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1. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$C$是$\odot O$上一点，$D$是$\odot O$外一点，过点$A$作$AE⊥ CD$，垂足为$E$，连接$AC,OC$。若要使$CD$切$\odot O$于点$C$，则下列条件中，添加后不正确的是（
A.$OC// AE$
B.$∠ OAC=∠ CAE$
C.$∠ OCA=∠ CAE$
D.$OA=AC$
D
）A.$OC// AE$
B.$∠ OAC=∠ CAE$
C.$∠ OCA=∠ CAE$
D.$OA=AC$
答案
1. D $\because AE ⊥ CD,\therefore ∠ AED = 90°$. 当 $OC// AE$ 时，$∠ OCD=90°$,即 $OC ⊥ DE$. $\because OC$ 是 $\odot O$ 的半径,$\therefore CD$ 切$\odot O$ 于点 $C$. 故 A 正确,不符合题意. $\because AE ⊥ CD$,$\therefore ∠ AED=90°$,则$∠ CAE + ∠ ACE = 90°$. $\because OA=OC$,$\therefore ∠ OAC = ∠ OCA$. 当 $∠ OAC = ∠ CAE$ 时, $∠ OCA + ∠ ACE=90°$,即 $OC ⊥ DE$. $\because OC$ 是 $\odot O$ 的半径,$\therefore CD$ 切$\odot O$ 于点 $C$. 故 B 正确,不符合题意. 当$∠ OCA = ∠ CAE$时,$OC// AE$. $\because AE ⊥ CD$,$\therefore ∠ AED=90°$. $\therefore ∠ OCD=90°$,即 $OC ⊥ DE$. $\because OC$ 是 $\odot O$ 的半径,$\therefore CD$ 切$\odot O$ 于点 $C$. 故 C 正确,不符合题意. 当 $OA=AC$ 时,由 $OA=OC$,得$OA=OC=AC$,则$△ OAC$ 是等边三角形,$\therefore ∠ OCA=60°$.无法确定$∠ OCD=90°$,不能得到 $CD$ 切$\odot O$ 于点 $C$. 故 D不正确,符合题意.
解析
【分析】
解题思路：本题核心目标是判断哪个添加的条件无法推出CD是⊙O的切线，根据切线判定定理，已知OC是⊙O的半径，点C在圆上，因此只需验证各选项能否推导出OC⊥CD即可。先梳理已知隐含条件：AE⊥CD即∠AEC=90°，OA、OC都是⊙O的半径，故OA=OC。接下来逐个代入选项推导：
1. 对A选项：若OC//AE，结合AE⊥CD可直接推出OC⊥CD，满足切线判定要求；
2. 对B选项：若∠OAC=∠CAE，结合OA=OC得∠OAC=∠OCA，等量代换后可得∠OCA=∠CAE，再由∠CAE+∠ACE=90°，即可推出∠OCA+∠ACE=90°，即OC⊥CD；
3. 对C选项：若∠OCA=∠CAE，内错角相等可直接得到OC//AE，结合AE⊥CD即可推出OC⊥CD；
4. 对D选项：若OA=AC，结合OA=OC只能得到△OAC是等边三角形，仅能得到∠OCA=60°，无法推导∠OCD=90°，不能满足切线判定要求。
【解析】
已知AE⊥CD，因此∠AEC=90°，且OA、OC均为⊙O半径，故OA=OC。逐一分析选项：
选项A：当OC// AE时，由AE⊥CD可得∠OCD=∠AEC=90°，即OC⊥DE，又OC是⊙O的半径，因此CD切⊙O于点C，该条件正确，不符合题意。
选项B：当∠OAC=∠CAE时，由OA=OC得∠OAC=∠OCA，等量代换得∠OCA=∠CAE。在Rt△ACE中，∠CAE+∠ACE=90°，代入得∠OCA+∠ACE=90°，即OC⊥DE，又OC是⊙O的半径，因此CD切⊙O于点C，该条件正确，不符合题意。
选项C：当∠OCA=∠CAE时，内错角相等可得OC// AE，结合AE⊥CD得∠OCD=∠AEC=90°，即OC⊥DE，又OC是⊙O的半径，因此CD切⊙O于点C，该条件正确，不符合题意。
