7. 亮点原创 在平面直角坐标系中,直线 $y=$$2x+3b$($b$ 为常数) 与双曲线 $y=\dfrac{2}{x}$ 交于点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$. 若 $x_1-x_2=6$, 则$x_1x_2$ 的值为（）

A.$-2$
B.$1$
C.$-1$
D.$2$

7. C 解析:由题意,得 $\begin{cases} 2x_1+3b=y_1,\\2x_2+3b=y_2,\end{cases}$$\begin{cases} y_1=\dfrac{2}{x_1},\\y_2=\dfrac{2}{x_2},\end{cases}$ 所以
$y_1-y_2=\dfrac{2}{x_1}-\dfrac{2}{x_2}=2(x_1-x_2)$. 因为 $x_1-x_2=6$,所以
$\dfrac{2}{x_1}-\dfrac{2}{x_2}=12$,即$\dfrac{2(x_2-x_1)}{x_1x_2}=12$,所以 $x_1x_2=-1$.

8. 如图，$P_1,P_2$ 两点在反比例函数 $y=\dfrac{6}{x}$($x＞0$)的图象上，过点 $P_1$ 作 $y$ 轴的平行线，过点 $P_2$ 作 $x$ 轴的平行线，两直线相交于点$Q$。若点 $Q$ 恰好在反比例函数 $y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$ 的图象上，则 $P_1Q · P_2Q$ 的值为 （）

A.3
B.4
C.6
D.8

8. D 解析:由题意,设点 $P_1$ 的坐标为 $(a,\dfrac{6}{a})$,点 $P_2$ 的
坐标为 $(b,\dfrac{6}{b})$. 又 $P_1Q// y$ 轴, $P_2Q// x$ 轴,点 $Q$ 在反
比例函数 $y=\dfrac{2}{x}$ 的图象上, 所以点 $Q$ 的坐标为
$(a,\dfrac{6}{b})$,即 $a·\dfrac{6}{b}=2$,所以 $b=3a$. 又 $P_1Q=\dfrac{6}{a}-\dfrac{6}{b}$,
$P_2Q=b-a$, 所以 $P_1Q· P_2Q=(\dfrac{6}{a}-\dfrac{6}{b})·(b-a)=(\dfrac{6}{a}-\dfrac{2}{a})· 2a=8$.

9. 已知 $P_{1}(2,y_{1}),P_{2}(x_{2},3)$ 是反比例函数 $y=\dfrac{3-m^{2}}{x}$ 图象上的两点. 若点 $P_{1}$ 与点 $P_{2}$ 关于原点对称,则 $m$ 的值为.

9. ±3 解析:由题意,得点 $P_1$ 的坐标为(2,-3). 又点
$P_1$ 在反比例函数 $y=\dfrac{3-m^2}{x}$ 的图象上,所以 $3-m^2=$
$2×(-3)$,解得 $m=\pm3$.

10. 新素养 推理能力 如图，$□ ABCO$ 的顶点 $O$ 在平面直角坐标系的原点上，边 $OC$ 在 $y$ 轴上，对角线 $OB$ 在 $x$ 轴上，顶点 $A$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}\ (x＜0)$ 的图象上. 若 $AO=10$，$OC=6$，则 $k$ 的值为.

10. -48 解析:因为四边形 ABCO 是平行四边形,所以
$AB=OC=6,AB// OC$. 因为 $OC$ 在 $y$ 轴上, $OB$ 在 $x$ 轴上,所以 $AB⊥ OB$. 因为 $AO=10$, 所以 $OB=$
$\sqrt{AO^2-AB^2}=8$,即点 $A$ 的坐标为 $(-8,6)$. 又点 $A$
在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＜0)$ 的图象上, 所以 $k=$
$(-8)×6=-48$.

11. (2025·江西) 如图,一次函数 $y=\dfrac{2}{3}x+m$ 的图象与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象交于点$A(6,2).$
(1) 求一次函数和反比例函数的表达式;
(2) 将一次函数的图象向上平移,在$x$轴上方与反比例函数的图象交于点$C$,连接$OA,OC$.当$∠ 1=∠ 2$时,求点$C$的坐标及一次函数的图象平移的距离.

