1.(2025·南京期中)下列方程是一元二次方程的是 （）

A.$x^{2}+x=0$
B.$\dfrac{1}{x}+x-3=0$
C.$x+2y-3=0$
D.$2x+1=0$

1. A

【分析】
要选出属于一元二次方程的选项，首先需要明确一元二次方程的三个核心判定条件：①属于整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，三个条件必须同时满足。接下来我们逐个核对每个选项，排除不符合条件的选项，就能得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的判定三要素：
1. 方程为整式方程（分母不含未知数）；
2. 方程中仅含有一个未知数；
3. 未知数的最高次数是2。
对各选项逐一分析：
选项A：$x^2+x=0$，是整式方程，仅含未知数$x$，且$x$的最高次数为2，同时满足三个条件，属于一元二次方程；
选项B：$\dfrac{1}{x}+x-3=0$，分母中含有未知数$x$，属于分式方程，不满足“整式方程”的要求，不是一元二次方程；
选项C：$x+2y-3=0$，含有$x$、$y$两个未知数，属于二元一次方程，不满足“仅含一个未知数”的要求，不是一元二次方程；
选项D：$2x+1=0$，未知数的最高次数为1，属于一元一次方程，不满足“未知数最高次数为2”的要求，不是一元二次方程。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的定义，方程分类判定
【点评】
本题是一元二次方程章节的基础概念题，核心考察对一元二次方程定义的掌握，易错点是容易遗漏“整式方程”这个前提，误将分式方程判定为一元二次方程，解题时只要牢记定义的三个判定要素，逐个核对选项即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.9

2.(2025·高新区期中)关于$x$的一元二次方程$x^{2}-3x+2=0$中一次项的系数是.

2. $-3$

【分析】
这道题的核心是识别一元二次方程的一次项系数，我们首先要回忆一元二次方程的标准一般形式：$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其中二次项是$ax^2$，一次项是$bx$，常数项是c，对应的a是二次项系数，b就是一次项系数。我们只需要先定位题目给出的方程里的一次项，注意要连同项前面的正负号一起提取系数，就可以得到结果，这里很容易漏掉负号出错，要格外注意。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0\ (a≠0)$，其中$bx$为一次项，$b$为一次项系数。
在方程$x^2 - 3x + 2 = 0$中，含x的一次项为$-3x$，因此该方程的一次项系数是-3。
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程的一般形式
【点评】
本题属于一元二次方程章节的基础概念题，易错点是容易忽略一次项前的负号，误将结果写为3，同学们在识别方程各项系数时，需要将项连同它前面的符号作为整体判断，不要遗漏符号。
【难度系数】
0.9

3.(2025·淮安区期中)若$m$是方程$3x^{2}+x+4=0$的一个实数根，则代数式$3m^{2}+m+2025$的值为。

3. 2021

【分析】
这道题不需要直接求解一元二次方程得到m的具体值，我们可以利用方程的根的定义来思考：方程的根代入原方程后等式必然成立，把x=m代入给定方程，就能得到关于m的等式，整理后可以直接得到待求式中3m²+m部分的整体数值，再将这个数值整体代入待求代数式，就能快速算出结果，避免了复杂的求根运算。
【解析】
1. 根据一元二次方程的解的定义，因为m是方程$3x^2+x+4=0$的实数根，将x=m代入方程可得：
$3m^2 + m + 4 = 0$
2. 对上述等式移项整理，得到：
$3m^2 + m = -4$
3. 将$3m^2 + m = -4$代入代数式$3m^2 + m + 2025$，计算得：
原式$= -4 + 2025 = 2021$
【答案】
2021
【知识点】
一元二次方程的解，整体代入求值
【点评】
本题是非常典型的整体代换类求值题，核心考察对一元二次方程根的概念的理解，不需要直接求解方程就能得到结果，解题的关键是识别出待求式和原方程的结构关联，易错点是移项时符号处理错误，要注意从$3m^2+m+4=0$推导$3m^2+m$的结果时不要错写为4。
【难度系数】
0.8

4. 已知关于$x$的方程$(2k+1)x^{2}-4kx+k-1=0.$
(1) 当$k$ 时,此方程是一元一次方程;(2)当$k$ 时,此方程是一元二次方程.

