4.用反证法证明:在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$.若$∠ A≠45°$,则$AC≠ BC$.

4.【证明】假设 AC=BC，则∠A=∠B.
∵∠C=90°，
∴∠B=∠A=45°.
这与∠A≠45°矛盾.
∴假设 AC=BC 不正确.
∴AC≠BC.

【分析】
要使用反证法证明该命题，需遵循反证法的三步逻辑思考：第一步反设，即假设待证结论不成立，本题需证“AC≠BC”，因此先假设它的反面“AC=BC”成立；第二步归谬，结合已知条件推导：由等腰三角形“等边对等角”的性质可得∠A=∠B，再结合∠C=90°，利用直角三角形两锐角互余的性质可算出∠A=45°，该结果和已知条件“∠A≠45°”冲突；第三步存真，推导出现矛盾说明假设不成立，因此原命题结论正确。
【解析】
证明：假设$AC=BC$，则$∠A=∠B$。
∵$∠C=90°$，
∴$∠B=∠A=45°$，
这与已知条件$∠A≠45°$矛盾，
∴假设$AC=BC$不正确，
∴$AC≠BC$。
【答案】
假设 AC=BC，则∠A=∠B.
∵∠C=90°，
∴∠B=∠A=45°.
这与∠A≠45°矛盾.
∴假设 AC=BC 不正确.
∴AC≠BC.
【知识点】
反证法；等边对等角；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，核心考查反证法的证明逻辑，解题关键是正确提出与结论相反的假设，结合几何基本性质推导出与已知条件矛盾的结果，掌握反证法的基本步骤即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

1. 在同一平面内，过A，B，C三点可以作出的圆的个数为 （）

A.0
B.1
C.2
D.0或1

1. D

【分析】
解题时首先回忆确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆。题目仅说明是同一平面内的A、B、C三点，未明确三点的位置关系，因此需要分类讨论三点共线和三点不共线两种情况，分别判断两种情况下可作出的圆的个数，再汇总得到最终结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当A、B、C三点不在同一条直线上时，根据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理，此时可以作出1个过三点的圆，即这三个点构成的三角形的外接圆；
2. 当A、B、C三点在同一条直线上时，不存在一个点到三个共线点的距离都相等，因此无法作出同时经过这三个点的圆，此时可作出的圆的个数为0。
综上，过A、B、C三点可以作出的圆的个数为0或1，故选D。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略三点共线的情况，直接默认三点不共线而错选B，解题时遇到未明确点的位置关系的题目，要注意分类讨论所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

2. 下列关于三角形的外心的说法错误的是（）

A.三角形的外心到三个顶点的距离相等
B.三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点
C.等腰三角形的外心在三角形内部
D.一个三角形有且只有一个外接圆

2. C

【分析】
解决本题需先明确三角形外心的定义、性质，以及不同类型三角形外心的位置特点，再逐一判断各选项的正误。首先回忆外心的核心知识点：外心是三角形三边垂直平分线的交点，是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等；其次要注意外心位置随三角形形状变化：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在外部，分析选项时要注意等腰三角形包含锐角、直角、钝角三类，不能默认其外心一定在内部。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 三角形的外心是外接圆的圆心，到三个顶点的距离都等于外接圆半径，因此到三个顶点的距离相等，该说法正确。
B. 根据外心的定义，三角形的外心就是三条边的垂直平分线的交点，该说法正确。
C. 等腰三角形可能是锐角等腰、直角等腰或钝角等腰：只有锐角等腰三角形的外心在内部，直角等腰三角形的外心在斜边中点，钝角等腰三角形的外心在三角形外部，因此该说法错误。
D. 每个三角形有且只有1个外心，因此对应有且只有一个外接圆，该说法正确。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
外心的定义；外心的性质；外接圆特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略等腰三角形包含钝角、直角的情况，默认所有等腰三角形都是锐角三角形，从而误判C选项的正误，学习相关概念时要注意结合不同形状的三角形分类记忆外心的位置。
【难度系数】
0.7

