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1. (2025·广东广州)关于 $x$ 的方程 $x^2 - x + k^2 + 2 = 0$ 的根的情况为（
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根
C
）A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根
答案
1.C
2. (2023·甘肃兰州)若关于 $x$ 的一元二次方程$x^2+bx+c=0$ 有两个相等的实数根,则代数式 $b^2-2(1+2c)$ 的值为（
A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$
A
）A.$-2$
B.$2$
C.$-4$
D.$4$
答案
2.A
3. 亮点原创 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}-$$2(\sqrt{5} × \sqrt{50}-\sqrt{15} × \sqrt{6}) x+m=0$有唯一解$x=a$,则下列判断正确的是（
A.$m=80$
B.$m=160$
C.$5＜a＜6$
D.$6＜a＜7$
D
）A.$m=80$
B.$m=160$
C.$5＜a＜6$
D.$6＜a＜7$
答案
3.D 解析: 因为 $2(\sqrt{5} × \sqrt{50} - \sqrt{15} × \sqrt{6}) = 2(5\sqrt{10}-3\sqrt{10})=4\sqrt{10}$,所以原方程可化为 $x^2-4\sqrt{10}x+m=0$.因为该方程有唯一解 $x=a$,所以 $(-4\sqrt{10})^2-4×1× m=0$,解得 $m=40$,故选项 A,B 错误;解方程 $x^2-4\sqrt{10}x+40=0$,得 $x_1=x_2=2\sqrt{10}$,即 $a=2\sqrt{10}$. 因为 $36＜40＜49$,所以 $\sqrt{36}＜\sqrt{40}＜\sqrt{49}$,即 $6＜2\sqrt{10}＜7$,所以 $6＜a＜7$,故选项 C 错误,选项 D 正确.
4. (教材习题变式) 若关于 $x$ 的一元二次方程
$kx^{2}-2x-1=0$ 有两个相等的实数根, 则 $k$
的值为
$kx^{2}-2x-1=0$ 有两个相等的实数根, 则 $k$
的值为
-1
.答案
4.-1
5. (2026·江苏徐州期中)已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(k-1)x^2-2x+1=0$ 有两个不相等的实数根,则 $k$ 的取值范围是
$k＜2$ 且 $k ≠ 1$
.答案
5.$k＜2$ 且 $k ≠ 1$
6. 若等腰三角形的一边长是4,另两边的长是关于$x$的方程$x^{2}-6x+n=0$的两个根,则$n$的值为
8或9
.答案
6.8或9 解析:分类讨论如下:① 当4是该等腰三角形的腰长时,把 $x=4$ 代入方程 $x^2-6x+n=0$,得 $4^2-6×4+n=0$,解得 $n=8$. 解方程 $x^2-6x+8=0$,得 $x_1=2,x_2=4$. 因为 $2+4＞4$,所以 $n=8$ 符合题意;
② 当4是该等腰三角形的底边长时,方程 $x^2-6x+n=0$ 有两个相等的实数根,所以 $b^2-4ac=(-6)^2-4×1× n=0$,解得 $n=9$. 解方程 $x^2-6x+9=0$,得 $x_1=x_2=3$. 因为 $3+3＞4$,所以 $n=9$ 符合题意. 综上所述,$n$ 的值为8或9.
② 当4是该等腰三角形的底边长时,方程 $x^2-6x+n=0$ 有两个相等的实数根,所以 $b^2-4ac=(-6)^2-4×1× n=0$,解得 $n=9$. 解方程 $x^2-6x+9=0$,得 $x_1=x_2=3$. 因为 $3+3＞4$,所以 $n=9$ 符合题意. 综上所述,$n$ 的值为8或9.
7. 新素养 运算能力 不解方程，判别下列方程根的情况：
(1) $2x^{2}-3x=-1$;
(2) $9x^{2}+6\sqrt{2}x+2=0$;
(3) $3x^{2}+3=-4x$.
(1) $2x^{2}-3x=-1$;
(2) $9x^{2}+6\sqrt{2}x+2=0$;
(3) $3x^{2}+3=-4x$.
答案
7.(1) 方程变形,得 $2x^2-3x+1=0$. 因为 $a=2,b=-3,c=1$,所以 $b^2-4ac=(-3)^2-4×2×1=1＞0$,所以原方程有两个不相等的实数根.
(2) 因为 $a=9,b=6\sqrt{2},c=2$,所以 $b^2-4ac=(6\sqrt{2})^2-4×9×2=0$,所以原方程有两个相等的实数根.
(3) 方程变形,得 $3x^2+4x+3=0$. 因为 $a=3,b=4,c=3$,所以 $b^2-4ac=4^2-4×3×3=-20＜0$,所以原方程无实数根.
(2) 因为 $a=9,b=6\sqrt{2},c=2$,所以 $b^2-4ac=(6\sqrt{2})^2-4×9×2=0$,所以原方程有两个相等的实数根.
(3) 方程变形,得 $3x^2+4x+3=0$. 因为 $a=3,b=4,c=3$,所以 $b^2-4ac=4^2-4×3×3=-20＜0$,所以原方程无实数根.
8. (2024·广东广州)已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-$ $2x+4-m=0$ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $m$ 的取值范围；
(2) 化简: $\dfrac{1-m^{2}}{|m-3|}÷\dfrac{m-1}{2}·\dfrac{m-3}{m+1}.$
(1) 求 $m$ 的取值范围；
(2) 化简: $\dfrac{1-m^{2}}{|m-3|}÷\dfrac{m-1}{2}·\dfrac{m-3}{m+1}.$
答案
8.(1) 因为关于 $x$ 的方程 $x^2-2x+4-m=0$ 有两个不相等的实数根,所以 $b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(4-m)＞0$,解得 $m＞3$. 故 $m$ 的取值范围为 $m＞3$.
(2) 因为 $m＞3$,所以 $m-3＞0$,所以原式 $=\dfrac{(1+m)(1-m)}{m-3}·\dfrac{2}{m-1}·\dfrac{m-3}{m+1}=-2$.
(2) 因为 $m＞3$,所以 $m-3＞0$,所以原式 $=\dfrac{(1+m)(1-m)}{m-3}·\dfrac{2}{m-1}·\dfrac{m-3}{m+1}=-2$.
9. 若1是关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=$$0(a ≠ 0)$的根，$m=b^{2}-4ac$，$n=(2a+b)^{2}$，则$m$与$n$之间的大小关系是（
A.$m=n$
B.$m＞n$
C.$m＜n$
D.无法确定
A
）A.$m=n$
B.$m＞n$
C.$m＜n$
D.无法确定
答案
9.A 解析: 因为 1 是关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 的根,所以 $a+b+c=0$,所以 $c=-a-b$,所以 $b^2-4ac=b^2-4a(-a-b)=b^2+4a^2+4ab=(2a+b)^2$. 因为 $m=b^2-4ac,n=(2a+b)^2$,所以 $m=n$.
