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9. 在平面直角坐标系中,以点 $P(3,4)$ 为圆心画 $\odot P$. 若该圆上有且仅有两个点到 $x$ 轴的距离等于2,则$\odot P$ 的半径 $r$ 的取值范围是
2＜r＜6
.答案
如图,到$x$轴的距离等于2的点在直线$y=2$或直线$y=-2$上.当$\odot P$与直线$y=2$相切时,设切点为$A$,则$r=AP=4-2=2$,此时$\odot P$上只有一个点到$x$轴的距离等于2.当$\odot P$与直线$y=-2$相切时,设切点为$B$,则$r=PB=4-(-2)=6$,此时$\odot P$上有三个点到$x$轴的距离等于2.由此可知,当$\odot P$上有且仅有两个点到$x$轴的距离等于2时,直线$y=-2$与$\odot P$相离,直线$y=2$与$\odot P$相交.$\therefore \odot P$的半径$r$的取值范围是$2＜r＜6$.
解析
【分析】
解题时我们可以按以下思路逐步推导：第一步，先把“到x轴的距离等于2的点”转化为几何图形，这类点全部落在平行于x轴的两条直线y=2和y=-2上，因此题目要求“圆P上有且仅有两个点到x轴距离等于2”，等价于这两条直线和圆P的总交点数恰好为2。第二步，先计算圆心P(3,4)分别到两条直线y=2、y=-2的距离，分别是d₁=|4-2|=2，d₂=|4 - (-2)|=6。第三步，结合直线和圆的位置关系的判定规则（半径大于圆心到直线距离则相交，等于则相切，小于则相离），逐一分析不同r取值下两条直线和圆的交点总数：要让总交点为2，必须让离圆心近的直线y=2和圆相交（贡献2个交点），离圆心远的直线y=-2和圆相离（贡献0个交点），就能得到r的取值范围。
【解析】
解：首先，到x轴的距离等于2的点的集合是两条平行于x轴的直线：$y=2$和$y=-2$。
已知圆心为$P(3,4)$，计算点P到两条直线的距离：
1. 到直线$y=2$的距离$d_1 = |4 - 2| = 2$
2. 到直线$y=-2$的距离$d_2 = |4 - (-2)| = 6$
接下来结合直线与圆的位置关系判定规则分析：
当$r=2$时，圆P与直线$y=2$相切，仅有1个公共点，与直线$y=-2$相离无公共点，此时圆上仅有1个点到x轴距离为2，不符合要求；
当$r=6$时，圆P与直线$y=-2$相切，有1个公共点，同时$r=6＞d_1=2$，直线$y=2$与圆相交有2个公共点，总共有3个点满足到x轴距离为2，不符合要求；
当$2＜r＜6$时，直线$y=2$与圆P相交，有2个公共点，直线$y=-2$与圆P相离，无公共点，总公共点数量为2，恰好满足圆上有且仅有两个点到x轴的距离等于2的条件。
【答案】$2＜r＜6$
【知识点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离；动点轨迹
【点评】本题核心是将“到x轴距离为2的点”转化为两条直线，避免直接对点的位置盲目讨论，易错点是容易忽略y=-2这条直线，误得到r＞2的错误结果，解题时需要结合两条直线和圆的不同位置组合，统计总交点数来反向推导半径的范围，对位置关系的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】0.5
解题时我们可以按以下思路逐步推导：第一步，先把“到x轴的距离等于2的点”转化为几何图形，这类点全部落在平行于x轴的两条直线y=2和y=-2上，因此题目要求“圆P上有且仅有两个点到x轴距离等于2”，等价于这两条直线和圆P的总交点数恰好为2。第二步，先计算圆心P(3,4)分别到两条直线y=2、y=-2的距离，分别是d₁=|4-2|=2，d₂=|4 - (-2)|=6。第三步，结合直线和圆的位置关系的判定规则（半径大于圆心到直线距离则相交，等于则相切，小于则相离），逐一分析不同r取值下两条直线和圆的交点总数：要让总交点为2，必须让离圆心近的直线y=2和圆相交（贡献2个交点），离圆心远的直线y=-2和圆相离（贡献0个交点），就能得到r的取值范围。
【解析】
解：首先，到x轴的距离等于2的点的集合是两条平行于x轴的直线：$y=2$和$y=-2$。
已知圆心为$P(3,4)$，计算点P到两条直线的距离：
1. 到直线$y=2$的距离$d_1 = |4 - 2| = 2$