3. 用反证法证明“两条直线相交有且只有一个交点”时，应假设 （）

A.两条直线相交有且只有一个交点
B.两条直线相交没有交点
C.两条直线相交不只有一个交点
D.两条直线相交没有交点或不只有一个交点

3. D

【分析】
首先回忆反证法的解题步骤：反证法的第一步是反设，即假设原命题的结论不成立，也就是原命题结论的反面成立。本题中原命题的结论为“两条直线相交有且只有一个交点”，需要先拆解该结论的含义：“有且只有”包含两层含义，一是存在交点，二是交点唯一（只有1个）。要找结论的反面，就要对这两层都进行否定：要么不存在交点，要么存在交点但数量不止1个，结合选项即可选出正确答案。
【解析】
反证法证明命题时，首先要假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题要证明的结论是“两条直线相交有且只有一个交点”，该结论的否定为：两条直线相交没有交点，或者有交点但不只有一个交点，即两条直线相交没有交点或不只有一个交点，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法中反设的操作，解题的核心是准确全面地写出原命题结论的否定，对于“有且只有”这类同时包含存在性和唯一性的表述，否定时要注意覆盖所有不成立的情况，避免漏选。
【难度系数】
0.7

4. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的横、纵坐标都为整数,过这三个点作一条圆弧,则此圆弧所在圆的圆心坐标为。

4. (2,1)

【分析】
要确定圆弧所在圆的圆心，根据圆的性质：圆心到圆上任意两点的距离相等，因此圆心是任意两条弦的垂直平分线的交点。首先先确定A、B、C三点的坐标，再分别求出两条弦的垂直平分线，两条线的交点即为圆心坐标。
【解析】
首先得到三个点的坐标：$A(0,2)$，$B(1,3)$，$C(3,3)$。
1. 求弦$BC$的垂直平分线：
$B$、$C$两点纵坐标均为3，故$BC$是水平线段，其中点坐标为$(\frac{1+3}{2},\frac{3+3}{2})=(2,3)$，水平线段的垂直平分线为竖直直线，即$x=2$。
2. 求弦$AB$的垂直平分线：
$AB$的中点坐标为$(\frac{0+1}{2},\frac{2+3}{2})=(0.5,2.5)$，$AB$所在直线的斜率$k_{AB}=\frac{3-2}{1-0}=1$，故其垂直平分线的斜率为$-1$。
由点斜式可得$AB$垂直平分线的方程：$y-2.5=-1×(x-0.5)$，化简得$y=-x+3$。
3. 求交点：将$x=2$代入$y=-x+3$，得$y=1$，即交点坐标为$(2,1)$。
验证：点$(2,1)$到$A$、$B$、$C$三点的距离均为$\sqrt{5}$，符合圆心的性质。
【答案】
$(2,1)$
【知识点】
垂径定理，垂直平分线的性质，坐标与图形性质
【点评】
本题解题核心是掌握圆心的性质：圆心到圆上各点距离相等，即圆心在任意一条弦的垂直平分线上，通过求两条垂直平分线的交点即可得到圆心，解题时也可直接通过距离相等列方程求解，方法灵活。
【难度系数】
0.7

5. 已知直线a和这条直线外的两点A,B,经过A,B两点作一个圆,使它的圆心在直线a上.

5. 【解】如图所示。

【分析】
要作经过A、B两点且圆心在直线a上的圆，首先根据圆的性质，圆心到A、B两点的距离相等（均为圆的半径），而到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此圆心既在AB的垂直平分线上，又在直线a上，两条线的交点就是圆心。找到圆心后，以圆心到A的长度为半径画圆即可。
【解析】
作图步骤如下：
1. 连接线段AB，利用尺规作出线段AB的垂直平分线；
2. 找到AB的垂直平分线与直线a的交点，记为O，点O即为所求圆的圆心；
3. 以点O为圆心，OA（或OB）的长度为半径作圆，所得的圆即为符合要求的圆。
【答案】
如图所示。
【知识点】
1. 线段垂直平分线性质
2. 尺规作图
3. 圆的定义
【点评】
本题属于基础尺规作图题，解题的核心是抓住圆心需满足的两个约束条件：到A、B两点距离相等、在直线a上，通过作垂直平分线找到交点确定圆心即可完成作图，能有效考查学生对几何基本性质的应用和作图能力。
【难度系数】
0.7