选项D：当OA=AC时，结合OA=OC可得OA=OC=AC，即△OAC是等边三角形，仅能推出∠OCA=60°，无法得到∠OCD=90°，不能证明CD切⊙O于点C，该条件错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定，平行线的性质，等边三角形性质
【点评】
本题是切线判定的基础变式题，核心是将切线证明转化为证明半径与待证直线垂直的关系，通过逐个条件推导验证即可得出结论。易错点是对D选项的判断，不少同学会混淆等边三角形的角度性质和CD的位置关系，忽略没有条件能证明OC和CD垂直，解题时要牢牢抓住切线判定的核心要素，不要被无关的角度条件误导。
【难度系数】
0.7
解题思路：本题核心目标是判断哪个添加的条件无法推出CD是⊙O的切线，根据切线判定定理，已知OC是⊙O的半径，点C在圆上，因此只需验证各选项能否推导出OC⊥CD即可。先梳理已知隐含条件：AE⊥CD即∠AEC=90°，OA、OC都是⊙O的半径，故OA=OC。接下来逐个代入选项推导：
1. 对A选项：若OC//AE，结合AE⊥CD可直接推出OC⊥CD，满足切线判定要求；
2. 对B选项：若∠OAC=∠CAE，结合OA=OC得∠OAC=∠OCA，等量代换后可得∠OCA=∠CAE，再由∠CAE+∠ACE=90°，即可推出∠OCA+∠ACE=90°，即OC⊥CD；
3. 对C选项：若∠OCA=∠CAE，内错角相等可直接得到OC//AE，结合AE⊥CD即可推出OC⊥CD；
4. 对D选项：若OA=AC，结合OA=OC只能得到△OAC是等边三角形，仅能得到∠OCA=60°，无法推导∠OCD=90°，不能满足切线判定要求。
【解析】
已知AE⊥CD，因此∠AEC=90°，且OA、OC均为⊙O半径，故OA=OC。逐一分析选项：
选项A：当OC// AE时，由AE⊥CD可得∠OCD=∠AEC=90°，即OC⊥DE，又OC是⊙O的半径，因此CD切⊙O于点C，该条件正确，不符合题意。
选项B：当∠OAC=∠CAE时，由OA=OC得∠OAC=∠OCA，等量代换得∠OCA=∠CAE。在Rt△ACE中，∠CAE+∠ACE=90°，代入得∠OCA+∠ACE=90°，即OC⊥DE，又OC是⊙O的半径，因此CD切⊙O于点C，该条件正确，不符合题意。
选项C：当∠OCA=∠CAE时，内错角相等可得OC// AE，结合AE⊥CD得∠OCD=∠AEC=90°，即OC⊥DE，又OC是⊙O的半径，因此CD切⊙O于点C，该条件正确，不符合题意。
选项D：当OA=AC时，结合OA=OC可得OA=OC=AC，即△OAC是等边三角形，仅能推出∠OCA=60°，无法得到∠OCD=90°，不能证明CD切⊙O于点C，该条件错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定，平行线的性质，等边三角形性质
【点评】
本题是切线判定的基础变式题，核心是将切线证明转化为证明半径与待证直线垂直的关系，通过逐个条件推导验证即可得出结论。易错点是对D选项的判断，不少同学会混淆等边三角形的角度性质和CD的位置关系，忽略没有条件能证明OC和CD垂直，解题时要牢牢抓住切线判定的核心要素，不要被无关的角度条件误导。
【难度系数】
0.7
2. 如图,$AB$切$\odot O$于点$B$,连接$OA$,交$\odot O$于点$C$,过点$B$作$BD// OA$,交$\odot O$于点$D$,连接$CD$.
若$∠ DCO=25^{\circ }$,则$∠ A$的度数为（
A.$25^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$40^{\circ }$
D.$45^{\circ }$
若$∠ DCO=25^{\circ }$,则$∠ A$的度数为（
C
）A.$25^{\circ }$
B.$30^{\circ }$
C.$40^{\circ }$
D.$45^{\circ }$
答案
2. C 连接 $OB$. $\because AB$ 切 $\odot O$ 于点 $B$, $\therefore AB ⊥ OB$.$\therefore ∠ ABO=90°$. $\because BD// OA$,$∠ DCO=25°$,$\therefore ∠ D=∠ DCO=25°$. $\therefore ∠ AOB=2∠ D=50°$. $\therefore ∠ A=90°-∠ AOB=40°$.