2. 到直线$y=-2$的距离$d_2 = |4 - (-2)| = 6$
接下来结合直线与圆的位置关系判定规则分析：
当$r=2$时，圆P与直线$y=2$相切，仅有1个公共点，与直线$y=-2$相离无公共点，此时圆上仅有1个点到x轴距离为2，不符合要求；
当$r=6$时，圆P与直线$y=-2$相切，有1个公共点，同时$r=6＞d_1=2$，直线$y=2$与圆相交有2个公共点，总共有3个点满足到x轴距离为2，不符合要求；
当$2＜r＜6$时，直线$y=2$与圆P相交，有2个公共点，直线$y=-2$与圆P相离，无公共点，总公共点数量为2，恰好满足圆上有且仅有两个点到x轴的距离等于2的条件。
【答案】$2＜r＜6$
【知识点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离；动点轨迹
【点评】本题核心是将“到x轴距离为2的点”转化为两条直线，避免直接对点的位置盲目讨论，易错点是容易忽略y=-2这条直线，误得到r＞2的错误结果，解题时需要结合两条直线和圆的不同位置组合，统计总交点数来反向推导半径的范围，对位置关系的综合应用能力有一定要求。
【难度系数】0.5
10. 如图,直线 $AB,CD$ 相交于点 $O,∠ AOC=30°$,半径为 1 cm 的$\odot P$ 的圆心在直线 $AB$ 上,开始时,$PO=6\ \mathrm{cm}.$ 如果$\odot P$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度向右运动,那么当$\odot P$ 的运动时间 $t(\mathrm{s})$ 满足
4＜t＜8
时,$\odot P$ 与直线 $CD$ 相交.答案
如图①,当点$P$在射线$OA$上,且$\odot P$与$CD$相切时,过点$P$作$PE⊥ CD$于点$E$,$\therefore PE=1\ \mathrm{cm}$.
$\because ∠ AOC=30°$,$\therefore$ 易得$OP=2PE=2\ \mathrm{cm}$.$\therefore \odot P$的圆心在直线$AB$上向右运动了$6-2=4(\mathrm{cm})$后与$CD$相切.
$\therefore \odot P$运动所用的时间$=\frac{4}{1}=4(\mathrm{s})$.如图②,当点$P$在射线$OB$上,且$\odot P$与$CD$相切时,过点$P$作$PF⊥ CD$于点$F$,$\therefore PF=1\ \mathrm{cm}$.$\because ∠ AOC=∠ DOB=30°$,$\therefore$ 易得$OP=2PF=2\ \mathrm{cm}$.$\therefore \odot P$的圆心在直线$AB$上向右运动了$6+2=8(\mathrm{cm})$后与$CD$相切.$\therefore \odot P$运动所用的时间$=\frac{8}{1}=8(\mathrm{s})$.综上所述,当$\odot P$的运动时间$t(\mathrm{s})$满足$4＜t＜8$时,$\odot P$与直线$CD$相交.
$\because ∠ AOC=30°$,$\therefore$ 易得$OP=2PE=2\ \mathrm{cm}$.$\therefore \odot P$的圆心在直线$AB$上向右运动了$6-2=4(\mathrm{cm})$后与$CD$相切.
$\therefore \odot P$运动所用的时间$=\frac{4}{1}=4(\mathrm{s})$.如图②,当点$P$在射线$OB$上,且$\odot P$与$CD$相切时,过点$P$作$PF⊥ CD$于点$F$,$\therefore PF=1\ \mathrm{cm}$.$\because ∠ AOC=∠ DOB=30°$,$\therefore$ 易得$OP=2PF=2\ \mathrm{cm}$.$\therefore \odot P$的圆心在直线$AB$上向右运动了$6+2=8(\mathrm{cm})$后与$CD$相切.$\therefore \odot P$运动所用的时间$=\frac{8}{1}=8(\mathrm{s})$.综上所述,当$\odot P$的运动时间$t(\mathrm{s})$满足$4＜t＜8$时,$\odot P$与直线$CD$相交.
