFE - ∠ AGE = ∠ M$，
结合②的结论$∠ CFE - ∠ AGE = ∠ E$，得$∠ E=∠ M$，
再结合③的结论$∠ E=2∠ H$，得$∠ M=2∠ H$，
由①得$∠ HFM=90°$，在$△ HFM$中$∠ M + ∠ H = 90°$，代入得$2∠ H + ∠ H =90°$，解得$∠ H=30°$，④正确。
综上四个结论全部正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线性质，角平分线定义，平行线拐点模型
【点评】
本题是平行线章节的经典多结论综合题，核心考点是平行线间拐点的辅助线构造，需要熟练运用平行线的内错角相等性质拆分角，结合角平分线的定义逐步推导，对学生的角的和差转化能力有一定要求，容易出现漏判结论的情况。
【难度系数】
0.3
我们可以逐个验证四个结论，思路如下：
1. 验证①：已知HF平分∠EFC，MF平分∠EFD，而∠EFC和∠EFD是邻补角，和为180°，因此两个角的一半相加就是90°，直接可得∠HFM=90°，即HF⊥MF。
2. 验证②：平行线间出现拐点E，常规辅助线是过E作平行于AB的直线，结合AB//CD，得到三条线互相平行，利用内错角相等拆分角，即可推导出∠EFC=∠E+∠AGE。
3. 验证③：同理过点H作平行于AB的辅助线，利用平行线内错角相等转化角，结合角平分线的性质，将∠H表示为∠CFH-∠AGH，代入②的结论即可得到∠E=2∠H。
4. 验证④：利用平角定义将∠BGE和∠EFD转化，代入题设给出的∠BGE-∠EFD=∠M，结合之前推导的∠E=2∠H，以及直角三角形两锐角和为90°，即可算出∠H=30°。
四个结论全部正确，对应选项D。
【解析】
逐一推导各结论：
1. 推导①：
已知HG平分∠AGE，HF平分∠EFC，MF平分∠EFD，因此：
$∠ CFH=∠ HFE=\frac{1}{2}∠ CFE$，$∠ EFM=\frac{1}{2}∠ EFD$，
又因为$∠ CFE + ∠ EFD = 180°$（邻补角定义），
所以$∠ HFM = ∠ HFE + ∠ EFM = \frac{1}{2}(∠ CFE + ∠ EFD) = 90°$，即$HF⊥ MF$，①正确。
2. 推导②：
过点E作$ET//AB$，因为$AB//CD$，所以$AB//CD//ET$，
由平行线内错角相等得：$∠ TEF=∠ EFC$，$∠ GET=∠ AGE$，
又因为$∠ TEF = ∠ GEF + ∠ GET$，代入得$∠ EFC=∠ GEF+∠ AGE$，即$∠ EFC=∠ E+∠ AGE$，②正确。
3. 推导③：
过点H作$HW//AB$，因为$AB//CD$，所以$AB//CD//HW$，
由平行线内错角相等得：$∠ AGH=∠ GHW$，$∠ CFH=∠ FHW$，
因此$∠ GHF = ∠ FHW - ∠ GHW = ∠ CFH - ∠ AGH$，
代入角平分线的关系：$∠ CFH=\frac{1}{2}∠ CFE$，$∠ AGH=\frac{1}{2}∠ AGE$，
得$∠ GHF = \frac{1}{2}(∠ CFE - ∠ AGE)$，
结合②的结论$∠ EFC - ∠ AGE = ∠ E$，代入得$∠ GHF=\frac{1}{2}∠ E$，即$∠ E=2∠ H$，③正确。
4. 推导④：
由平角定义：$∠ BGE + ∠ AGE = 180°$，$∠ CFE + ∠ EFD = 180°$，
因此$∠ BGE = 180° - ∠ AGE$，$∠ EFD=180°-∠ CFE$，
代入题设条件$∠ BGE - ∠ EFD = ∠ M$：
$180° - ∠ AGE - (180° - ∠ CFE) = ∠ M$，化简得$∠ CFE - ∠ AGE = ∠ M$，
结合②的结论$∠ CFE - ∠ AGE = ∠ E$，得$∠ E=∠ M$，
再结合③的结论$∠ E=2∠ H$，得$∠ M=2∠ H$，
由①得$∠ HFM=90°$，在$△ HFM$中$∠ M + ∠ H = 90°$，代入得$2∠ H + ∠ H =90°$，解得$∠ H=30°$，④正确。
综上四个结论全部正确。
【答案】
D
【知识点】
平行线性质，角平分线定义，平行线拐点模型
【点评】
本题是平行线章节的经典多结论综合题，核心考点是平行线间拐点的辅助线构造，需要熟练运用平行线的内错角相等性质拆分角，结合角平分线的定义逐步推导，对学生的角的和差转化能力有一定要求，容易出现漏判结论的情况。
【难度系数】
0.3
2. 如图，$∠ AOB = m°$，$∠ COD = n°$，$∠ COD$在$∠ AOB$的内部绕点$O$任意旋转. 若$OE$平分$∠ AOC$，则$2∠ BOE - ∠ BOD =$
(m-n)