解析
【分析】
这是一道圆的基础性质综合题，解题思路非常清晰：首先看到AB是⊙O的切线，优先连接切点B和圆心O，利用切线的性质得到OB⊥AB，构造出直角三角形ABO，后续可以借助直角三角形两锐角互余计算角度；接着已知BD平行OA，根据平行线内错角相等的性质，直接得到圆周角∠D等于已知条件∠DCO=25°；再根据圆周角定理，同弧BC对应的圆心角∠AOB是圆周角∠D的2倍，算出∠AOB的度数；最后在Rt△ABO中用90°减去∠AOB的度数，就能得到∠A的大小，匹配对应选项即可。
【解析】
解：连接OB，
∵ AB切⊙O于点B，
∴ AB⊥OB，即∠ABO=90°，
∵ BD//OA，
∴ ∠BDC = ∠DCO = 25°（两直线平行，内错角相等），
由圆周角定理可知：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧BC对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠BDC，
∴ ∠AOB = 2∠BDC = 2×25° = 50°，
在Rt△ABO中，∠A + ∠AOB = 90°，
∴ ∠A = 90° - ∠AOB = 90° - 50° = 40°。
【答案】C
【知识点】切线的性质；圆周角定理；平行线性质
【点评】本题属于圆部分的常规基础考题，核心考察切线的常用辅助线构造技巧：遇到切线优先连接切点与圆心得到垂直关系，再结合平行线性质、圆周角定理即可快速推导，整体思路流畅，适合巩固圆相关的基础性质。
【难度系数】0.7
这是一道圆的基础性质综合题，解题思路非常清晰：首先看到AB是⊙O的切线，优先连接切点B和圆心O，利用切线的性质得到OB⊥AB，构造出直角三角形ABO，后续可以借助直角三角形两锐角互余计算角度；接着已知BD平行OA，根据平行线内错角相等的性质，直接得到圆周角∠D等于已知条件∠DCO=25°；再根据圆周角定理，同弧BC对应的圆心角∠AOB是圆周角∠D的2倍，算出∠AOB的度数；最后在Rt△ABO中用90°减去∠AOB的度数，就能得到∠A的大小，匹配对应选项即可。
【解析】
解：连接OB，
∵ AB切⊙O于点B，
∴ AB⊥OB，即∠ABO=90°，
∵ BD//OA，
∴ ∠BDC = ∠DCO = 25°（两直线平行，内错角相等），
由圆周角定理可知：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧BC对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠BDC，
∴ ∠AOB = 2∠BDC = 2×25° = 50°，
在Rt△ABO中，∠A + ∠AOB = 90°，
∴ ∠A = 90° - ∠AOB = 90° - 50° = 40°。
【答案】C
【知识点】切线的性质；圆周角定理；平行线性质
【点评】本题属于圆部分的常规基础考题，核心考察切线的常用辅助线构造技巧：遇到切线优先连接切点与圆心得到垂直关系，再结合平行线性质、圆周角定理即可快速推导，整体思路流畅，适合巩固圆相关的基础性质。
【难度系数】0.7
3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为边$BC$上一点，过点$D$作$DE ⊥ AC$，垂足为$E$，以$AB$为直径作$\odot O$，$\odot O$经过点$D$，则$DE$与$\odot O$的位置关系是
相切
.答案
3. 相切 如图,连接 $AD,OD$. $\because AB$ 是 $\odot O$ 的直径,$\therefore AO=BO$,$∠ ADB=90°$. $\therefore AD ⊥ BC$. $\because AB=AC$,$\therefore BD=CD$. $\therefore OD$ 是 $△ ABC$ 的中位线. $\therefore OD// AC$.$\because DE ⊥ AC$,$\therefore DE ⊥ OD$. $\because OD$ 是 $\odot O$ 的半径,$\therefore DE$与$\odot O$相切.