解析
【分析】
要解决动态圆和直线CD相交的时间范围问题，核心思路是先找到圆与CD相切的两个临界时刻：首先回忆直线和圆的位置关系判定规则，圆和直线相交的充要条件是圆心到直线的距离小于圆的半径，相切是相交和相离的分界点。已知圆半径r=1cm，当圆和CD相切时，圆心P到CD的距离恰好等于半径1cm，结合已知的∠AOC=30°，利用含30°角的直角三角形的性质，可算出此时圆心P到点O的距离为2cm。接下来分两种相切情况计算对应运动时间：第一种是P还在OA段向右运动、刚接触CD时的相切，算出对应时间t=4s；第二种是P越过O点到OB段、即将离开CD时的相切，算出对应时间t=8s。两个相切时刻之间，圆心到CD的距离都小于半径，也就是圆和CD相交，即可得到t的取值范围。
【解析】
解：先确定圆与直线CD相切的两类临界情况：
1. 第一次相切（点P在射线OA上）：
过点P作PE⊥CD于点E，由切线性质可知，相切时圆心到切线的距离等于半径，即PE=1cm。
已知∠AOC=30°，在Rt△POE中，30°角所对的直角边是斜边的一半，因此OP=2PE=2×1=2cm。
初始状态下PO=6cm，说明圆心向右移动的距离为6-2=4cm，已知运动速度为1cm/s，对应运动时间$t_1=\frac{4}{1}=4\ \mathrm{s}$。
2. 第二次相切（点P在射线OB上）：
过点P作PF⊥CD于点F，同理相切时PF=1cm，由对顶角相等得∠BOD=∠AOC=30°，在Rt△POF中，OP=2PF=2cm。
此时圆心从初始位置向右移动的总距离为6+2=8cm，对应运动时间$t_2=\frac{8}{1}=8\ \mathrm{s}$。
当运动时间在两个临界值之间时，圆心P到直线CD的距离始终小于半径1cm，此时⊙P与直线CD相交。
【答案】$4＜t＜8$
【知识点】直线与圆的位置关系，含30°角直角三角形性质
【点评】本题是动点结合直线与圆位置关系的典型题型，解题核心是抓住“相交的分界为相切”的逻辑，通过分类讨论两个相切临界时刻确定时间区间，易错点是仅计算单侧相切的时间，漏掉另一侧临界值导致范围出错。
【难度系数】0.6
要解决动态圆和直线CD相交的时间范围问题，核心思路是先找到圆与CD相切的两个临界时刻：首先回忆直线和圆的位置关系判定规则，圆和直线相交的充要条件是圆心到直线的距离小于圆的半径，相切是相交和相离的分界点。已知圆半径r=1cm，当圆和CD相切时，圆心P到CD的距离恰好等于半径1cm，结合已知的∠AOC=30°，利用含30°角的直角三角形的性质，可算出此时圆心P到点O的距离为2cm。接下来分两种相切情况计算对应运动时间：第一种是P还在OA段向右运动、刚接触CD时的相切，算出对应时间t=4s；第二种是P越过O点到OB段、即将离开CD时的相切，算出对应时间t=8s。两个相切时刻之间，圆心到CD的距离都小于半径，也就是圆和CD相交，即可得到t的取值范围。
【解析】
解：先确定圆与直线CD相切的两类临界情况：
1. 第一次相切（点P在射线OA上）：
过点P作PE⊥CD于点E，由切线性质可知，相切时圆心到切线的距离等于半径，即PE=1cm。
已知∠AOC=30°，在Rt△POE中，30°角所对的直角边是斜边的一半，因此OP=2PE=2×1=2cm。
初始状态下PO=6cm，说明圆心向右移动的距离为6-2=4cm，已知运动速度为1cm/s，对应运动时间$t_1=\frac{4}{1}=4\ \mathrm{s}$。
2. 第二次相切（点P在射线OB上）：
过点P作PF⊥CD于点F，同理相切时PF=1cm，由对顶角相等得∠BOD=∠AOC=30°，在Rt△POF中，OP=2PF=2cm。
此时圆心从初始位置向右移动的总距离为6+2=8cm，对应运动时间$t_2=\frac{8}{1}=8\ \mathrm{s}$。
当运动时间在两个临界值之间时，圆心P到直线CD的距离始终小于半径1cm，此时⊙P与直线CD相交。
【答案】$4＜t＜8$
【知识点】直线与圆的位置关系，含30°角直角三角形性质
【点评】本题是动点结合直线与圆位置关系的典型题型，解题核心是抓住“相交的分界为相切”的逻辑，通过分类讨论两个相切临界时刻确定时间区间，易错点是仅计算单侧相切的时间，漏掉另一侧临界值导致范围出错。
【难度系数】0.6
11. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=4,BC=3$,以点$C$为圆心、$r$为半径画圆.
(1) 当$AB$与$\odot C$相切时,求$r$的值.
(2) 当$AB$与$\odot C$只有1个交点时,求$r$满足的条件.