$°$(用含$m,n$的代数式表示).答案
2. $(m-n)$ 提示:因为OE平分$∠ AOC$,所以
$∠ AOE=∠ COE$.设$∠ DOE=x°$,因为$∠ COD=n°$,所
以$∠ AOE=∠ COE=(x+n)°$,所以$∠ BOC=∠ AOB-$
$∠ AOC=m°-2(x+n)°=(m-2n-2x)°$,所以
$2∠ BOE-∠ BOD=2(m-2n-2x+x+n)°-(m-$
$2n-2x+n)°=2(m-n-x)°-(m-n-2x)°=(2m-$
$2n-2x -m +n +2x)°=(m-n)°$.
$∠ AOE=∠ COE$.设$∠ DOE=x°$,因为$∠ COD=n°$,所
以$∠ AOE=∠ COE=(x+n)°$,所以$∠ BOC=∠ AOB-$
$∠ AOC=m°-2(x+n)°=(m-2n-2x)°$,所以
$2∠ BOE-∠ BOD=2(m-2n-2x+x+n)°-(m-$
$2n-2x+n)°=2(m-n-x)°-(m-n-2x)°=(2m-$
$2n-2x -m +n +2x)°=(m-n)°$.
解析
【分析】
解题思路：首先从已知条件OE平分∠AOC出发，先得到∠AOE=∠COE的等量关系。观察所求的代数式2∠BOE - ∠BOD，直接用已知的∠AOB=m°、∠COD=n°难以直接推导结果，因此可以引入一个辅助未知量，设图中∠DOE=x°，将所有相关的角都用m、n、x表示出来，再代入所求代数式进行代数化简，中间的未知量x会被抵消，最终就能得到仅含m、n的结果，避免了硬凑角度的误区。
【解析】
解：
∵ OE平分∠AOC，
∴ ∠AOE = ∠COE。
设∠DOE = x°，已知∠COD = n°，
∴ ∠COE = ∠DOE + ∠COD = (x + n)°，
∴ ∠AOE = ∠COE = (x + n)°。
由此可得：
∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = m° - (x + n)° = (m - x - n)°，
∠AOD = ∠AOE + ∠DOE = (x + n)° + x° = (2x + n)°，
∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = m° - (2x + n)° = (m - 2x - n)°。
将上述结果代入所求代数式：
2∠BOE - ∠BOD = 2(m - x - n)° - (m - 2x - n)°
= 2m - 2x - 2n - m + 2x + n
= (m - n)°
【答案】(m-n)
【知识点】角平分线定义，角的和差运算
【点评】本题属于角运算的中档题型，通过引入辅助未知量把几何角的关系转化为代数化简问题，利用消元思想消去中间变量，不需要计算每个小角的具体数值就能得到定值，有效锻炼了学生几何与代数结合的转化思维。
【难度系数】0.5
解题思路：首先从已知条件OE平分∠AOC出发，先得到∠AOE=∠COE的等量关系。观察所求的代数式2∠BOE - ∠BOD，直接用已知的∠AOB=m°、∠COD=n°难以直接推导结果，因此可以引入一个辅助未知量，设图中∠DOE=x°，将所有相关的角都用m、n、x表示出来，再代入所求代数式进行代数化简，中间的未知量x会被抵消，最终就能得到仅含m、n的结果，避免了硬凑角度的误区。
【解析】
解：
∵ OE平分∠AOC，
∴ ∠AOE = ∠COE。
设∠DOE = x°，已知∠COD = n°，
∴ ∠COE = ∠DOE + ∠COD = (x + n)°，
∴ ∠AOE = ∠COE = (x + n)°。
由此可得：
∠BOE = ∠AOB - ∠AOE = m° - (x + n)° = (m - x - n)°，
∠AOD = ∠AOE + ∠DOE = (x + n)° + x° = (2x + n)°，
∠BOD = ∠AOB - ∠AOD = m° - (2x + n)° = (m - 2x - n)°。
将上述结果代入所求代数式：
2∠BOE - ∠BOD = 2(m - x - n)° - (m - 2x - n)°
= 2m - 2x - 2n - m + 2x + n
= (m - n)°
【答案】(m-n)
【知识点】角平分线定义，角的和差运算
【点评】本题属于角运算的中档题型，通过引入辅助未知量把几何角的关系转化为代数化简问题，利用消元思想消去中间变量，不需要计算每个小角的具体数值就能得到定值，有效锻炼了学生几何与代数结合的转化思维。
【难度系数】0.5
3. 数学课上,鲍老师提出问题:观察下面几种简单多面体,每个多面体的顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间有怎样的数量关系?