解析
【分析】
要判断直线DE与⊙O的位置关系，我们优先使用切线的判定思路：若能证明直线经过圆的半径外端，且与该半径垂直，即可判定直线与圆相切。首先构造辅助线连接OD、AD：由AB是⊙O的直径，可直接得到直径所对的圆周角∠ADB为直角，即AD⊥BC；结合AB=AC的等腰三角形条件，由三线合一可得D是BC中点，又O是AB中点，因此OD是△ABC的中位线，可推出OD平行于AC；再结合已知DE⊥AC，通过平行线的性质即可得到DE⊥OD，OD是⊙O的半径，满足切线判定条件，即可得出结论。
【解析】
连接AD、OD，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又
∵ AB=AC，△ABC为等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得BD=CD，即D是BC的中点，
∵ O是AB的中点，
∴ OD是△ABC的中位线，
∴ OD//AC，
又
∵ DE⊥AC，
∴ DE⊥OD，
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DE与⊙O相切。
【答案】
相切
【知识点】
切线判定定理，直径的圆周角性质，三角形中位线
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础题型，核心考查切线判定的常规辅助线构造方法“连半径证垂直”，同时综合了等腰三角形三线合一、三角形中位线的性质，属于圆章节的常考基础题，要求学生熟练掌握切线判定的基本思路。
【难度系数】
0.7
要判断直线DE与⊙O的位置关系，我们优先使用切线的判定思路：若能证明直线经过圆的半径外端，且与该半径垂直，即可判定直线与圆相切。首先构造辅助线连接OD、AD：由AB是⊙O的直径，可直接得到直径所对的圆周角∠ADB为直角，即AD⊥BC；结合AB=AC的等腰三角形条件，由三线合一可得D是BC中点，又O是AB中点，因此OD是△ABC的中位线，可推出OD平行于AC；再结合已知DE⊥AC，通过平行线的性质即可得到DE⊥OD，OD是⊙O的半径，满足切线判定条件，即可得出结论。
【解析】
连接AD、OD，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即AD⊥BC，
又
∵ AB=AC，△ABC为等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得BD=CD，即D是BC的中点，
∵ O是AB的中点，
∴ OD是△ABC的中位线，
∴ OD//AC，
又
∵ DE⊥AC，
∴ DE⊥OD，
∵ OD是⊙O的半径，
∴ DE与⊙O相切。
【答案】
相切
【知识点】
切线判定定理，直径的圆周角性质，三角形中位线
【点评】
本题是圆与等腰三角形结合的基础题型，核心考查切线判定的常规辅助线构造方法“连半径证垂直”，同时综合了等腰三角形三线合一、三角形中位线的性质，属于圆章节的常考基础题，要求学生熟练掌握切线判定的基本思路。
【难度系数】
0.7
4. 如图,$OA$是$\odot O$的半径,$BC$是$\odot O$的弦,$OA ⊥ BC$于点$D$,$AE$是$\odot O$的切线,$AE$交$OC$的延长线于点$E$.若$∠ AOC=45^{ \circ }$,$BC=2$,则$AE$的长为
$\sqrt{2}$
.答案
4. $\sqrt{2}$ $\because OA ⊥ BC$ 于点 $D$,$\therefore CD=BD=\frac{1}{2}BC=1$,$∠ ODC=90°$. $\because ∠ AOC=45°$,$\therefore △ OCD$ 为等腰直角三角形. $\therefore$ 易得 $OC=\sqrt{2}CD=\sqrt{2}$. $\therefore OA=OC=\sqrt{2}$. $\because AE$ 是$\odot O$ 的切线,$\therefore OA ⊥ AE$. $\therefore ∠ OAE=90°$. $\because ∠ AOE=45°$,$\therefore △ AOE$ 为等腰直角三角形. $\therefore AE=AO=\sqrt{2}$.