(3) 随着$r$的变化,$AB$与$\odot C$的交点个数有哪些变化? 写出相应的$r$的值或取值范围.
(1) 当$AB$与$\odot C$相切时,求$r$的值.
(2) 当$AB$与$\odot C$只有1个交点时,求$r$满足的条件.
(3) 随着$r$的变化,$AB$与$\odot C$的交点个数有哪些变化? 写出相应的$r$的值或取值范围.
答案
(1) 如图①,过点$C$作$CD⊥ AB$于点$D$.$\because ∠ ACB=90°$,$AC=4$,$BC=3$,$\therefore AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$.$\because S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$,$\therefore CD=\frac{AC· BC}{AB}=\frac{4×3}{5}=2.4$.又$\because AB$与$\odot C$相切,$\therefore r=CD=2.4$.
(2) ① 由(1)知,当$AB$与$\odot C$相切时,只有1个交点,此时$r=2.4$.
② 如图②,当$AB$与$\odot C$相交且只有1个交点时,易得$3＜r\le4$.综上所述,$r=2.4$或$3＜r\le4$.
(3) ① 如图③,当$0＜r＜2.4$时,$AB$与$\odot C$有0个交点. ② 如图①,当$r=2.4$时,$AB$与$\odot C$有1个交点. ③ 如图④,当$2.4＜r\le3$时,$AB$与$\odot C$有2个交点. ④ 如图②,当$3＜r\le4$时,$AB$与$\odot C$有1个交点. ⑤ 如图⑤,当$r＞4$时,$AB$与$\odot C$有0个交点.综上所述,当$0＜r＜2.4$或$r＞4$时,$AB$与$\odot C$有0个交点;当$r=2.4$或$3＜r\le4$时,$AB$与$\odot C$有1个交点;当$2.4＜r\le3$时,$AB$与$\odot C$有2个交点.
(2) ① 由(1)知,当$AB$与$\odot C$相切时,只有1个交点,此时$r=2.4$.
② 如图②,当$AB$与$\odot C$相交且只有1个交点时,易得$3＜r\le4$.综上所述,$r=2.4$或$3＜r\le4$.
(3) ① 如图③,当$0＜r＜2.4$时,$AB$与$\odot C$有0个交点. ② 如图①,当$r=2.4$时,$AB$与$\odot C$有1个交点. ③ 如图④,当$2.4＜r\le3$时,$AB$与$\odot C$有2个交点. ④ 如图②,当$3＜r\le4$时,$AB$与$\odot C$有1个交点. ⑤ 如图⑤,当$r＞4$时,$AB$与$\odot C$有0个交点.综上所述,当$0＜r＜2.4$或$r＞4$时,$AB$与$\odot C$有0个交点;当$r=2.4$或$3＜r\le4$时,$AB$与$\odot C$有1个交点;当$2.4＜r\le3$时,$AB$与$\odot C$有2个交点.
解析
【分析】
这道题核心是判断线段AB和以C为圆心的圆的交点个数随半径r的变化规律，解题思路如下：
1. 第一问求相切时的r：直线和圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径，我们先通过勾股定理算出Rt△ABC的斜边AB长度，再用三角形面积的两种表达形式，求出点C到AB的垂线段长度，这个长度就是相切时的r值。
2. 第二问要求AB和圆只有1个交点：注意AB是线段不是直线，分两类讨论：第一类是直线AB和圆相切，此时刚好只有1个公共点；第二类是直线AB和圆相交，但线段AB一个端点在圆内、另一个端点在圆外/圆上，此时线段AB和圆也只有1个交点，结合AC=4、BC=3的长度，就能得到这部分r的范围。
3. 第三问按r从小到大的顺序，结合点C到AB的距离、BC长度、AC长度这三个临界值，依次划分区间，逐个判断每个区间内线段AB和圆的交点数量即可。
【解析】
(1) 过点C作CD⊥AB于点D，CD即为圆心C到直线AB的距离。
已知∠ACB=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2+3^2} = 5$
利用三角形面积的两种计算方式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CD$
代入数值解得：
$CD = \frac{AC · BC}{AB} = \frac{4 × 3}{5} = 2.4$
因为AB与⊙C相切，所以半径r等于圆心到AB的距离CD，即r=2.4。
(2) 分两种情况讨论AB与⊙C只有1个交点的情况：
① 当直线AB与⊙C相切时，线段AB和圆仅有1个公共点，此时r=CD=2.4；
② 当直线AB与⊙C相交，且线段AB仅一个端点在圆外、另一个端点在圆内时：已知BC=3，AC=4，当3＜r≤4时，点B在圆内，点A在圆外或圆上，此时线段AB和圆C仅有1个交点。
综上，r满足的条件是r=2.4或3＜r≤4。
(3) 以临界值r=2.4、r=3、r=4为分界点，从小到大分类讨论：
① 当0＜r＜2.4时，圆心C到AB的距离大于半径，线段AB所有点都在圆外，交点个数为0；