答案
解：
分别统计各多面体的顶点数$ V $、面数$ F $、棱数$ E $：
1. 四面体：$ V=4 $，$ F=4 $，$ E=6 $，计算得$ 4+4-6=2 $；
2. 六面体：$ V=8 $，$ F=6 $，$ E=12 $，计算得$ 8+6-12=2 $；
3. 正八面体：$ V=6 $，$ F=8 $，$ E=12 $，计算得$ 6+8-12=2 $；
4. 正十二面体：$ V=20 $，$ F=12 $，$ E=30 $，计算得$ 20+12-30=2 $。
可得四个多面体共同满足的数量关系为：
$\boldsymbol{V + F - E = 2}$
分别统计各多面体的顶点数$ V $、面数$ F $、棱数$ E $：
1. 四面体：$ V=4 $，$ F=4 $，$ E=6 $，计算得$ 4+4-6=2 $；
2. 六面体：$ V=8 $，$ F=6 $，$ E=12 $，计算得$ 8+6-12=2 $；
3. 正八面体：$ V=6 $，$ F=8 $，$ E=12 $，计算得$ 6+8-12=2 $；
4. 正十二面体：$ V=20 $，$ F=12 $，$ E=30 $，计算得$ 20+12-30=2 $。
可得四个多面体共同满足的数量关系为：
$\boldsymbol{V + F - E = 2}$
解析
【分析】
我们要推导多面体顶点数、面数、棱数的关系，解题思路非常清晰：第一步先逐个统计给出的四个多面体各自的顶点数V、面数F、棱数E，统计时注意不要漏数被虚线遮挡的部分；第二步对每个几何体，尝试对V、F、E做加减运算，寻找四个几何体共有的运算结果规律；第三步归纳出统一的数量关系式即可。统计棱数时也可以用“所有面的边数总和÷2”的方法验证，避免数错。
【解析】
我们逐个对四个多面体的三类数值进行统计并计算：
1. 四面体：顶点数$V=4$，面数$F=4$，棱数$E=6$，代入运算得$V+F-E=4+4-6=2$；
2. 六面体：顶点数$V=8$，面数$F=6$，棱数$E=12$，代入运算得$V+F-E=8+6-12=2$；
3. 正八面体：顶点数$V=6$，面数$F=8$，棱数$E=12$，代入运算得$V+F-E=6+8-12=2$；
4. 正十二面体：顶点数$V=20$，面数$F=12$，棱数$E=30$，代入运算得$V+F-E=20+12-30=2$。
对比四个几何体的运算结果，可归纳得到所有简单多面体都满足的统一数量关系。
【答案】
$\boldsymbol{V + F - E = 2}$
【知识点】
多面体欧拉公式；多面体元素计数
【点评】
本题是经典的规律探究题，通过枚举不同类型的简单多面体，引导学生自主归纳得出欧拉公式，核心考察从具体实例中统计数据、对比运算、提炼共性规律的探究能力，统计棱数时可借助“面边总和除以2”的技巧避免重复或漏数，有效降低计数错误概率。
【难度系数】
0.7
我们要推导多面体顶点数、面数、棱数的关系，解题思路非常清晰：第一步先逐个统计给出的四个多面体各自的顶点数V、面数F、棱数E，统计时注意不要漏数被虚线遮挡的部分；第二步对每个几何体，尝试对V、F、E做加减运算，寻找四个几何体共有的运算结果规律；第三步归纳出统一的数量关系式即可。统计棱数时也可以用“所有面的边数总和÷2”的方法验证，避免数错。
【解析】
我们逐个对四个多面体的三类数值进行统计并计算：
1. 四面体：顶点数$V=4$，面数$F=4$，棱数$E=6$，代入运算得$V+F-E=4+4-6=2$；
2. 六面体：顶点数$V=8$，面数$F=6$，棱数$E=12$，代入运算得$V+F-E=8+6-12=2$；
3. 正八面体：顶点数$V=6$，面数$F=8$，棱数$E=12$，代入运算得$V+F-E=6+8-12=2$；
4. 正十二面体：顶点数$V=20$，面数$F=12$，棱数$E=30$，代入运算得$V+F-E=20+12-30=2$。
对比四个几何体的运算结果，可归纳得到所有简单多面体都满足的统一数量关系。
【答案】
$\boldsymbol{V + F - E = 2}$
【知识点】
多面体欧拉公式；多面体元素计数
【点评】
本题是经典的规律探究题，通过枚举不同类型的简单多面体，引导学生自主归纳得出欧拉公式，核心考察从具体实例中统计数据、对比运算、提炼共性规律的探究能力，统计棱数时可借助“面边总和除以2”的技巧避免重复或漏数，有效降低计数错误概率。
【难度系数】
0.7
同学们的思考如下：
(1) 完成以上解答.