解析
【分析】
我们可以按以下思路逐步推导：第一步，题目给出OA垂直弦BC，首先回忆垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以可以直接得到CD是BC的一半，算出CD长度为1；第二步，在Rt△ODC中，已知∠AOC=45°，可以判断这个三角形是等腰直角三角形，由此就能算出半径OC的长度，也就是OA的长度；第三步，根据AE是圆O的切线，利用切线的性质，切线垂直于过切点的半径，得到OA⊥AE，也就是△OAE是直角三角形，结合已知的∠AOE=45°，可知△OAE也是等腰直角三角形，因此AE和OA长度相等，代入OA的数值就能得到AE的长。
【解析】
解：
1. 由$OA ⊥ BC$，根据垂径定理，可得$CD=BD=\frac{1}{2}BC$，
已知$BC=2$，因此$CD=1$，且$∠ ODC=90°$。
2. 在$△ ODC$中，$∠ DOC=45°$，$∠ ODC=90°$，因此$△ OCD$是等腰直角三角形，
可得$OC=\sqrt{2} · CD = \sqrt{2} × 1 = \sqrt{2}$，
因为$OA$和$OC$都是$\odot O$的半径，所以$OA=OC=\sqrt{2}$。
3. 因为$AE$是$\odot O$的切线，$A$是切点，根据切线的性质，$OA ⊥ AE$，即$∠ OAE=90°$。
在$△ OAE$中，$∠ AOE=45°$，$∠ OAE=90°$，因此$△ OAE$是等腰直角三角形，
可得$AE=OA=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；切线的性质；等腰直角三角形判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题型，解题逻辑清晰，先后结合垂径定理、切线的核心性质，利用45°特殊角构造等腰直角三角形完成边长推导，侧重考查学生对圆基础性质的掌握熟练度，只要准确识别两个等腰直角三角形的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
我们可以按以下思路逐步推导：第一步，题目给出OA垂直弦BC，首先回忆垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，所以可以直接得到CD是BC的一半，算出CD长度为1；第二步，在Rt△ODC中，已知∠AOC=45°，可以判断这个三角形是等腰直角三角形，由此就能算出半径OC的长度，也就是OA的长度；第三步，根据AE是圆O的切线，利用切线的性质，切线垂直于过切点的半径，得到OA⊥AE，也就是△OAE是直角三角形，结合已知的∠AOE=45°，可知△OAE也是等腰直角三角形，因此AE和OA长度相等，代入OA的数值就能得到AE的长。
【解析】
解：
1. 由$OA ⊥ BC$，根据垂径定理，可得$CD=BD=\frac{1}{2}BC$，
已知$BC=2$，因此$CD=1$，且$∠ ODC=90°$。
2. 在$△ ODC$中，$∠ DOC=45°$，$∠ ODC=90°$，因此$△ OCD$是等腰直角三角形，
可得$OC=\sqrt{2} · CD = \sqrt{2} × 1 = \sqrt{2}$，
因为$OA$和$OC$都是$\odot O$的半径，所以$OA=OC=\sqrt{2}$。
3. 因为$AE$是$\odot O$的切线，$A$是切点，根据切线的性质，$OA ⊥ AE$，即$∠ OAE=90°$。
在$△ OAE$中，$∠ AOE=45°$，$∠ OAE=90°$，因此$△ OAE$是等腰直角三角形，
可得$AE=OA=\sqrt{2}$。
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；切线的性质；等腰直角三角形判定
【点评】
本题属于圆的基础综合题型，解题逻辑清晰，先后结合垂径定理、切线的核心性质，利用45°特殊角构造等腰直角三角形完成边长推导，侧重考查学生对圆基础性质的掌握熟练度，只要准确识别两个等腰直角三角形的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$\odot O$ 的半径为 2，四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，$∠ C=60°$，$AB=AD$，连接 $OB,OD$，延长 $OD$ 至点 $M$，使得 $DM=OD$，连接 $AM$.
（1）求证：四边形 $ABOD$ 为菱形.
（2）试判断 $AM$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由.
（1）求证：四边形 $ABOD$ 为菱形.
（2）试判断 $AM$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由.
答案
5. (1) 连接 $OA$. $\because ∠ C=60°$,$\therefore ∠ BOD=120°$. 又$\because AB=AD$,$\therefore ∠ AOB=∠ AOD=60°$. 又 $\because OA=OD$,$\therefore △ AOD$ 为等边三角形. $\therefore AD=OD$. $\because AB=AD$,$OB=OD$,$\therefore AB=AD=OB=OD$. $\therefore$ 四边形 $ABOD$ 为菱形.
(2) $AM$ 与 $\odot O$ 相切. 理由: $\because △ AOD$ 为等边三角形,$\therefore ∠ ADO=∠ OAD=60°$. $\therefore ∠ ADM=120°$. 又$\because OD=DM$,$OD=AD$,$\therefore DM=AD$. $\therefore ∠ DAM=30°$.$\therefore ∠ OAM=∠ OAD+∠ DAM=60°+30°=90°$. $\therefore OA ⊥ AM$. 又 $\because OA$ 为 $\odot O$ 的半径,$\therefore AM$ 与 $\odot O$ 相切.
(2) $AM$ 与 $\odot O$ 相切. 理由: $\because △ AOD$ 为等边三角形,$\therefore ∠ ADO=∠ OAD=60°$. $\therefore ∠ ADM=120°$. 又$\because OD=DM$,$OD=AD$,$\therefore DM=AD$. $\therefore ∠ DAM=30°$.$\therefore ∠ OAM=∠ OAD+∠ DAM=60°+30°=90°$. $\therefore OA ⊥ AM$. 又 $\because OA$ 为 $\odot O$ 的半径,$\therefore AM$ 与 $\odot O$ 相切.