② 当r=2.4时，直线AB和圆相切，线段AB和圆仅有1个切点，交点个数为1；
③ 当2.4＜r≤3时，圆心到AB的距离小于半径，且点A、点B都在圆外，线段AB和圆有2个不同的交点；
④ 当3＜r≤4时，点B在圆内，点A在圆外或圆上，线段AB和圆仅有1个交点；
⑤ 当r＞4时，点A、点B都在圆内，整条线段AB都在圆内部，没有交点，交点个数为0。
【答案】
(1) $r=2.4$；
(2) $r=2.4$或$3＜r\le4$；
(3) 交点个数共三种情况：当$0＜r＜2.4$或$r＞4$时，AB与$\odot C$有0个交点；当$r=2.4$或$3＜r\le4$时，AB与$\odot C$有1个交点；当$2.4＜r\le3$时，AB与$\odot C$有2个交点。
【知识点】
勾股定理，直线与圆的位置关系，线段与圆的交点判定
【点评】
本题的易错点是容易将线段AB误认为直线AB，从而漏掉$3＜r\le4$时线段AB和圆仅有1个交点的情况，解题时要先明确线段两个端点到圆心的距离，结合圆心到直线的距离多个临界值综合分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.4
这道题核心是判断线段AB和以C为圆心的圆的交点个数随半径r的变化规律，解题思路如下：
1. 第一问求相切时的r：直线和圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径，我们先通过勾股定理算出Rt△ABC的斜边AB长度，再用三角形面积的两种表达形式，求出点C到AB的垂线段长度，这个长度就是相切时的r值。
2. 第二问要求AB和圆只有1个交点：注意AB是线段不是直线，分两类讨论：第一类是直线AB和圆相切，此时刚好只有1个公共点；第二类是直线AB和圆相交，但线段AB一个端点在圆内、另一个端点在圆外/圆上，此时线段AB和圆也只有1个交点，结合AC=4、BC=3的长度，就能得到这部分r的范围。
3. 第三问按r从小到大的顺序，结合点C到AB的距离、BC长度、AC长度这三个临界值，依次划分区间，逐个判断每个区间内线段AB和圆的交点数量即可。
【解析】
(1) 过点C作CD⊥AB于点D，CD即为圆心C到直线AB的距离。
已知∠ACB=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2+3^2} = 5$
利用三角形面积的两种计算方式：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · AB · CD$
代入数值解得：
$CD = \frac{AC · BC}{AB} = \frac{4 × 3}{5} = 2.4$
因为AB与⊙C相切，所以半径r等于圆心到AB的距离CD，即r=2.4。
(2) 分两种情况讨论AB与⊙C只有1个交点的情况：
① 当直线AB与⊙C相切时，线段AB和圆仅有1个公共点，此时r=CD=2.4；
② 当直线AB与⊙C相交，且线段AB仅一个端点在圆外、另一个端点在圆内时：已知BC=3，AC=4，当3＜r≤4时，点B在圆内，点A在圆外或圆上，此时线段AB和圆C仅有1个交点。
综上，r满足的条件是r=2.4或3＜r≤4。
(3) 以临界值r=2.4、r=3、r=4为分界点，从小到大分类讨论：
① 当0＜r＜2.4时，圆心C到AB的距离大于半径，线段AB所有点都在圆外，交点个数为0；
② 当r=2.4时，直线AB和圆相切，线段AB和圆仅有1个切点，交点个数为1；
③ 当2.4＜r≤3时，圆心到AB的距离小于半径，且点A、点B都在圆外，线段AB和圆有2个不同的交点；
④ 当3＜r≤4时，点B在圆内，点A在圆外或圆上，线段AB和圆仅有1个交点；
⑤ 当r＞4时，点A、点B都在圆内，整条线段AB都在圆内部，没有交点，交点个数为0。
【答案】
(1) $r=2.4$；
(2) $r=2.4$或$3＜r\le4$；
(3) 交点个数共三种情况：当$0＜r＜2.4$或$r＞4$时，AB与$\odot C$有0个交点；当$r=2.4$或$3＜r\le4$时，AB与$\odot C$有1个交点；当$2.4＜r\le3$时，AB与$\odot C$有2个交点。
【知识点】
勾股定理，直线与圆的位置关系，线段与圆的交点判定
【点评】
本题的易错点是容易将线段AB误认为直线AB，从而漏掉$3＜r\le4$时线段AB和圆仅有1个交点的情况，解题时要先明确线段两个端点到圆心的距离，结合圆心到直线的距离多个临界值综合分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.4
12. 已知直线$l_{1} // l_{2}$，直线$l_{1},l_{2}$之间的距离是3 cm，圆心$O$到直线$l_{1}$的距离是1 cm. 如果$\odot O$与直线$l_{1},l_{2}$共有三个公共点，那么$\odot O$的半径为
4 cm 或 2 cm
.答案
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$.由题意易知,需要分两种情况进行讨论:① 如图①,当直线$l_1$,$l_2$在圆心$O$同侧时,易得$r-1=3$,解得$r=4$. ② 如图②,当直线$l_1$,$l_2$在圆心$O$异侧时,易得$r+1=3$,解得$r=2$.综上所述,$\odot O$的半径为4 cm或2 cm.
