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五、解答题。(共25分)
1. 马拉松(Marathon)长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目。2024南通马拉松吸引了近2.5万名来自世界各地的跑友相聚。本次赛事共设全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目。全程马拉松全长约42千米,比欢乐跑全长的7倍少3.5千米。欢乐跑全长多少千米?(列方程解答)(4分)
1. 马拉松(Marathon)长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目。2024南通马拉松吸引了近2.5万名来自世界各地的跑友相聚。本次赛事共设全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目。全程马拉松全长约42千米,比欢乐跑全长的7倍少3.5千米。欢乐跑全长多少千米?(列方程解答)(4分)
答案
1. 设欢乐跑全长$x$千米。 $7x-3.5=42$ $x=6.5$
解析
【分析】
这道题要求用列方程的方法解答，首先我们需要从题干描述里提取核心等量关系：全程马拉松的长度 = 欢乐跑全长的7倍 - 3.5千米。首先将未知的欢乐跑全长设为x千米，再把已知的全程马拉松长度42千米代入梳理好的等量关系，就能列出对应的一元一次方程，最后按照解方程的步骤求出x的取值即可，解题时要注意准确对应“比几倍少几”的表述，不要弄反加减关系。
【解析】
1. 设未知量：根据题意，设欢乐跑全长为$x$千米。
2. 列方程：根据“全程马拉松全长约42千米，比欢乐跑全长的7倍少3.5千米”，可得等式：
$7x - 3.5 = 42$
3. 解方程：
将常数项移到等号右侧，计算得：
$7x = 42 + 3.5$
$7x = 45.5$
等号两侧同时除以7，解得：
$x = 6.5$
【答案】
欢乐跑全长6.5千米
【知识点】
列方程解应用题，一元一次方程求解
【点评】
本题是小学阶段方程应用的常规基础题，核心考查学生把文字描述的倍数差关系转化为数学等式的能力，难度较低，解题的易错点是误把“比7倍少3.5”列成$7x+3.5=42$，只要准确梳理等量关系就可以轻松得分。
【难度系数】
0.8
这道题要求用列方程的方法解答，首先我们需要从题干描述里提取核心等量关系：全程马拉松的长度 = 欢乐跑全长的7倍 - 3.5千米。首先将未知的欢乐跑全长设为x千米，再把已知的全程马拉松长度42千米代入梳理好的等量关系，就能列出对应的一元一次方程，最后按照解方程的步骤求出x的取值即可，解题时要注意准确对应“比几倍少几”的表述，不要弄反加减关系。
【解析】
1. 设未知量：根据题意，设欢乐跑全长为$x$千米。
2. 列方程：根据“全程马拉松全长约42千米，比欢乐跑全长的7倍少3.5千米”，可得等式：
$7x - 3.5 = 42$
3. 解方程：
将常数项移到等号右侧，计算得：
$7x = 42 + 3.5$
$7x = 45.5$
等号两侧同时除以7，解得：
$x = 6.5$
【答案】
欢乐跑全长6.5千米
【知识点】
列方程解应用题，一元一次方程求解
【点评】
本题是小学阶段方程应用的常规基础题，核心考查学生把文字描述的倍数差关系转化为数学等式的能力，难度较低，解题的易错点是误把“比7倍少3.5”列成$7x+3.5=42$，只要准确梳理等量关系就可以轻松得分。
【难度系数】
0.8
2. 一个无盖的长方体玻璃鱼缸,长10分米,宽6分米,高7分米。
(1) 做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米?(3分)
(2) 若往鱼缸里放入330升水,水面离缸口多少分米?(3分)
(1) 做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米?(3分)
(2) 若往鱼缸里放入330升水,水面离缸口多少分米?(3分)
答案
2.（1）$10×6+(10×7+6×7)×2=284$(平方分米) （2）330升=330立方分米 $330÷(10×6)=5.5$(分米) $7-5.5=1.5$(分米)
解析
【分析】
这道题是长方体表面积和体积的实际应用问题，解题思路如下：