解析
【分析】
这道题分为两小问，我们可以按如下思路思考：
1. 第一问要证明四边形ABOD是菱形，优先选择"四条边相等的四边形是菱形"的判定路径：首先利用圆周角定理，由已知的∠C=60°，得到它对应的圆心角∠BOD=120°；再结合AB=AD，根据同圆中等弦对等圆心角，将120°平分得到∠AOB=∠AOD=60°；因为OA、OB、OD都是圆的半径，所以△AOB和△AOD都是含60°角的等腰等边三角形，由此可推出四条边AB=AD=OB=OD全部相等，直接证得四边形是菱形。
2. 第二问判断AM和⊙O的位置关系，证明切线的常规思路是"连半径证垂直"：从第一问得到的等边△AOD出发，得到∠ADO=60°，算出它的邻补角∠ADM=120°；结合题目给出的DM=OD，以及已证的AD=OD，得到AD=DM，△ADM是顶角120°的等腰三角形，算出底角∠DAM=30°，相加得到∠OAM=90°，即OA⊥AM，就可证明AM是⊙O的切线。
【解析】
（1）证明：连接OA
∵ ∠C=60°，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
∴ ∠BOD=2∠C=120°
又
∵ AB=AD，同圆中相等的弦对应的圆心角相等
∴ ∠AOB=∠AOD=$\frac{1}{2}$∠BOD=60°
∵ OA=OD（均为⊙O的半径）
∴ △AOD是含60°内角的等腰三角形，即等边三角形，得AD=OD
同理可证△AOB为等边三角形，得AB=OB
又
∵ OB=OD，AB=AD
∴ AB=AD=OB=OD，四边形四条边全部相等
∴ 四边形ABOD为菱形。
（2）解：AM与⊙O相切，理由如下：
∵ △AOD为等边三角形
∴ ∠ADO=∠OAD=60°
∴ ∠ADM=180°-∠ADO=120°
∵ DM=OD，且AD=OD（已证）
∴ DM=AD，即△ADM为等腰三角形
∴ ∠DAM=$\frac{180°-120°}{2}$=30°
∴ ∠OAM=∠OAD+∠DAM=60°+30°=90°，即OA⊥AM
又
∵ OA是⊙O的半径
∴ AM与⊙O相切。
【答案】
(1) 四边形ABOD为菱形，证明成立；(2) AM与⊙O相切。
【知识点】
圆周角定理，菱形判定，切线判定
【点评】
本题综合考查圆的基础性质、特殊四边形判定和切线判定，解题核心是利用圆周角和圆心角的数量关系得到60°特殊角，构造出等边三角形推导边、角的等量关系，整体逻辑连贯，能有效检验学生对圆相关基础定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
这道题分为两小问，我们可以按如下思路思考：
1. 第一问要证明四边形ABOD是菱形，优先选择"四条边相等的四边形是菱形"的判定路径：首先利用圆周角定理，由已知的∠C=60°，得到它对应的圆心角∠BOD=120°；再结合AB=AD，根据同圆中等弦对等圆心角，将120°平分得到∠AOB=∠AOD=60°；因为OA、OB、OD都是圆的半径，所以△AOB和△AOD都是含60°角的等腰等边三角形，由此可推出四条边AB=AD=OB=OD全部相等，直接证得四边形是菱形。
2. 第二问判断AM和⊙O的位置关系，证明切线的常规思路是"连半径证垂直"：从第一问得到的等边△AOD出发，得到∠ADO=60°，算出它的邻补角∠ADM=120°；结合题目给出的DM=OD，以及已证的AD=OD，得到AD=DM，△ADM是顶角120°的等腰三角形，算出底角∠DAM=30°，相加得到∠OAM=90°，即OA⊥AM，就可证明AM是⊙O的切线。
【解析】
（1）证明：连接OA