解析
【分析】
解题时首先要明确：圆和两条平行直线共有3个公共点，说明圆必然与其中一条直线相切（1个公共点），同时与另一条直线相交（2个公共点），相加刚好得到3个公共点，排除两线都相切（共2个点）、都相交（共4个点）的情况。接下来需要分类讨论圆心的位置：第一种是圆心位于两条平行线的外侧，也就是$l_1$、$l_2$在圆心的同侧；第二种是圆心位于两条平行线之间，也就是$l_1$、$l_2$在圆心的异侧，分别计算两种情况下满足相切条件的半径即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
根据直线与圆的位置关系性质：若圆与直线相切，圆心到直线的距离等于半径；若圆与直线相交，圆心到直线的距离小于半径。
已知$\odot O$与$l_1,l_2$共有3个公共点，说明$\odot O$恰好与其中一条直线相切，与另一条直线相交，分两种情况讨论：
① 当$l_1,l_2$在圆心$O$的同侧时：
圆心$O$到$l_2$的距离 = 圆心$O$到$l_1$的距离 + $l_1$与$l_2$的间距 = $1+3=4\ \mathrm{cm}$
此时若$\odot O$与$l_2$相切，则$r=4\ \mathrm{cm}$，此时圆心$O$到$l_1$的距离$1\ \mathrm{cm}＜4\ \mathrm{cm}$，$\odot O$与$l_1$相交，总公共点数量为$1+2=3$，符合题意。
② 当$l_1,l_2$在圆心$O$的异侧，即圆心$O$位于$l_1,l_2$之间时：
圆心$O$到$l_2$的距离 = $l_1$与$l_2$的间距 - 圆心$O$到$l_1$的距离 = $3-1=2\ \mathrm{cm}$
此时若$\odot O$与$l_2$相切，则$r=2\ \mathrm{cm}$，此时圆心$O$到$l_1$的距离$1\ \mathrm{cm}＜2\ \mathrm{cm}$，$\odot O$与$l_1$相交，总公共点数量为$2+1=3$，符合题意。
综上，$\odot O$的半径为2 cm或4 cm。
【答案】
2 cm或4 cm
【知识点】
直线与圆的位置关系；平行线间的距离
【点评】
本题属于易错题，核心考点是直线和圆的位置关系判定，学生很容易忽略圆心在两条平行线外侧的情况，只得到半径为2 cm的单一结果，解题时先根据公共点总数锁定“一切一交”的位置特征，再对圆心的位置做完整分类，就能避免漏解。
【难度系数】
0.4
解题时首先要明确：圆和两条平行直线共有3个公共点，说明圆必然与其中一条直线相切（1个公共点），同时与另一条直线相交（2个公共点），相加刚好得到3个公共点，排除两线都相切（共2个点）、都相交（共4个点）的情况。接下来需要分类讨论圆心的位置：第一种是圆心位于两条平行线的外侧，也就是$l_1$、$l_2$在圆心的同侧；第二种是圆心位于两条平行线之间，也就是$l_1$、$l_2$在圆心的异侧，分别计算两种情况下满足相切条件的半径即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
根据直线与圆的位置关系性质：若圆与直线相切，圆心到直线的距离等于半径；若圆与直线相交，圆心到直线的距离小于半径。
已知$\odot O$与$l_1,l_2$共有3个公共点，说明$\odot O$恰好与其中一条直线相切，与另一条直线相交，分两种情况讨论：
① 当$l_1,l_2$在圆心$O$的同侧时：
圆心$O$到$l_2$的距离 = 圆心$O$到$l_1$的距离 + $l_1$与$l_2$的间距 = $1+3=4\ \mathrm{cm}$