1. 第(1)问求无盖鱼缸的玻璃面积，首先明确无盖长方体缺少顶面（长×宽的面），因此只需要计算1个底面的面积，加上前后、左右共4个侧面的面积之和即可，不需要额外计算顶面的面积。
2. 第(2)问求水面离缸口的距离，首先要把容积单位升转换为体积单位立方分米（1升=1立方分米），再根据长方体体积公式“体积=长×宽×高”逆推，用水的体积除以鱼缸的底面积得到当前水面的实际高度，最后用鱼缸的总高度减去水面高度，就能得到水面距离缸口的长度。
【解析】
(1) 计算无盖鱼缸的所需玻璃面积：
无盖长方体表面积 = 底面积 + 2×长×高 + 2×宽×高
代入数值计算：
$\begin{aligned}S&=10×6 + (10×7 + 6×7)×2\\&=60 + 112×2\\&=284 \ (\mathrm{平方分米})\end{aligned}$
(2) 计算水面离缸口的距离：
首先统一单位：330升 = 330立方分米
鱼缸底面积为：$10×6=60$（平方分米）
水面实际高度为：$330÷60=5.5$（分米）
水面到缸口的距离为：$7-5.5=1.5$（分米）
【答案】
(1) 做这个鱼缸至少需要玻璃284平方分米；(2) 水面离缸口1.5分米。
【知识点】
长方体表面积计算，长方体体积计算，容积单位换算
【点评】
本题是长方体相关知识的生活实际应用题，属于常考基础题型，易错点在于第一问容易忽略“无盖”的条件多算一个顶面的面积，第二问要注意容积和体积单位的对应关系，熟练掌握体积公式的逆用即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
这道题是长方体表面积和体积的实际应用问题，解题思路如下：
1. 第(1)问求无盖鱼缸的玻璃面积，首先明确无盖长方体缺少顶面（长×宽的面），因此只需要计算1个底面的面积，加上前后、左右共4个侧面的面积之和即可，不需要额外计算顶面的面积。
2. 第(2)问求水面离缸口的距离，首先要把容积单位升转换为体积单位立方分米（1升=1立方分米），再根据长方体体积公式“体积=长×宽×高”逆推，用水的体积除以鱼缸的底面积得到当前水面的实际高度，最后用鱼缸的总高度减去水面高度，就能得到水面距离缸口的长度。
【解析】
(1) 计算无盖鱼缸的所需玻璃面积：
无盖长方体表面积 = 底面积 + 2×长×高 + 2×宽×高
代入数值计算：
$\begin{aligned}S&=10×6 + (10×7 + 6×7)×2\\&=60 + 112×2\\&=284 \ (\mathrm{平方分米})\end{aligned}$
(2) 计算水面离缸口的距离：
首先统一单位：330升 = 330立方分米
鱼缸底面积为：$10×6=60$（平方分米）
水面实际高度为：$330÷60=5.5$（分米）
水面到缸口的距离为：$7-5.5=1.5$（分米）
【答案】
(1) 做这个鱼缸至少需要玻璃284平方分米；(2) 水面离缸口1.5分米。
【知识点】
长方体表面积计算，长方体体积计算，容积单位换算
【点评】
本题是长方体相关知识的生活实际应用题，属于常考基础题型，易错点在于第一问容易忽略“无盖”的条件多算一个顶面的面积，第二问要注意容积和体积单位的对应关系，熟练掌握体积公式的逆用即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
3. 甲、乙两辆汽车同时从A、B两地出发,相向而行。当两车相遇时,甲车行了全程的$\frac{3}{7}$。乙车比甲车多行70千米,A、B两地相距多少千米?(5分)
答案
3. $70÷(1-\frac{3}{7}-\frac{3}{7})=490$(千米)
解析
【分析】
我们可以把A、B两地的总距离看作单位“1”，两车相向而行相遇时，两车行驶的路程之和刚好等于全程。已知甲车行驶了全程的$\frac{3}{7}$，首先可以算出乙车行驶的路程占全程的比例，接着求出乙车比甲车多行驶的路程对应的占全程的分率，题目给出乙车比甲车多行70千米，这个70千米就是路程差的具体数值，用具体的路程差除以它对应的占全程的分率，就可以求出作为单位“1”的A、B两地的总距离。
【解析】
1. 先计算相遇时乙车行驶的路程占全程的比例：
两车相遇时总路程刚好等于全程，因此乙车的路程占比为：$1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$
2. 计算乙车比甲车多行驶的路程占全程的分率：
$\frac{4}{7}-\frac{3}{7}=\frac{1}{7}$
3. 用路程差除以对应分率求出全程：