6.在平面直角坐标系中，若$A(1,-1)$，$B(3,3)$，$C(5,n)$三点可以确定一个圆，则$n$的取值范围是（）

A.$n≠3$
B.$n≤5$
C.$n＞6$
D.$n≠7$

6. D

【分析】
要解决本题，首先明确三点确定圆的核心条件：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆。因此题干中A、B、C三点能确定一个圆，等价于三点不共线。解题思路为先求出过A、B两点的直线解析式，计算点C在该直线上时n的取值，只要n不等于该值，三点就不共线，即可确定圆。
【解析】
设经过$A(1,-1)$、$B(3,3)$的直线解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将两点坐标代入得方程组：
$\begin{cases}k+b=-1 \\3k+b=3\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$2k=4$，解得$k=2$。
将$k=2$代入$k+b=-1$，得$2+b=-1$，解得$b=-3$。
因此直线AB的解析式为$y=2x-3$。
若A、B、C三点共线，则$C(5,n)$在直线AB上，代入得$n=2×5-3=7$。
由于三点可确定一个圆，故三点不共线，即$n≠7$。
【答案】D
【知识点】
1. 三点确定圆的条件
2. 待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题结合圆的基本性质与一次函数知识考查，解题关键是将三点能否确定圆的问题转化为三点是否共线的问题，思路清晰，属于基础考点。
【难度系数】
0.7

7.已知$AB=12\ \mathrm{cm}$，过$A$，$B$两点作半径为$8\ \mathrm{cm}$的圆，则能作的圆的个数为。

7. 2

【分析】
要确定过A、B两点且半径为8cm的圆的个数，首先明确圆心需满足两个条件：一是到A、B两点的距离都等于半径8cm，根据线段垂直平分线的性质，满足到A、B距离相等的点都在AB的垂直平分线上，因此圆心一定在AB的垂直平分线上；二是圆心到A点的距离为8cm。接下来只需判断AB的垂直平分线上到A点距离为8cm的点的个数即可，先算出AB的一半长度为6cm，因为半径8cm大于6cm，可知垂直平分线上存在2个符合要求的圆心，对应2个圆。
【解析】
1. 过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离均等于半径，根据线段垂直平分线的性质，所有到A、B距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上，因此所求圆的圆心必在AB的垂直平分线上。
2. 取AB的中点C，则$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6\ \mathrm{cm}$。
3. 要求圆的半径为8cm，即圆心O到A的距离$OA=8\ \mathrm{cm}$，在$Rt△ OAC$中，$OA=8\ \mathrm{cm}＞AC=6\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{8^2-6^2}=2\sqrt{7}\ \mathrm{cm}$，为正数，说明在AB的垂直平分线上，点C的两侧各有1个满足$OA=8\ \mathrm{cm}$的点O，即共有2个符合条件的圆心。
4. 每个圆心对应唯一1个圆，因此符合要求的圆共有2个。
【答案】
2
【知识点】
线段垂直平分线性质、确定圆的条件、勾股定理
【点评】
本题解题的核心是掌握定半径过两点的圆的圆心位置特征，需结合线段垂直平分线的性质和勾股定理判断符合条件的圆心个数，易错点是容易忽略垂直平分线上有两个符合要求的圆心，误算为1个。
【难度系数】
0.7

8. 若一个直角三角形的两边长分别是6,8,则该直角三角形外接圆的半径长是.

8. 4或5

【分析】
要计算直角三角形外接圆半径，首先明确直角三角形外接圆的直径等于斜边长度，因此半径为斜边的一半。题目仅给出两边长为6和8，未说明这两条边的身份，因此需要分两种情况讨论：①长为8的边是斜边；②6和8均为直角边，分别计算斜边长度后即可求出对应半径。
【解析】
直角三角形的外接圆直径等于斜边的长度，因此外接圆半径$ r = \frac{斜边长度}{2} $，分两种情况计算：
1. 当长为8的边是直角三角形的斜边时：
$ r = \frac{8}{2} = 4 $
2. 当6和8均为直角边时，根据勾股定理计算斜边长：
斜边长$ = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $
此时$ r = \frac{10}{2} = 5 $
综上，该直角三角形外接圆的半径长为4或5。
【答案】
4或5
【知识点】
直角三角形外接圆性质，勾股定理，分类讨论
【点评】
本题解题的关键是明确直角三角形外接圆半径与斜边的关系，同时要注意题干未明确边长身份时，需分类讨论所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6

9.如图,在$△ ABC$和$△ DBE$中,$BA=BC$,$BD=BE$,$∠ ABC = ∠ DBE$,点$D$是$△ ABC$的外心.判断四边形$BDCE$是不是菱形,并说明理由.