此时若$\odot O$与$l_2$相切，则$r=4\ \mathrm{cm}$，此时圆心$O$到$l_1$的距离$1\ \mathrm{cm}＜4\ \mathrm{cm}$，$\odot O$与$l_1$相交，总公共点数量为$1+2=3$，符合题意。
② 当$l_1,l_2$在圆心$O$的异侧，即圆心$O$位于$l_1,l_2$之间时：
圆心$O$到$l_2$的距离 = $l_1$与$l_2$的间距 - 圆心$O$到$l_1$的距离 = $3-1=2\ \mathrm{cm}$
此时若$\odot O$与$l_2$相切，则$r=2\ \mathrm{cm}$，此时圆心$O$到$l_1$的距离$1\ \mathrm{cm}＜2\ \mathrm{cm}$，$\odot O$与$l_1$相交，总公共点数量为$2+1=3$，符合题意。
综上，$\odot O$的半径为2 cm或4 cm。
【答案】
2 cm或4 cm
【知识点】
直线与圆的位置关系；平行线间的距离
【点评】
本题属于易错题，核心考点是直线和圆的位置关系判定，学生很容易忽略圆心在两条平行线外侧的情况，只得到半径为2 cm的单一结果，解题时先根据公共点总数锁定“一切一交”的位置特征，再对圆心的位置做完整分类，就能避免漏解。
【难度系数】
0.4
13. 新考向 结论开放题 如图,正方形$ABCD$的边长为$\sqrt{2}$,$\odot P$的半径为$1$,正方形$ABCD$的中心$O$和$\odot P$的圆心$P$都在直线$l$上,线段$OP$的长叫作它们的中心距,$\odot P$随着点$P$在直线$l$上的运动而运动.
(1)$OD$的长为
(2)当正方形$ABCD$与$\odot P$只有一个公共点时,中心距$OP$的长为
(3)随着点$P$在直线$l$上的运动,正方形$ABCD$与$\odot P$的公共点的个数还有哪些变化?请写出相应$OP$的值或取值范围(不必写出计算过程).
(1)$OD$的长为
1
.(2)当正方形$ABCD$与$\odot P$只有一个公共点时,中心距$OP$的长为
2
.(3)随着点$P$在直线$l$上的运动,正方形$ABCD$与$\odot P$的公共点的个数还有哪些变化?请写出相应$OP$的值或取值范围(不必写出计算过程).
答案
(1) 1. (2) 2. 如图,设$\odot P$与直线$l$交于点$F$,$E$.
当点$D$,$F$或点$B$,$E$重合时,正方形$ABCD$与$\odot P$只有一个公共点,此时$OP=1+1=2$.
(3) 当正方形$ABCD$与$\odot P$的公共点个数为0时,$OP＞2$;当正方形$ABCD$与$\odot P$的公共点个数为1时,$OP=2$;当正方形$ABCD$与$\odot P$的公共点个数为2时,$\sqrt{2}-1＜OP＜2$;当正方形$ABCD$与$\odot P$的公共点个数为4时,$OP=0$或$OP=\sqrt{2}-1$;当正方形$ABCD$与$\odot P$的公共点个数为6时,$0＜OP＜\sqrt{2}-1$.
当点$D$,$F$或点$B$,$E$重合时,正方形$ABCD$与$\odot P$只有一个公共点,此时$OP=1+1=2$.
(3) 当正方形$ABCD$与$\odot P$的公共点个数为0时,$OP＞2$;当正方形$ABCD$与$\odot P$的公共点个数为1时,$OP=2$;当正方形$ABCD$与$\odot P$的公共点个数为2时,$\sqrt{2}-1＜OP＜2$;当正方形$ABCD$与$\odot P$的公共点个数为4时,$OP=0$或$OP=\sqrt{2}-1$;当正方形$ABCD$与$\odot P$的公共点个数为6时,$0＜OP＜\sqrt{2}-1$.
