22. (10 分)某商家决定购进“哪吒”“敖丙”两种纪念品进行销售,已知购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元;购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元.
(1)购进“哪吒”“敖丙”两种纪念品每件各需要多少元?
(2)该商场计划用不超过3 100元的资金购进“哪吒”“敖丙”两种纪念品共120件,则最多能购进“哪吒”纪念品多少件?
(3)在(2)的条件下,若每件“哪吒”纪念品的售价为40元,每件“敖丙”纪念品的售价为25元,要使销售完这120件纪念品所获得的利润不低于940元,则该商场有哪些可行的进货方案?

22.【点拨】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式的应用,解题关键是找准等量关系正确列出二元一次方程组;根据各数量之间的关系正确列出一元一次不等式.
【解析】(1)设购进“哪吒”“敖丙”两种纪念品每件各需要x元、y元,依题意得$\begin{cases}x+2y=70,\\3x+y=110,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=30,\\y=20.\end{cases}$
答:购进“哪吒”“敖丙”两种纪念品每件各需要30元、20元;
(2)设购进“哪吒”纪念品为a件,则购进“敖丙”纪念品为$(120-a)$件,依题意得$30a+20(120-a)≤3100$,解得$a≤70$.
答:最多能购进“哪吒”纪念品70件;
(3)设购进“哪吒”纪念品为m件,则购进“敖丙”纪念品为$(120-m)$件.
依题意得$(40-30)m+(25-20)×(120-m)≥940$,解得$m≥68$,
由(2)可得$m≤70$,则$m=68,69,70$.
所以可行的方案有以下三种:购进“哪吒”纪念品为68件,购进“敖丙”纪念品为52件;购进“哪吒”纪念品为69件,购进“敖丙”纪念品为51件;购进“哪吒”纪念品为70件,购进“敖丙”纪念品为50件.

23. (11分)【问题情境】在数学课上,老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动.已知直线$AB// CD$,$E,G$分别为直线$AB,CD$上的点,$F$是$AB$与$CD$之间任意一点,连接$EF$,$GF$.直线$l// FG$,直线$l$分别交$AB,CD$于$M,N$两点.
【探索发现】(1)如图1,求证:$∠ BMN = ∠ FGC$;
【深入探究】(2)如图1,求证:$∠ EFG = ∠ MEF + ∠ BMN$;
【拓广探索】(3)如图2,$ER$平分$∠ FEB$,$GR$平分$∠ FGD$,过点$F$作$FG$的垂线交$CD$于点$H$,连接$MH$,若$∠ HMN = \frac{1}{8}∠ ERG$,$∠ FHD - ∠ AEF = 34°$,求$∠ HMN$的度数.

23.【点拨】本题考查平行线的性质、角平分线的性质,解题关键是作出辅助线、熟练掌握平行线的性质.
【解析】(1)证明:$\because$ 直线$l// FG,\therefore ∠FGC=∠MNC$.
$\because AB// CD,\therefore ∠MNC=∠BMN,\therefore ∠BMN=∠FGC$;

(2)证明:如图1,延长EF交MN于点P,过点P作$PQ// AB$交FG于点Q,$\therefore ∠MEF=∠EPQ,∠BMN=∠QPN$,$\therefore ∠MEF+∠BMN=∠EPQ+∠QPN=∠EPN$.
$\because$ 直线$l// FG,\therefore ∠EPN=∠EFG$,
$\therefore ∠EFG=∠MEF+∠BMN$;

(3)设$∠AEF=2x$,则$∠FEB=180^{\circ }-∠AEF=180^{\circ }-2x$.
$\because ER$平分$∠FEB,\therefore ∠BER=\frac{1}{2}∠FEB=90^{\circ }-x$.
$\because ∠FHD-∠AEF=34^{\circ },\therefore ∠FHD=34^{\circ }+2x$.
如图2,过点G作$GK// FH$,$\because ∠HFG=90^{\circ }$,
$\therefore ∠FGK=∠HFG=90^{\circ }$,
$∠KGD=∠FHD=34^{\circ }+2x$,
$\therefore ∠FGD=∠FGK+∠KGD=124^{\circ }+2x$.
$\because GR$平分$∠FGD,\therefore ∠RGD=\frac{1}{2}∠FGD=62^{\circ }+x$.
过点R作$RT// CD,\therefore ∠TRG=∠RGD=62^{\circ }+x$.
$\because AB// CD,RT// CD,\therefore AB// RT,\therefore ∠ERT=∠BER=90^{\circ }-x$,
$\therefore ∠ERG=∠ERT+∠TRG=90^{\circ }-x+62^{\circ }+x=152^{\circ }$.
$\because ∠HMN=\frac{1}{8}∠ERG,\therefore ∠HMN=19^{\circ }$.