10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+bx+c=0$ 的两个根中较小的一个根是 $m\ (m≠0)$，则代数式 $b+\sqrt{b^2-4c}$ 的值为（）

A.$m$
B.$-m$
C.$2m$
D.$-2m$

10. D 解析:因为关于x的一元二次方程$x^2+bx+c=0$的两个根中较小的一个根是$m(m≠0)$,所以$m=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4c}}{2}$,所以$-b-\sqrt{b^2-4c}=2m$,所以$b+\sqrt{b^2-4c}=-2m$.

11. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(k+2)x^2+6x+$$k^2+k-2=0$ 有一个根是 0,则 $k$ 的值是（）

A.1
B.1 或 $-2$
C.$-2$
D.$-1$

11. A 解析:把$x=0$代入方程$(k+2)x^2+6x+k^2+k-2=0$,得$k^2+k-2=0$,解得$k_1=1,k_2=-2$.又$k+2≠0$,所以$k≠-2$,所以$k$的值是1.

12. (2026·江苏连云港期中)已知 $y_1=\dfrac{1}{3}x^2+8x-1,y_2=6x+2$，则当 $y_1=y_2$ 时，$x$ 的值为。

12. $-3\pm3\sqrt{2}$ 解析:因为$y_1=\dfrac{1}{3}x^2+8x-1,y_2=6x+2$,所以当$y_1=y_2$时,$\dfrac{1}{3}x^2+8x-1=6x+2$,所以$\dfrac{1}{3}x^2+2x-3=0$,即$x^2+6x-9=0$,解得$x=-3\pm3\sqrt{2}$.

13. 若三角形的两边长分别是3和5，第三边的长是方程$3x^{2}-10x-8=0$的根，则该三角形是三角形.

13. 直角 解析:解方程$3x^2-10x-8=0$,得$x_1=4$,$x_2=-\dfrac{2}{3}$.因为该三角形第三边的长是所给方程的根,所以该三角形的三边长分别是3,4,5.因为$3^2+4^2=5^2$,所以该三角形是直角三角形.

14. 已知实数$x$满足$(x^{2}+3x)^{2}+(x^{2}+3x)-6=0$,则代数式$x^{2}+3x$的值为.

14. 2 解析:设$y=x^2+3x$,则原方程可化为$y^2+y-6=0$,解得$y_1=-3,y_2=2$.分类讨论如下:① 当$y=-3$时,$x^2+3x=-3$,即$(x+\dfrac{3}{2})^2=-\dfrac{3}{4}$,此方程无解,所以$y=-3$不合题意,舍去;② 当$y=2$时,$x^2+3x=2$,此方程有解,符合题意.综上所述,代数式$x^2+3x$的值为2.

15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-1)x^{2}-$ $2mx+m+1=0$. 若 $m$ 为整数,则当 $m$ 取何值时,该方程的两个根都为正整数?

15. 由题意,得$m-1≠0$,即$m≠1$.因为$a=m-1,b=-2m,c=m+1$,所以$b^2-4ac=(-2m)^2-4(m-1)(m+1)=4$,所以$x=\dfrac{2m\pm\sqrt{4}}{2(m-1)}$,所以$x_1=\dfrac{2m+2}{2(m-1)}=1+\dfrac{2}{m-1}$,$x_2=1$.因为该方程的两个根都为正整数且$m$为整数,所以$m-1=1$或2,解得$m=2$或3.故当$m$的值为2或3时,该方程的两个根都为正整数.

16. 若 $a$ 是一元二次方程 $x^{2}-x-1=0$ 较大的根,则下面对 $a$ 的大小估计正确的是（）

A.$0 ＜ a ＜ 1$
B.$1 ＜ a ＜ 1.5$
C.$1.5 ＜ a ＜ 2$
D.$2 ＜ a ＜ 3$

16. C 解析:解方程$x^2-x-1=0$,得$x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$,$x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.因为$a$是该方程较大的根,所以$a=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.因为$4＜5＜9$,所以$2＜\sqrt{5}＜3$,所以$1.5＜\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}＜2$,即$1.5＜a＜2$.

17. (2025·江苏宿迁二模)已知一元二次方程
$x^{2}-11x+30=0$的两个根恰好分别是等腰
三角形$ABC$的底边长和腰长,则$△ ABC$的
面积为.

17. 12或$\dfrac{5\sqrt{119}}{4}$ 解析:解方程$x^2-11x+30=0$,得$x_1=6,x_2=5$.因为该方程的两个根恰好分别是等腰三角形$ABC$的底边长和腰长,所以等腰三角形$ABC$的三边长分别为5,5,6或6,6,5.分类讨论如下:① 当等腰三角形$ABC$的三边长分别为5,5,6时,由勾股定理,得底边上的高为$\sqrt{5^2-(\dfrac{6}{2})^2}=4$,所以$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×6×4=12$;② 当等腰三角形$ABC$的三边长分别为6,6,5时,由勾股定理,得底边上的高为$\sqrt{6^2-(\dfrac{5}{2})^2}=\dfrac{\sqrt{119}}{2}$,所以$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}×5×\dfrac{\sqrt{119}}{2}=\dfrac{5\sqrt{119}}{4}$.综上所述,$△ ABC$的面积为12或$\dfrac{5\sqrt{119}}{4}$.

18. 新趋势 推导探究 【阅读材料】关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 的解是 $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$；关于 $y$ 的方程 $y^2+by+ac=0$ 的解是 $y=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2}$。因此，要求方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$ 的解，只要求出方程$y^2+by+ac=0$ 的解，再除以 $a$ 就可以了。
举例:解方程 $72x^2+8x+\dfrac{1}{6}=0$。
解:先解方程 $y^2+8y+72×\dfrac{1}{6}=0$, 即 $y^2+8y+12=0$, 得 $y_1=-2,y_2=-6$, 所以方程$72x^2+8x+\dfrac{1}{6}=0$ 的解是 $x_1=\dfrac{-2}{72},x_2=\dfrac{-6}{72}$, 即 $x_1=-\dfrac{1}{36},x_2=-\dfrac{1}{12}$。
【解决问题】请按上述材料中所提供的方法解方程 $49x^2+6x-\dfrac{1}{7}=0$。

18. 先解方程$y^2+6y-49×\dfrac{1}{7}=0$,即$y^2+6y-7=0$,得$y_1=1,y_2=-7$,所以方程$49x^2+6x-\dfrac{1}{7}=0$的解是$x_1=\dfrac{1}{49},x_2=\dfrac{-7}{49}$,即$x_1=\dfrac{1}{49},x_2=-\dfrac{1}{7}$.