4. (1)$=-\dfrac{1}{2}$ (2)$≠-\dfrac{1}{2}$

【分析】
我们可以根据一元一次方程、一元二次方程的核心定义分别推导k的取值：
1. 要让方程是一元一次方程，首先必须消去二次项，也就是二次项系数等于0，同时剩余的一次项系数不能为0，否则方程就不存在未知数，变成常数等式了。先令二次项系数2k+1=0解出k的值，再验证此时一次项系数是否不为0，就能得到第一问的结果。
2. 要让方程是一元二次方程，核心要求就是二次项系数不能为0，直接解不等式2k+1≠0就能得到k的取值范围。
【解析】
解：
(1) 若方程$(2k+1)x^{2}-4kx+k-1=0$是一元一次方程，
需满足二次项系数为0，且一次项系数不为0，列条件得：
$\begin{cases}2k+1=0 \\ -4k ≠ 0\end{cases}$
由$2k+1=0$解得$k=-\dfrac{1}{2}$，代入一次项系数$-4k$计算得$-4×(-\dfrac{1}{2})=2≠0$，满足要求，因此当$k=-\dfrac{1}{2}$时，方程是一元一次方程。
(2) 若方程$(2k+1)x^{2}-4kx+k-1=0$是一元二次方程，
需满足二次项系数不为0，即：
$2k+1≠0$
解得$k≠-\dfrac{1}{2}$，因此当$k≠-\dfrac{1}{2}$时，方程是一元二次方程。
【答案】
(1)$=-\dfrac{1}{2}$ (2)$≠-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
一元一次方程定义；一元二次方程定义
【点评】
本题是方程分类的基础概念题，易错点是判断一元一次方程时容易遗漏“一次项系数不为0”的验证步骤，本题中k取-1/2时一次项系数恰好不为0，最终结果成立，同学们后续遇到同类题目一定要注意对应次数项的系数不能为0的限制条件。
【难度系数】
0.9

5. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$5x^{2}-1=4x$；
(2)$4x^{2}=81$；
(3)$2x=x^{2}-3$.

5. 解:(1)整理,得$5x^{2}-4x-1=0$,二次项系数是5,一次项系数是$-4$,常数项是$-1$.
(2)整理,得$4x^{2}-81=0$,二次项系数是4,一次项系数是0,常数项是$-81$.
(3)整理,得$x^{2}-2x-3=0$,二次项系数是1,一次项系数是$-2$,常数项是$-3$.

【分析】
首先我们要明确一元二次方程的一般形式是$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），解题的核心思路就是通过移项、合并同类项，将原方程等号右侧的所有项全部移到左侧，让等号右侧为0，再按照二次项在前、一次项居中、常数项最后的顺序整理排列，之后对应识别各项的系数即可。需要注意移项时要改变被移动项的符号，若整理后没有某类项，说明该项的系数为0，不要遗漏负号导致系数取值错误。
【解析】
我们逐个对三个方程进行整理：
(1) 对$5x^2 -1 =4x$进行移项，将右侧的$4x$移到等号左侧并变号，整理得到一般形式：
$5x^2 -4x -1 =0$
对应可得二次项系数为5，一次项系数为-4，常数项为-1。
(2) 对$4x^2=81$进行移项，将右侧的81移到等号左侧并变号，整理得到一般形式：
$4x^2 -81 =0$
该方程没有一次项，因此一次项系数为0，对应可得二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为-81。
(3) 对$2x =x^2 -3$进行移项，将所有项移到等号左侧后调整顺序，整理得到标准一般形式：
$x^2 -2x -3 =0$
对应可得二次项系数为1，一次项系数为-2，常数项为-3。
【答案】
(1) 一般形式为$5x^{2}-4x-1=0$，二次项系数是5，一次项系数是$-4$，常数项是$-1$；(2) 一般形式为$4x^{2}-81=0$，二次项系数是4，一次项系数是0，常数项是$-81$；(3) 一般形式为$x^{2}-2x-3=0$，二次项系数是1，一次项系数是$-2$，常数项是$-3$。
【知识点】
一元二次方程一般形式；一元二次方程的系数
【点评】
本题属于一元二次方程章节的入门基础题，核心考察学生对一元二次方程一般形式的掌握程度，易错点集中在移项忘记变号、遗漏系数的负号、缺项时忘记对应系数为0，练习时要注意将整理后的方程严格对齐$ax^2+bx+c=0$的结构再识别系数。
【难度系数】
0.9

