23.(8分)综合实践:为弘扬“数学家之乡”的优良文化传统,某校开展数学节活动,并购买了鲁班锁和九连环两种活动道具。
【素材1】1件鲁班锁和2件九连环共52元;3件鲁班锁和4件九连环共120元。
【素材2】选取部分鲁班锁和10件九连环,加印数学节logo后作为奖品。加印logo的费用均为每件2元。已知两种道具未加印的共12件,购买和加印的总费用为520元。
任务1:求鲁班锁和九连环的单价。
任务2:学校购买的鲁班锁和九连环分别是多少件?

23.解:【任务1】设鲁班锁的单价为$x$元/件,九连环的单价为$y$元/件。由题意,得$\begin{cases}x+2y=52,\\3x+4y=120,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=16,\\y=18。\end{cases}$答:鲁班锁的单价为16元/件,九连环的单价为18元/件。
【任务2】解法1:设鲁班锁买了$m$件,九连环买了$n$件,则九连环未加印的有$(n-10)$件,鲁班锁未加印的有$12-(n-10)=(22-n)$(件),所以鲁班锁加印的有$m-(22-n)=(m+n-22)$(件),所以$16m+18n+2(m+n-22)+2×10=520$,化简,得$9m+10n=272$,所以$n=\frac{272-9m}{10}$。因为$m,n$均为正整数且$n＞10$,所以$\begin{cases}m=8,\\n=20\end{cases}$或$\begin{cases}m=18,\\n=11。\end{cases}$答:学校购买的鲁班锁和九连环分别为8件、20件或18件、11件。
解法2:设未加印的鲁班锁$a$件,加印的鲁班锁$b$件,则未加印的九连环$(12-a)$件。由题意可得$16a+18b+18(12-a)+20×10=520$,化简,得$a=9b-52$。因为$a,b$均为正整数,且$a＜12$,所以$\begin{cases}a=2,\\b=6\end{cases}$或$\begin{cases}a=11,\\b=7。\end{cases}$$2+6=8$(件),$11+7=18$(件)。答:学校购买的鲁班锁为8件或18件,对应的九连环为20件或11件。