23. (10分)某大型商场推出分时段促销:礼盒A每盒480元,礼盒B每盒280元,礼盒C每盒180元.其中10:00~17:00为特惠时段,所有商品降价100元.
(1)小红在特惠时段购买礼盒A与礼盒B共7盒,总花费为1 860元,礼盒A和礼盒B各买了多少盒?
(2)若计划在非特惠时段内购买礼盒A与礼盒C共10盒,且预算不超过2 100元,礼盒C最少购买多少盒?
(3)小明在特惠时段购买礼盒B与礼盒C若干盒,共花费1 620元,有哪些购买方案?

23. 【点拨】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及二元一次方程的应用.
【解析】(1)设礼盒A买了x盒,礼盒B买了y盒.
根据题意,得$\begin{cases}x + y =7,\\(480-100)x + (280-100)y = 1860,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=3,\\y=4.\end{cases}$
答:礼盒A买了3盒,礼盒B买了4盒.
(2)设礼盒C购买a盒,则礼盒A购买(10 - a)盒.
根据题意,得480(10 - a) + 180a ≤ 2100,解得a ≥ 9.
答:礼盒C最少购买9盒.
(3)设礼盒B购买m盒,礼盒C购买n盒.
根据题意,得(280 - 100)m + (180 - 100)n = 1620,整理得9m + 4n = 81.
∵ m,n均为正整数,
∴ $\begin{cases}m=1,\\n=18\end{cases}$或$\begin{cases}m=5,\\n=9.\end{cases}$
∴ 共有两种购买方案:
①礼盒B购买1盒,礼盒C购买18盒;
②礼盒B购买5盒,礼盒C购买9盒.

24. (6分)已知$a,b$为正数.
(1)若$a^2 + b^2 = 5$,证明:$ab$的最大值为$\frac{5}{2}$;
(2)若$a + b = 5$,用完全平方公式求$ab$的最大值.
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24. 【点拨】本题考查完全平方公式的应用,熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
【解析】(1)证明:
∵ $(a-b)^2 ≥ 0$,即$a^2 - 2ab + b^2 ≥ 0$,
∴ 2ab ≤ a² + b².
∵ a² + b² = 5,
∴ 2ab ≤ 5,
∴ ab ≤ $\frac{5}{2}$,
∴ ab的最大值为$\frac{5}{2}$.
(2)
∵ $(a-b)^2=(a+b)^2 -4ab=5^2 -4ab=25 -4ab≥0$,
∴ ab ≤ $\frac{25}{4}$,
∴ ab的最大值为$\frac{25}{4}$.