∵ ∠C=60°，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍
∴ ∠BOD=2∠C=120°
又
∵ AB=AD，同圆中相等的弦对应的圆心角相等
∴ ∠AOB=∠AOD=$\frac{1}{2}$∠BOD=60°
∵ OA=OD（均为⊙O的半径）
∴ △AOD是含60°内角的等腰三角形，即等边三角形，得AD=OD
同理可证△AOB为等边三角形，得AB=OB
又
∵ OB=OD，AB=AD
∴ AB=AD=OB=OD，四边形四条边全部相等
∴ 四边形ABOD为菱形。
（2）解：AM与⊙O相切，理由如下：
∵ △AOD为等边三角形
∴ ∠ADO=∠OAD=60°
∴ ∠ADM=180°-∠ADO=120°
∵ DM=OD，且AD=OD（已证）
∴ DM=AD，即△ADM为等腰三角形
∴ ∠DAM=$\frac{180°-120°}{2}$=30°
∴ ∠OAM=∠OAD+∠DAM=60°+30°=90°，即OA⊥AM
又
∵ OA是⊙O的半径
∴ AM与⊙O相切。
【答案】
(1) 四边形ABOD为菱形，证明成立；(2) AM与⊙O相切。
【知识点】
圆周角定理，菱形判定，切线判定
【点评】
本题综合考查圆的基础性质、特殊四边形判定和切线判定，解题核心是利用圆周角和圆心角的数量关系得到60°特殊角，构造出等边三角形推导边、角的等量关系，整体逻辑连贯，能有效检验学生对圆相关基础定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
6. 一题多解 易错题 如图，在平面直角坐标系中，过格点$A$，$B$，$C$作一段圆弧，下列格点中，与点$B$的连线能够与该圆弧相切的是（
A.点$(0,3)$
B.点$(1,3)$
C.点$(6,0)$
D.点$(6,1)$
B
）A.点$(0,3)$
B.点$(1,3)$
C.点$(6,0)$
D.点$(6,1)$
答案
6. B 解法一:如图①,$\because$ 过格点 $A,B,C$ 作一段圆弧,$\therefore$ 易得三点所在圆的圆心为 $O'(2,0)$. 当 $O'B ⊥ EF$ 时,直线 $BF$ 与圆弧相切,此时 $E(1,3)$,$F(5,1)$. $\therefore$ 选项所给的格点中,与点 $B$ 的连线能够与该圆弧相切的是点 $(1,3)$.
解法二:如图②,$\because$ 过格点 $A,B,C$ 作一段圆弧,$\therefore$ 易得三点所在圆的圆心为 $O'(2,0)$. 当 $∠ O'BD+∠ EBF=90°$ 时,$BF$ 与圆弧相切,易得 $△ BO'D ≌ △ FBE$,$\therefore EF=BD=2$,$\therefore$ 点 $F$ 的坐标为 $(5,1)$. $\therefore$ 直线 $BF$ 上的格点满足题意.$\therefore$ 选项所给的格点中,与点 $B$ 的连线能够与该圆弧相切的是点 $(1,3)$.
解法二:如图②,$\because$ 过格点 $A,B,C$ 作一段圆弧,$\therefore$ 易得三点所在圆的圆心为 $O'(2,0)$. 当 $∠ O'BD+∠ EBF=90°$ 时,$BF$ 与圆弧相切,易得 $△ BO'D ≌ △ FBE$,$\therefore EF=BD=2$,$\therefore$ 点 $F$ 的坐标为 $(5,1)$. $\therefore$ 直线 $BF$ 上的格点满足题意.$\therefore$ 选项所给的格点中,与点 $B$ 的连线能够与该圆弧相切的是点 $(1,3)$.