9. 【解】四边形BDCE是菱形.理由如下：
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABD=∠CBE.
在△ABD和△CBE中，
$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ABD=∠CBE, \\ BD=BE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBE(SAS).
∴AD=CE.
∵点D是△ABC的外心，
∴AD=BD=CD.
又BD=BE，AD=CE，
∴BD=BE=CD=CE.
∴四边形BDCE是菱形.

【分析】
要判断四边形BDCE是否为菱形，可利用“四边相等的四边形是菱形”的判定定理推导。首先从已知角相等出发，将两个角同时减去公共角∠DBC，可得∠ABD=∠CBE，结合题中给出的BA=BC、BD=BE，可通过SAS证明△ABD≌△CBE，得到AD=CE。再利用三角形外心的性质（外心到三角形三个顶点的距离相等），可得AD=BD=CD，最后结合已知BD=BE，即可推导出四边形BDCE的四条边都相等，完成判定。
【解析】
四边形BDCE是菱形，理由如下：
∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE.
在△ABD和△CBE中，
$\begin{cases} BA=BC, \\ ∠ABD=∠CBE, \\ BD=BE, \end{cases}$
∴△ABD≌△CBE(SAS).
∴AD=CE.
∵点D是△ABC的外心，
∴AD=BD=CD.
又
∵BD=BE，AD=CE，
∴BD=BE=CD=CE.
∴四边形BDCE是菱形.
【答案】
四边形BDCE是菱形
【知识点】
全等三角形的判定与性质；三角形外心的性质；菱形的判定
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是先通过角的和差关系得到等角证明三角形全等，再结合三角形外心的性质得到四边形四边相等，考查的都是几何核心基础知识点，逻辑链条清晰。
【难度系数】
0.7

10.定义:能完全覆盖住三角形的最小的圆叫作三角形的最小覆盖圆.在$△ ABC$中,$AB=AC=5$,$BC=8$,则$△ ABC$的最小覆盖圆的半径长是 ()

A.3
B.4
C.5
D.$\dfrac{25}{6}$

10. B 【解析】如图1，过点A作AF⊥BC，垂足为F.
在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，
∴BF=CF=$\frac{1}{2}$BC=4.
∴在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{AB^2-BF^2}$=$\sqrt{5^2-4^2}$=3.
∵AF=3，BF=4，3＜4，
∴∠BAF＞45°.
易知∠BAC=2∠BAF.
∴∠BAC＞90°.
∴∠BAC是钝角，即△ABC是钝角三角形.
如图2，设△ABC外接圆的圆心为O，作△ABC的外接圆，则点O在AF的延长线上，连接OB，再以点F为圆心，BF为半径作⊙F.
易知⊙O和⊙F都能完全覆盖△ABC.
∵在Rt△OBF中，∠BFO=90°，
∴OB＞BF.
又OB是⊙O的半径，BF是⊙F的半径，
∴△ABC的最小覆盖圆为⊙F，其半径是4.
故选B.

【分析】
解决本题首先要明确不同类型三角形最小覆盖圆的规律：锐角三角形的最小覆盖圆是它的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆。解题时先利用等腰三角形三线合一的性质作底边上的高，结合勾股定理求出高的长度，再通过边长关系判断三角形的形状，最终确定最小覆盖圆的半径。
【解析】
解：如图1，过点A作AF⊥BC，垂足为F。
在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，由等腰三角形三线合一的性质可得：
$BF=CF=\frac{1}{2}BC=4$。
在Rt△ABF中，根据勾股定理计算高AF：
$AF=\sqrt{AB^2-BF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
∵AF=3＜BF=4，
∴∠BAF＞45°，
又
∵∠BAC=2∠BAF，
∴∠BAC＞90°，即△ABC是钝角三角形，最长边为BC。
如图2，对比△ABC的外接圆⊙O和以BC为直径的⊙F：
在Rt△OBF中，OB为斜边，因此OB＞BF，即外接圆半径大于$\frac{1}{2}BC$，
因此能完全覆盖△ABC的最小圆为⊙F，半径为BF=4。
【答案】
B

【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形最小覆盖圆
【点评】
本题的易错点是忽略钝角三角形的最小覆盖圆不是外接圆，直接计算外接圆半径导致错选。解题核心是先判断三角形的形状，再根据对应规则确定最小覆盖圆，结合等腰三角形性质和勾股定理即可完成求解。
【难度系数】
0.5