已知乙比甲多行70千米，该数值对应的分率为$\frac{1}{7}$，代入计算得：
$70÷(1-\frac{3}{7}-\frac{3}{7})=70÷\frac{1}{7}=490$（千米）
【答案】
A、B两地相距490千米
【知识点】
分数除法应用题，相遇问题，单位“1”求解
【点评】
本题是分数知识点和相遇问题结合的基础应用题，不需要额外计算两车的行驶速度，核心解题逻辑是利用“对应量÷对应分率=单位1总量”求解，易错点是部分同学会错误计算乙车的路程占比，导致路程差对应的分率计算出错。
【难度系数】
0.7
我们可以把A、B两地的总距离看作单位“1”，两车相向而行相遇时，两车行驶的路程之和刚好等于全程。已知甲车行驶了全程的$\frac{3}{7}$，首先可以算出乙车行驶的路程占全程的比例，接着求出乙车比甲车多行驶的路程对应的占全程的分率，题目给出乙车比甲车多行70千米，这个70千米就是路程差的具体数值，用具体的路程差除以它对应的占全程的分率，就可以求出作为单位“1”的A、B两地的总距离。
【解析】
1. 先计算相遇时乙车行驶的路程占全程的比例：
两车相遇时总路程刚好等于全程，因此乙车的路程占比为：$1-\frac{3}{7}=\frac{4}{7}$
2. 计算乙车比甲车多行驶的路程占全程的分率：
$\frac{4}{7}-\frac{3}{7}=\frac{1}{7}$
3. 用路程差除以对应分率求出全程：
已知乙比甲多行70千米，该数值对应的分率为$\frac{1}{7}$，代入计算得：
$70÷(1-\frac{3}{7}-\frac{3}{7})=70÷\frac{1}{7}=490$（千米）
【答案】
A、B两地相距490千米
【知识点】
分数除法应用题，相遇问题，单位“1”求解
【点评】
本题是分数知识点和相遇问题结合的基础应用题，不需要额外计算两车的行驶速度，核心解题逻辑是利用“对应量÷对应分率=单位1总量”求解，易错点是部分同学会错误计算乙车的路程占比，导致路程差对应的分率计算出错。
【难度系数】
0.7
4. 将A、B两种积木没有规律地横排拼接成一个大的长方体(如图),已知大长方体总长是36厘米,一共用了10块积木。A、B两种积木各用了多少块?(5分)
答案
4. B积木:$(10×5-36)÷(5-3)=7$(块) A积木:$10-7=3$(块)
解析
【分析】
这是典型的鸡兔同笼类应用题，优先用假设法解题：已知两种积木总共有10块，A积木单块长5cm，B积木单块长3cm，拼接后总长度为36cm。我们可以先假设10块全是A积木，算出假设状态下的总长度，对比实际总长度得到多出的总长度；这个差值是因为把每块B积木错当成A积木，每块多算了(5-3)cm，用总差值除以单块的长度差，就能算出B积木的数量，最后用总块数减去B积木的数量即可得到A积木的数量。
【解析】
我们通过假设法分步计算：
1. 假设全部10块积木都是A积木，此时拼接总长度为：
$10×5=50\ \mathrm{cm}$
2. 假设的总长度比实际总长度多出的部分为：
$50-36=14\ \mathrm{cm}$
3. 每将1块B积木错算成A积木，长度会多算：
$5-3=2\ \mathrm{cm}$
4. 因此B积木的总数量为：
$14÷2=7\ \mathrm{块}$
5. 最终得到A积木的数量为总块数减去B积木数量：
$10-7=3\ \mathrm{块}$
【答案】
A积木用了3块，B积木用了7块。
【知识点】
鸡兔同笼假设法，整数四则运算
【点评】
本题将经典鸡兔同笼模型融入积木拼接的实际场景，解题核心是利用假设法构造长度差值，通过单块积木的长度差反推两类积木的数量，解题时需要注意不要混淆两种积木对应的计算结果，避免把A、B的数量写反。
【难度系数】
0.7
这是典型的鸡兔同笼类应用题，优先用假设法解题：已知两种积木总共有10块，A积木单块长5cm，B积木单块长3cm，拼接后总长度为36cm。我们可以先假设10块全是A积木，算出假设状态下的总长度，对比实际总长度得到多出的总长度；这个差值是因为把每块B积木错当成A积木，每块多算了(5-3)cm，用总差值除以单块的长度差，就能算出B积木的数量，最后用总块数减去B积木的数量即可得到A积木的数量。
【解析】
我们通过假设法分步计算：
1. 假设全部10块积木都是A积木，此时拼接总长度为：
$10×5=50\ \mathrm{cm}$
2. 假设的总长度比实际总长度多出的部分为：
$50-36=14\ \mathrm{cm}$
3. 每将1块B积木错算成A积木，长度会多算：