解析
【分析】
解题思路：要判断某点与点B的连线是否和圆弧相切，首先需要确定这段圆弧所在圆的圆心：圆弧是圆的一部分，根据垂径定理，圆心必然在任意两条弦的垂直平分线上。先从网格中读出A、B、C三点的坐标，分别作两条弦的垂直平分线，交点就是圆弧的圆心。接下来结合切线的核心性质：圆的切线垂直于过切点的半径，只需要验证选项中的点与B的连线，是否和半径O'B互相垂直，即可判断该连线是否为圆弧的切线，最终选出符合条件的选项。
【解析】
1. 读取三点坐标：从网格可得A(1,2)，B(3,2)，C(4,1)。
2. 求解圆弧所在圆的圆心：
弦AB为水平线段，A(1,2)、B(3,2)，AB中点为(2,2)，因此AB的垂直平分线为直线x=2；
弦BC的端点为B(3,2)、C(4,1)，BC的斜率$k_{BC}=\frac{1-2}{4-3}=-1$，因此BC的垂直平分线斜率为1，BC中点为(3.5,1.5)，可得BC垂直平分线方程为$y-1.5=x-3.5$，整理得$y=x-2$；
联立$x=2$和$y=x-2$，解得$y=0$，即圆弧所在圆的圆心为$O'(2,0)$。
3. 结合切线性质验证选项：
半径$O'B$的斜率$k_{O'B}=\frac{2-0}{3-2}=2$，若直线切圆弧于B，则该直线斜率$k$满足$k· k_{O'B}=-1$，即切线斜率为$-\frac{1}{2}$。
选项A：点(0,3)与B连线的斜率为$\frac{3-2}{0-3}=-\frac{1}{3}$，不符合要求；
选项B：点(1,3)与B连线的斜率为$\frac{3-2}{1-3}=-\frac{1}{2}$，满足垂直条件，该连线是圆弧的切线；
选项C：点(6,0)与B连线的斜率为$\frac{0-2}{6-3}=-\frac{2}{3}$，不符合要求；
选项D：点(6,1)与B连线的斜率为$\frac{1-2}{6-3}=-\frac{1}{3}$，不符合要求。
因此符合条件的点为(1,3)。
【答案】B
【知识点】
垂径定理，切线的性质，坐标与图形
【点评】
本题是典型的易错题，核心突破口是利用垂径定理确定圆弧的圆心，不少同学会忽略“圆弧属于完整的圆，圆心在弦的垂直平分线上”这一关键点，后续结合切线与半径垂直的性质验证即可快速得到答案，综合考察了圆的基础性质和平面直角坐标系的相关计算能力。
【难度系数】
0.5
解题思路：要判断某点与点B的连线是否和圆弧相切，首先需要确定这段圆弧所在圆的圆心：圆弧是圆的一部分，根据垂径定理，圆心必然在任意两条弦的垂直平分线上。先从网格中读出A、B、C三点的坐标，分别作两条弦的垂直平分线，交点就是圆弧的圆心。接下来结合切线的核心性质：圆的切线垂直于过切点的半径，只需要验证选项中的点与B的连线，是否和半径O'B互相垂直，即可判断该连线是否为圆弧的切线，最终选出符合条件的选项。
【解析】
1. 读取三点坐标：从网格可得A(1,2)，B(3,2)，C(4,1)。
2. 求解圆弧所在圆的圆心：
弦AB为水平线段，A(1,2)、B(3,2)，AB中点为(2,2)，因此AB的垂直平分线为直线x=2；
弦BC的端点为B(3,2)、C(4,1)，BC的斜率$k_{BC}=\frac{1-2}{4-3}=-1$，因此BC的垂直平分线斜率为1，BC中点为(3.5,1.5)，可得BC垂直平分线方程为$y-1.5=x-3.5$，整理得$y=x-2$；
联立$x=2$和$y=x-2$，解得$y=0$，即圆弧所在圆的圆心为$O'(2,0)$。
3. 结合切线性质验证选项：
半径$O'B$的斜率$k_{O'B}=\frac{2-0}{3-2}=2$，若直线切圆弧于B，则该直线斜率$k$满足$k· k_{O'B}=-1$，即切线斜率为$-\frac{1}{2}$。
选项A：点(0,3)与B连线的斜率为$\frac{3-2}{0-3}=-\frac{1}{3}$，不符合要求；
选项B：点(1,3)与B连线的斜率为$\frac{3-2}{1-3}=-\frac{1}{2}$，满足垂直条件，该连线是圆弧的切线；
选项C：点(6,0)与B连线的斜率为$\frac{0-2}{6-3}=-\frac{2}{3}$，不符合要求；
选项D：点(6,1)与B连线的斜率为$\frac{1-2}{6-3}=-\frac{1}{3}$，不符合要求。
因此符合条件的点为(1,3)。
【答案】B
【知识点】
垂径定理，切线的性质，坐标与图形
【点评】
本题是典型的易错题，核心突破口是利用垂径定理确定圆弧的圆心，不少同学会忽略“圆弧属于完整的圆，圆心在弦的垂直平分线上”这一关键点，后续结合切线与半径垂直的性质验证即可快速得到答案，综合考察了圆的基础性质和平面直角坐标系的相关计算能力。
【难度系数】
0.5