11. (1) 把点 $A(6,2)$ 代入 $y=\dfrac{2}{3}x+m$,得 $2=\dfrac{2}{3}×6+$
$m$,解得 $m=-2$;把点 $A(6,2)$ 代入 $y=\dfrac{k}{x}$,得 $2=$
$\dfrac{k}{6}$,解得 $k=12$. 故一次函数和反比例函数的表达式
分别为 $y=\dfrac{2}{3}x-2$,$y=\dfrac{12}{x}$.
(2) 设反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 图象上的任意一点为 $(s,t)$. 因为 $st=ts=k$,所以点 $(t,s)$ 与点 $(s,t)$ 都在反比
例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上. 因为点 $(s,t)$ 与点 $(t,s)$ 的中
点坐标为 $(\dfrac{s+t}{2},\dfrac{t+s}{2})$,所以点 $(s,t)$ 与点 $(t,s)$ 关于
直线 $y=x$ 对称,即反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象关于直
线 $y=x$ 对称. 因为 $∠1=∠2$,所以易得点 $A$ 与点 $C$
关于直线 $y=x$ 对称. 又 $A(6,2)$,所以 $C(2,6)$. 设一
次函数的图象平移后所得图象的函数表达式为 $y=$
$\dfrac{2}{3}x+n$. 把点 $C(2,6)$ 代入 $y=\dfrac{2}{3}x+n$,得 $6=\dfrac{2}{3}×$
$2+n$,解得 $n=\dfrac{14}{3}$. 因为 $\dfrac{14}{3}-(-2)=\dfrac{20}{3}$,所以一次函
数的图象平移的距离为 $\dfrac{20}{3}$.

12. (2026·江苏苏州期末)如图,在平面直角坐标系中,O 是原点,直线 $y=-2x+4$ 与$x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $A,B$ 两点, 以 $AB$ 为边在第一象限作正方形 $ABCD$,点 $D$ 恰好在双曲线 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 上. 若将正方形沿 $x$ 轴负方向平移$a$ 个单位长度后,点 $C$ 恰好落在该双曲线上,则 $a$ 的值为 （）

A.1
B.2
C.3
D.4

12. B 解析:对于 $y=-2x+4$,令 $x=0$,得 $y=4$;令
$y=0$,得 $-2x+4=0$,解得 $x=2$,所以点 $A$ 的坐标
为 $(2,0)$,点 $B$ 的坐标为 $(0,4)$,所以 $OA=2$,$OB=$
4. 过 $C,D$ 两点分别作 $CE⊥ y$ 轴, $DF⊥ x$ 轴, 垂足分
别为 $E,F$,则 $∠ BEC=∠ AFD=90°$. 又四边形
$ABCD$ 是正方形, 所以 $AB=BC=DA$,$∠ BAD=$
$∠ ABC=90°$. 又 $∠ ABO+∠ ABC+∠ CBE=180°$,
所以 $∠ ABO+∠ CBE=180°-∠ ABC=90°$. 又
$∠ ABO+∠ BAO=90°$, 所以 $∠ CBE=∠ BAO$. 又
$∠ BEC=∠ AOB=90°$, 所以 $△ BEC≌△ AOB$, 所以
$EB=OA=2$,$EC=OB=4$, 所以 $OE=OB+EB=6$,
所以点 $C$ 的坐标为 $(4,6)$. 同理,得点 $D$ 的坐标为
$(6,2)$. 又点 $D$ 在双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 上, 所以 $k=6×2=$
12,即双曲线的函数表达式为 $y=\dfrac{12}{x}(x＞0)$. 又点 $C$
沿 $x$ 轴负方向平移 $a$ 个单位长度后, 点 $C$ 落在该双曲
线上,所以 $(4-a)×6=12$,解得 $a=2$.

13. 如图,在平面直角坐标系中,线段 AB 的端点 A 的坐标为$(\dfrac{5}{2},1)$,端点 B 的坐标为$(4,$$1)$,$C$ 是线段 $AB$ 上的点,将点 $B$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90°$ 得到点 $D$. 若反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$$(x＞0)$ 的图象过点 $D$,则 $k$ 的取值范围为.

13. $4≤ k≤\dfrac{25}{4}$ 解析: 因为点 $A$ 的坐标为 $(\dfrac{5}{2},1)$,点 $B$ 的坐标为 $(4,1)$, 所以 $AB// x$ 轴. 又点 $C$ 在线段 $AB$ 上, 所以可设点 $C$ 的坐标为 $(m,1)$, 所以 $BC=4-m$, 所以点 $D$ 的坐标为 $(m,5-m)$. 又点 $D$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上, 所以 $k=m(5-m)=-(m-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{25}{4}$. 因为 $\dfrac{5}{2}≤ m≤4$, 所以 $0≤ m-\dfrac{5}{2}≤\dfrac{3}{2}$, 所以 $0≤(m-\dfrac{5}{2})^2≤\dfrac{9}{4}$, 所以 $4≤-(m-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{25}{4}≤\dfrac{25}{4}$, 即 $4≤ k≤\dfrac{25}{4}$. 故 $k$ 的取值范围为 $4≤ k≤\dfrac{25}{4}$.