(2) 某玻璃饰品厂生产的一种玻璃饰品是一个简单多面体,它的外表面由三角形构成,且面数与顶点数的比值为$\dfrac{5}{3}$,那么这种玻璃饰品是几面体?
(3) 如果一个简单多面体的各个面为相同的正多边形,且各个顶点处结构完全相同,这样的多面体称为正多面体又称柏拉图立体,那么柏拉图立体共有
(1) 完成以上解答.
(2) 某玻璃饰品厂生产的一种玻璃饰品是一个简单多面体,它的外表面由三角形构成,且面数与顶点数的比值为$\dfrac{5}{3}$,那么这种玻璃饰品是几面体?
(3) 如果一个简单多面体的各个面为相同的正多边形,且各个顶点处结构完全相同,这样的多面体称为正多面体又称柏拉图立体,那么柏拉图立体共有
5
种.答案
3. (1) 12 6 $V+F-E=2$
(2) 解:已知面数与顶点数的比值为$\frac{5}{3}$,可
得$\frac{F}{V}=\frac{5}{3}$,即$V=\frac{3}{5}F$.因为该多面体的外表面
由三角形构成,每个三角形有3条边,每一条
棱被两个面共用,所以棱数$E=\frac{3}{2}F$.根据$V+$
$F-E=2$,得$\frac{3}{5}F + F - \frac{3}{2}F =2$,解得$F=20$.
答:这种玻璃饰品是二十面体.
(3) 5 提示:正四面体:正四面体的每个面都是
正三角形,且每个顶点处有3个面相交,满足正多面体
的定义;正六面体(正方体):正六面体的每个面都是正
方形,每个顶点处有3个面相交,符合正多面体的条件;
正八面体:正八面体的每个面都是正三角形,每个顶点
处有4个面相交,是正多面体的一种;正十二面体:正十
二面体的每个面都是正五边形,每个顶点处有3个面相
交,满足正多面体的条件;正二十面体:正二十面体的每
个面都是正三角形,每个顶点处有5个面相交,属于正
多面体.综上,柏拉图立体共有5种.
(2) 解:已知面数与顶点数的比值为$\frac{5}{3}$,可
得$\frac{F}{V}=\frac{5}{3}$,即$V=\frac{3}{5}F$.因为该多面体的外表面
由三角形构成,每个三角形有3条边,每一条
棱被两个面共用,所以棱数$E=\frac{3}{2}F$.根据$V+$
$F-E=2$,得$\frac{3}{5}F + F - \frac{3}{2}F =2$,解得$F=20$.
答:这种玻璃饰品是二十面体.
(3) 5 提示:正四面体:正四面体的每个面都是
正三角形,且每个顶点处有3个面相交,满足正多面体
的定义;正六面体(正方体):正六面体的每个面都是正
方形,每个顶点处有3个面相交,符合正多面体的条件;
正八面体:正八面体的每个面都是正三角形,每个顶点
处有4个面相交,是正多面体的一种;正十二面体:正十
二面体的每个面都是正五边形,每个顶点处有3个面相
交,满足正多面体的条件;正二十面体:正二十面体的每
个面都是正三角形,每个顶点处有5个面相交,属于正
多面体.综上,柏拉图立体共有5种.