6. 已知关于 $x$ 的方程 $(k-3)x^{|k|-1}+(2k-3)x+4=0$ 是一元二次方程,则 $k$ 的值为 （）

A.$\pm3$
B.$3$
C.$-3$
D.不能确定

6. C

【分析】
要确定k的取值，首先回忆一元二次方程的核心定义要求：只含一个未知数，且未知数最高次数为2，同时二次项系数不能为0。我们可以先根据“未知数最高次数为2”列出绝对值方程求出k的候选值，再代入“二次项系数不为0”的限制条件，排除不符合要求的取值，就能得到最终正确的k值。
【解析】
解：已知方程$(k-3)x^{|k|-1}+(2k-3)x+4=0$是一元二次方程，需同时满足两个条件：
1. 未知数x的最高次数为2：
即 $|k| - 1 = 2$，
解得 $|k|=3$，也就是$k=3$或$k=-3$。
2. 二次项系数不为0：
即最高次项的系数$k-3≠0$，
解得 $k≠3$。
综合两个条件，排除$k=3$，最终得到$k=-3$。
【答案】C
【知识点】一元二次方程定义
【点评】本题的常见易错点是直接根据次数条件得到$k=\pm3$，忽略了一元二次方程二次项系数不能为0的限制，错选A。解题时要牢记一元二次方程的两个必备条件缺一不可。
【难度系数】0.6

7.(2025·涟水县期中)若$a$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x+m-3=0$的一个根，$b+3$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x+m+n=0$的一个根，且$n=-2b^{2}+2b-5$，则$n$的值为.

7. $-9$

【分析】
这道题的核心思路是利用一元二次方程根的定义，结合完全平方的非负性推导隐含条件求解。第一步，将根a代入第一个方程，整理后配方得到m的取值上限；第二步，将根b+3代入第二个方程，再把题目给出的n关于b的表达式代入，整理后配方得到m的取值下限；第三步，结合m的上下限得到m的确定值，利用平方非负性求出b的值，最后代入n的表达式算出结果。
【解析】
1. 把$x=a$代入一元二次方程$x^2+2x+m-3=0$，得：
$a^2 + 2a + m - 3 = 0$
对式子配方变形：
$a^2+2a+1 = 4 - m$，即$(a+1)^2 = 4 - m$
由于平方数具有非负性，因此$4 - m ≥ 0$，可得$m ≤ 4$。
2. 把$x=b+3$代入一元二次方程$x^2-4x+m+n=0$，得：
$(b+3)^2 - 4(b+3) + m + n = 0$
展开化简：
$b^2 + 6b + 9 - 4b -12 + m + n = 0$，即$b^2 + 2b - 3 + m + n = 0$
3. 将已知条件$n=-2b^2+2b-5$代入上式：
$b^2 + 2b - 3 + m -2b^2 + 2b -5 = 0$
整理得：
$m = b^2 -4b +8$
对右侧配方变形：
$m = (b-2)^2 + 4$
由于平方数具有非负性，因此$m ≥ 4$。
4. 结合$m ≤ 4$和$m ≥ 4$，可得$m=4$，此时：
$(a+1)^2 = 4 - 4 = 0$，且$(b-2)^2 + 4 = 4$，即$(b-2)^2=0$，解得$b=2$。
5. 将$b=2$代入$n=-2b^2+2b-5$：
$n = -2×2^2 + 2×2 -5 = -8 +4 -5 = -9$
【答案】
$-9$
【知识点】
一元二次方程根的定义，完全平方非负性，代数式配方
【点评】
本题没有直接硬解参数，而是通过两次代入根后配方，得到m的取值上下限，从而推导出m的确定值，巧妙利用非负数性质简化计算，考察学生对完全平方隐含条件的灵活运用能力。
【难度系数】
0.3