解析
【分析】
我们可以分三步逐步思考这道题：
1. 解决第一问：已知正方形边长，先计算正方形对角线的总长度，O是正方形的中心，也就是两条对角线的交点，OD是对角线BD的一半，直接代入计算就能得到结果。
2. 解决第二问：观察图形可知正方形在直线l上的最右端点是D，OD长度已经算出是1，⊙P半径为1，当正方形和⊙P只有一个公共点时，只能是⊙P最左侧的点刚好和点D相切，此时中心距OP就是OD的长度加上圆的半径，直接相加即可得到答案。
3. 解决第三问：模拟点P沿着直线l从右向左运动的全过程，依次判断不同OP长度下，圆和正方形各边的交点总数，分情况梳理对应的OP取值范围即可。
【解析】
(1) 正方形ABCD边长为$\sqrt{2}$，由勾股定理得对角线$BD=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，O是正方形中心，即对角线交点，因此$OD=\frac{1}{2}BD=1$。
(2) 正方形在直线l上的最右侧端点为D，当正方形与⊙P只有一个公共点时，⊙P恰好与点D相切，此时$OP=OD + r_P=1+1=2$。
(3) 按运动过程分类：
① 当$OP＞2$时，⊙P完全在正方形右侧，和正方形无交点，公共点个数为0；
② 当$OP=2$时，仅点D为公共点，公共点个数为1；
③ 当$\sqrt{2}-1＜OP＜2$时，⊙P和正方形的AD、CD两条边各交于1点，总公共点个数为2；
④ 当$OP=\sqrt{2}-1$或$OP=0$时，⊙P和正方形的四条边各交于1点，总公共点个数为4；
⑤ 当$0＜OP＜\sqrt{2}-1$时，⊙P和正方形的四条边相交，总公共点个数为6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$
(2) $\boldsymbol{2}$
(3) 公共点个数为0时，$OP＞2$；公共点个数为2时，$\sqrt{2}-1＜OP＜2$；公共点个数为4时，$OP=0$或$OP=\sqrt{2}-1$；公共点个数为6时，$0＜OP＜\sqrt{2}-1$。
【知识点】
正方形性质，圆与多边形位置关系，分类讨论思想
【点评】
本题属于动点探究开放题，前两问难度较低，第三问需要完整想象圆沿直线运动的全过程，逐段判断交点数量，容易漏掉特殊位置的交点情况，重点考察空间想象能力和分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.4
我们可以分三步逐步思考这道题：
1. 解决第一问：已知正方形边长，先计算正方形对角线的总长度，O是正方形的中心，也就是两条对角线的交点，OD是对角线BD的一半，直接代入计算就能得到结果。
2. 解决第二问：观察图形可知正方形在直线l上的最右端点是D，OD长度已经算出是1，⊙P半径为1，当正方形和⊙P只有一个公共点时，只能是⊙P最左侧的点刚好和点D相切，此时中心距OP就是OD的长度加上圆的半径，直接相加即可得到答案。
3. 解决第三问：模拟点P沿着直线l从右向左运动的全过程，依次判断不同OP长度下，圆和正方形各边的交点总数，分情况梳理对应的OP取值范围即可。
【解析】
(1) 正方形ABCD边长为$\sqrt{2}$，由勾股定理得对角线$BD=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=2$，O是正方形中心，即对角线交点，因此$OD=\frac{1}{2}BD=1$。
(2) 正方形在直线l上的最右侧端点为D，当正方形与⊙P只有一个公共点时，⊙P恰好与点D相切，此时$OP=OD + r_P=1+1=2$。
(3) 按运动过程分类：
① 当$OP＞2$时，⊙P完全在正方形右侧，和正方形无交点，公共点个数为0；
② 当$OP=2$时，仅点D为公共点，公共点个数为1；
③ 当$\sqrt{2}-1＜OP＜2$时，⊙P和正方形的AD、CD两条边各交于1点，总公共点个数为2；
④ 当$OP=\sqrt{2}-1$或$OP=0$时，⊙P和正方形的四条边各交于1点，总公共点个数为4；
⑤ 当$0＜OP＜\sqrt{2}-1$时，⊙P和正方形的四条边相交，总公共点个数为6。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$
(2) $\boldsymbol{2}$
(3) 公共点个数为0时，$OP＞2$；公共点个数为2时，$\sqrt{2}-1＜OP＜2$；公共点个数为4时，$OP=0$或$OP=\sqrt{2}-1$；公共点个数为6时，$0＜OP＜\sqrt{2}-1$。
【知识点】
正方形性质，圆与多边形位置关系，分类讨论思想
【点评】
本题属于动点探究开放题，前两问难度较低，第三问需要完整想象圆沿直线运动的全过程，逐段判断交点数量，容易漏掉特殊位置的交点情况，重点考察空间想象能力和分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.4