解析
【分析】
这道题围绕简单多面体的欧拉公式展开，解题思路如下：
1. 第(1)小问：先回忆常见多面体的棱数、面数，通过计数验证后推导得到欧拉公式，对应填写空缺的数值和公式。
2. 第(2)小问：首先根据题目给出的面数与顶点数的比值，将顶点数V用面数F表示；再结合所有面都是三角形的条件，利用“每条棱被2个面共用”的性质，推导出棱数E和面数F的关系；最后将V、E都代入欧拉公式，解方程求出F的值，F的数值就是该多面体的面数，即可得到是几面体。
3. 第(3)小问：直接结合正多面体（柏拉图立体）的分类常识，即可得到总数量。
【解析】
(1) 以正方体为例，顶点数V=8，面数F=6，棱数E=12，代入可得8+6-12=2，因此空缺依次填12、6，得到欧拉公式为$V+F-E=2$。
(2) 已知该多面体面数与顶点数比值为$\frac{5}{3}$，即$\frac{F}{V}=\frac{5}{3}$，变形得$V=\frac{3}{5}F$。
由于所有外表面都是三角形，每个三角形有3条边，且每一条棱被2个面共用，因此棱数$E=\frac{3F}{2}$。
将$V=\frac{3}{5}F$、$E=\frac{3}{2}F$代入欧拉公式$V+F-E=2$，可得：
$\frac{3}{5}F + F - \frac{3}{2}F = 2$
通分计算：$\frac{6F + 10F -15F}{10}=2$，即$\frac{F}{10}=2$，解得$F=20$。
因此该多面体总共有20个面，是二十面体。
(3) 正多面体一共包含正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体共5种，因此填5。
【答案】
(1) 12 6 $V+F-E=2$；(2) 二十面体；(3) 5
【知识点】
简单多面体欧拉公式；正多面体性质
【点评】
本题属于立体几何多面体部分的基础题型，从欧拉公式的推导验证出发，逐步延伸到公式的实际应用，最后考察正多面体的基础常识，层层递进。核心考点是掌握欧拉公式的内容，能根据多面体的面的形状建立棱数与面数的等量关系，代入公式求解，帮助学生快速建立多面体顶点、面、棱三者的关联认知。
【难度系数】
0.6
这道题围绕简单多面体的欧拉公式展开，解题思路如下：
1. 第(1)小问：先回忆常见多面体的棱数、面数，通过计数验证后推导得到欧拉公式，对应填写空缺的数值和公式。
2. 第(2)小问：首先根据题目给出的面数与顶点数的比值，将顶点数V用面数F表示；再结合所有面都是三角形的条件，利用“每条棱被2个面共用”的性质，推导出棱数E和面数F的关系；最后将V、E都代入欧拉公式，解方程求出F的值，F的数值就是该多面体的面数，即可得到是几面体。
3. 第(3)小问：直接结合正多面体（柏拉图立体）的分类常识，即可得到总数量。
【解析】
(1) 以正方体为例，顶点数V=8，面数F=6，棱数E=12，代入可得8+6-12=2，因此空缺依次填12、6，得到欧拉公式为$V+F-E=2$。
(2) 已知该多面体面数与顶点数比值为$\frac{5}{3}$，即$\frac{F}{V}=\frac{5}{3}$，变形得$V=\frac{3}{5}F$。
由于所有外表面都是三角形，每个三角形有3条边，且每一条棱被2个面共用，因此棱数$E=\frac{3F}{2}$。
将$V=\frac{3}{5}F$、$E=\frac{3}{2}F$代入欧拉公式$V+F-E=2$，可得：
$\frac{3}{5}F + F - \frac{3}{2}F = 2$
通分计算：$\frac{6F + 10F -15F}{10}=2$，即$\frac{F}{10}=2$，解得$F=20$。
因此该多面体总共有20个面，是二十面体。
(3) 正多面体一共包含正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体共5种，因此填5。
【答案】
(1) 12 6 $V+F-E=2$；(2) 二十面体；(3) 5
【知识点】
简单多面体欧拉公式；正多面体性质
【点评】
本题属于立体几何多面体部分的基础题型，从欧拉公式的推导验证出发，逐步延伸到公式的实际应用，最后考察正多面体的基础常识，层层递进。核心考点是掌握欧拉公式的内容，能根据多面体的面的形状建立棱数与面数的等量关系，代入公式求解，帮助学生快速建立多面体顶点、面、棱三者的关联认知。
【难度系数】
0.6
