1. 下列条件中,不能得到等边三角形的是（）

A.有两个角等于$60°$的三角形
B.一边上的中线也是这条边上的高的三角形
C.底和腰相等的等腰三角形
D.三个外角都相等的三角形

1. B 解析:有两个角等于 $60°$ 的三角形是等边三角形,故选项A不符合题意;一边上的中线也是这边上的高的三角形不一定是等边三角形,如等腰三角形底边上的中线也是高,故选项B符合题意;由等腰三角形的底和腰相等可得三边相等,则为等边三角形,故选项C不符合题意;三个外角都相等的三角形是等边三角形,故选项D不符合题意.故选B.

2. (2025 · 西宁期中) 如图, 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $∠ C=90°,∠ A=30°$,线段 $AB$ 的垂直平分线分别交 $AC,AB$ 于点 $D,E$,连接 $BD$. 若 $CD=4$,则 $AD$ 的长为（）

A.4
B.8
C.12
D.16

2. B 解析: $\because DE$ 垂直平分 $AB, \therefore AD=BD, \therefore ∠ A=∠ ABD.$ $\because ∠ A=30°, \therefore ∠ ABD=30°, \therefore ∠ BDC=∠ A+∠ ABD=30°+$ $30°=60°. \because ∠ C=90°, \therefore ∠ CBD=30°. \because CD=4, \therefore BD=$ $2CD=8, \therefore AD=8.$ 故选 B.

3. 如图,$BD$是等边三角形$ABC$的边$AC$上的高,以点$D$为圆心,$DB$长为半径作弧交$BC$的延长线于点$E$,则$∠ DEC=$ （）

A.$20°$
B.$25°$
C.$30°$
D.$35°$

3. C 解析: 在等边 $△ ABC$ 中, $∠ ABC=60°, \because BD$ 是 $AC$ 边上的高, $\therefore BD$ 平分 $∠ ABC, \therefore ∠ CBD=\dfrac{1}{2}∠ ABC=30°. \because BD=$ $ED, \therefore ∠ DEC=∠ CBD=30°.$ 故选 C.

4. (2025·南通中考)南通是“建筑之乡”,工程建筑中经常采用三角形的结构.如图是屋架设计图的一部分,$E$ 是斜梁 $AC$ 的中点,立柱 $AD$,$EF$ 垂直于横梁 $BC$.若 $AC=4.8\ \mathrm{m}$,$∠ C=30°$,则 $EF$ 的长为$\mathrm{m}$.

4. 1.2 解析: $\because E$ 是斜梁 $AC$ 的中点, $AC=4.8\ \mathrm{m}, \therefore CE=$ $\dfrac{1}{2}AC=2.4\ \mathrm{m}. \because EF⊥ BC, \therefore ∠ EFC=90°. \because ∠ C=30°,$ $\therefore EF=\dfrac{1}{2}CE=1.2\ \mathrm{m}.$

5. (2024·泰安中考改编) 如图,直线 $l // m$,等边三角形 $ABC$ 的两个顶点 $B,C$ 分别落在直线$l,m$ 上, 若 $∠ ABE=21°$, 则 $∠ ACD$ 的度数是.

5. $39°$ 解析: 如图所示, 过点 $A$ 作 $AF// l, \because l// m, \therefore l// m// AF$ (平行于同一直线的两直线相互平行). $\because ∠ ABE=21°,$ $\therefore ∠ BAF=∠ ABE=21°, ∠ ACD=∠ CAF,$ 由等边三角形的性质可得 $∠ BAC=60°, \therefore ∠ CAF=60°-21°=39°, \therefore ∠ ACD=$ $39°.$

6. (鄂尔多斯中考改编) 如图, $∠ AOE=15°$, $OE$ 平分 $∠ AOB$, $DE // OB$ 交 $OA$ 于点 $D$, $EC ⊥ OB$, 垂足为 $C$. 若 $EC=2$, 则 $OD$ 的长为.

6. 4 解析: 过点 $E$ 作 $EH⊥ OA$ 于点 $H. \because OE$ 平分 $∠ AOB, EC⊥$ $OB, \therefore EH=EC. \because ∠ AOE=15°, OE$ 平分 $∠ AOB, \therefore ∠ AOC=$ $2∠ AOE=30°. \because DE// OB, \therefore ∠ ADE=∠ AOB=30°, \therefore DE=$ $2HE=2EC. \because EC=2, \therefore DE=4. \because ∠ ADE=30°, ∠ AOE=15°,$ $\therefore ∠ DEO=15°, \therefore ∠ AOE=∠ DEO, \therefore OD=DE=4.$

7. 已知:如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$为$AC$的中点,$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ BC$,垂足分别为$E$,$F$,且$DE=DF$.求证:$△ ABC$是等边三角形.

7. $\because D$ 为 $AC$ 的中点, $\therefore AD=DC.$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 与 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中, $\begin{cases} AD=CD, \\ DE=DF, \end{cases} \therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ CDF, \therefore ∠ A=∠ C. \because AB=$ $AC, \therefore ∠ B=∠ C, \therefore ∠ A=∠ B=∠ C, \therefore △ ABC$ 是等边三角形.

8. (2025·无锡期中) 如图, 在等边 $△ ABC$ 中, $AD=BE,BD,CE$ 相交于点 $F$.
(1) 求 $∠ CFD$ 的度数;
(2) 过点 $B$ 作 $BG ⊥ CE$, 垂足为 $G$. 若 $DF=1$, $FG=3$, 则 $CE$ 的长为.

8. (1) $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore AB=BC, ∠ ABC=∠ ACB=$ $60°.$ 在 $△ ABD$ 和 $△ BCE$ 中, $\begin{cases} AB=BC, \\ ∠ DAB=∠ EBC, \\ AD=BE, \end{cases} \therefore △ ABD≌$ $△ BCE\ (\mathrm{SAS}), \therefore ∠ ABD=∠ BCE. \because ∠ CFD=∠ BCE+$ $∠ CBD=∠ ABD+∠ CBD=∠ ABC, \therefore ∠ CFD=60°.$
(2) 7 解析: $\because BG⊥ CE, ∠ CFD=∠ BFG=60°, \therefore ∠ FBG=$ $30°, \therefore BF=2FG=6, \therefore BD=BF+DF=7.$ 又 $\because △ ABD≌$ $△ BCE, \therefore CE=BD=7.$