8. 一块长方形菜地的面积是 $150\ \mathrm{m^{2}}$, 如果它的长减少 $5\ \mathrm{m}$, 那么菜地就变成正方形. 设原菜地的长为 $x\ \mathrm{m}$, 则可列方程为.

8. $x(x-5)=150$

【分析】
我们先从题目给出的条件逐步推导：首先已知设原菜地的长为x m，题目说明长减少5m之后菜地就变成正方形，正方形的四条边长都相等，说明原长方形菜地的宽就等于长减少5m之后的长度，也就是宽比长少5m，由此可以先把宽用含x的代数式表示出来。接下来我们回忆长方形的面积计算公式：长方形面积=长×宽，题目已经给出面积是150 m²，把长、用x表示的宽、已知面积代入面积公式，就能直接列出对应的方程。
【解析】
解：已知原菜地的长为$x\ \mathrm{m}$，
因为长减少5 m后菜地变为正方形，正方形边长相等，因此原菜地的宽为$(x-5)\ \mathrm{m}$，
根据长方形面积公式：面积=长×宽，代入已知的面积$150\ \mathrm{m^2}$，可得方程：
$x(x-5)=150$
【答案】
$x(x-5)=150$
【知识点】
1. 长方形面积公式
2. 列一元二次方程
【点评】
本题的核心突破口是“长减少5m菜地就变成正方形”这个隐含条件，需要准确推导出长和宽的差量关系，部分同学容易出错把宽错写为$(x+5)$，只要明确正方形的边长等于原菜地的宽，就能避免这类错误，结合基础的面积公式即可轻松完成列方程。
【难度系数】
0.8

9. 若$x_{0}$是方程$ax^{2}+2x+c=0(a ≠ 0)$的一个根，设$M=1-ac$，$N=(ax_{0}+1)^{2}$，则$M$与$N$的大小关系为$M\_\_\_\_\_\_N$。（填“$＞$”“$＜$”或“$=$”）

9. $=$

【分析】
要比较M和N两个代数式的大小，我们优先选择作差法，通过计算二者差值的正负来判断大小关系。已知$x_0$是给定一元二次方程的根，根据方程根的定义，将$x_0$代入方程可以得到关于$x_0$的等量关系，我们不需要解出$x_0$的具体值，直接把这个等式作为整体代入展开后的N的表达式中化简，就能快速得到N和M的关系。
【解析】
解：
1. 利用方程根的性质：
因为$x_0$是方程$ax^2+2x+c=0(a≠0)$的根，将$x=x_0$代入方程可得：
$ax_0^2 + 2x_0 + c = 0$
整理得：$ax_0^2 + 2x_0 = -c$。
2. 展开并化简N：
将$N=(ax_0+1)^2$用完全平方公式展开：
$N = a^2x_0^2 + 2ax_0 + 1$
对右侧提取公因式a，可得：
$N = a(ax_0^2 + 2x_0) + 1$
3. 整体代入求值：
把$ax_0^2 + 2x_0 = -c$代入上式：
$N = a·(-c) + 1 = 1 - ac$
已知$M=1-ac$，因此$N=M$，即$M=N$。
【答案】
$=$
【知识点】
一元二次方程的根；作差法比较大小；完全平方公式
【点评】
本题核心考查整体代入的数学思想，无需计算方程根的具体数值，利用方程根的定义得到等量关系后直接代换化简，即可快速得到两个代数式的大小关系，避免了复杂的运算。
【难度系数】
0.7