$5-3=2\ \mathrm{cm}$
4. 因此B积木的总数量为：
$14÷2=7\ \mathrm{块}$
5. 最终得到A积木的数量为总块数减去B积木数量：
$10-7=3\ \mathrm{块}$
【答案】
A积木用了3块，B积木用了7块。
【知识点】
鸡兔同笼假设法，整数四则运算
【点评】
本题将经典鸡兔同笼模型融入积木拼接的实际场景，解题核心是利用假设法构造长度差值，通过单块积木的长度差反推两类积木的数量，解题时需要注意不要混淆两种积木对应的计算结果，避免把A、B的数量写反。
【难度系数】
0.7
5. 一个圆锥形状的铅锤分别从正面和上面观察(如下图所示),将这个铅锤完全浸没在一个底面直径是10厘米的圆柱形容器中,量得水面高度为15厘米。如果将这个铅锤取出,水面将会下降多少厘米?(5分)
答案
5. $\frac{π×(4÷2)^2×6×\frac{1}{3}}{π×(10÷2)^2}=0.32$(厘米)
解析
【分析】
这道题的核心是利用排水法的原理求解水面下降高度，思考步骤如下：
1. 首先明确等量关系：铅锤完全浸没在水中，取出铅锤后，水面下降部分形成的小圆柱的体积，就等于圆锥铅锤自身的体积。
2. 结合题目给出的正视图和俯视图，可得到圆锥铅锤的底面直径为4厘米、高为6厘米，先代入圆锥体积公式算出铅锤的总体积。
3. 再根据圆柱形容器的底面直径，算出容器的底面积。
4. 用铅锤的体积除以容器的底面积，就能得到水面下降的高度，计算时π可以直接约去，简化运算。
【解析】
解：
① 由视图可得圆锥铅锤的底面直径为4cm，高为6cm，先计算圆锥体积：
圆锥底面半径 $r_锥 = 4÷2 = 2\ \mathrm{cm}$
圆锥体积公式 $V_锥 = \frac{1}{3}π r_锥^2 h_锥$
代入数值：$V_锥 = \frac{1}{3} × π × 2^2 × 6 = 8π\ \mathrm{cm}^3$
② 计算圆柱形容器的底面积：
容器底面半径 $r_容 = 10÷2 =5\ \mathrm{cm}$
圆柱底面积公式 $S_容 = π r_容^2$
代入数值：$S_容 = π × 5^2 =25π\ \mathrm{cm}^2$
③ 水面下降高度等于圆锥体积除以容器底面积：
$h_{降} = V_锥 ÷ S_容 = \frac{π×(4÷2)^2×6×\frac{1}{3}}{π×(10÷2)^2}=0.32\ \mathrm{cm}$
【答案】
水面将会下降0.32厘米
【知识点】
圆锥体积计算，圆柱体积计算，排水法求体积
【点评】
本题结合三视图识别圆锥参数，考查排水法的体积等量关系，易错点是计算圆锥体积时漏乘三分之一，运算中可直接约去π简化计算，不需要额外代入π的数值。
【难度系数】
0.65
这道题的核心是利用排水法的原理求解水面下降高度，思考步骤如下：
1. 首先明确等量关系：铅锤完全浸没在水中，取出铅锤后，水面下降部分形成的小圆柱的体积，就等于圆锥铅锤自身的体积。
2. 结合题目给出的正视图和俯视图，可得到圆锥铅锤的底面直径为4厘米、高为6厘米，先代入圆锥体积公式算出铅锤的总体积。
3. 再根据圆柱形容器的底面直径，算出容器的底面积。
4. 用铅锤的体积除以容器的底面积，就能得到水面下降的高度，计算时π可以直接约去，简化运算。
【解析】
解：
① 由视图可得圆锥铅锤的底面直径为4cm，高为6cm，先计算圆锥体积：
圆锥底面半径 $r_锥 = 4÷2 = 2\ \mathrm{cm}$
圆锥体积公式 $V_锥 = \frac{1}{3}π r_锥^2 h_锥$
代入数值：$V_锥 = \frac{1}{3} × π × 2^2 × 6 = 8π\ \mathrm{cm}^3$
② 计算圆柱形容器的底面积：
容器底面半径 $r_容 = 10÷2 =5\ \mathrm{cm}$
圆柱底面积公式 $S_容 = π r_容^2$
代入数值：$S_容 = π × 5^2 =25π\ \mathrm{cm}^2$
③ 水面下降高度等于圆锥体积除以容器底面积：
$h_{降} = V_锥 ÷ S_容 = \frac{π×(4÷2)^2×6×\frac{1}{3}}{π×(10÷2)^2}=0.32\ \mathrm{cm}$
【答案】
水面将会下降0.32厘米
【知识点】
圆锥体积计算，圆柱体积计算，排水法求体积
【点评】
本题结合三视图识别圆锥参数，考查排水法的体积等量关系，易错点是计算圆锥体积时漏乘三分之一，运算中可直接约去π简化计算，不需要额外代入π的数值。
【难度系数】
0.65
