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【即学即练】
2. 已知在圆内接三角形ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3 cm，圆的半径为7 cm，则AB的长为
2. 已知在圆内接三角形ABC中，AB=AC，圆心O到BC的距离为3 cm，圆的半径为7 cm，则AB的长为
2√35 cm或2√14 cm
。答案
2. 2√35 cm或2√14 cm
解析
【分析】
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一及圆的垂径定理，BC边上的高所在直线必经过圆心O。由于圆心可能在△ABC内部，也可能在△ABC外部，因此需分两种情况讨论：先利用勾股定理求出BC边一半的长度，再结合不同情况求出BC边上的高，最后用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，连接OB。
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ D是BC的中点，且直线AD经过圆心O（等腰三角形三线合一，弦的垂直平分线过圆心）。
在Rt△OBD中，OB=7cm，OD=3cm，由勾股定理得：
$BD^2 = OB^2 - OD^2 = 7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40$。
分两种情况讨论：
① 当圆心O在△ABC内部时，$AD = AO + OD = 7 + 3 = 10\mathrm{cm}$，
在Rt△ABD中，$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 10^2 + 40 = 140$，
∴ $AB = \sqrt{140} = 2\sqrt{35}\mathrm{cm}$；
② 当圆心O在△ABC外部时，$AD = AO - OD = 7 - 3 = 4\mathrm{cm}$，
在Rt△ABD中，$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 4^2 + 40 = 56$，
∴ $AB = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}\mathrm{cm}$。
综上，AB的长为$2\sqrt{35}\mathrm{cm}$或$2\sqrt{14}\mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{35}\mathrm{cm}$或$2\sqrt{14}\mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题解题的关键是注意分类讨论圆心与三角形的位置关系，避免漏解，同时要熟练掌握等腰三角形、圆的基本性质及勾股定理的综合运用。
【难度系数】
0.6
首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一及圆的垂径定理，BC边上的高所在直线必经过圆心O。由于圆心可能在△ABC内部，也可能在△ABC外部，因此需分两种情况讨论：先利用勾股定理求出BC边一半的长度，再结合不同情况求出BC边上的高，最后用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
解：过点A作AD⊥BC于点D，连接OB。
∵ AB=AC，AD⊥BC，
∴ D是BC的中点，且直线AD经过圆心O（等腰三角形三线合一，弦的垂直平分线过圆心）。
在Rt△OBD中，OB=7cm，OD=3cm，由勾股定理得：
$BD^2 = OB^2 - OD^2 = 7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40$。
分两种情况讨论：
① 当圆心O在△ABC内部时，$AD = AO + OD = 7 + 3 = 10\mathrm{cm}$，
在Rt△ABD中，$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 10^2 + 40 = 140$，
∴ $AB = \sqrt{140} = 2\sqrt{35}\mathrm{cm}$；
② 当圆心O在△ABC外部时，$AD = AO - OD = 7 - 3 = 4\mathrm{cm}$，
在Rt△ABD中，$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 4^2 + 40 = 56$，
∴ $AB = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}\mathrm{cm}$。
综上，AB的长为$2\sqrt{35}\mathrm{cm}$或$2\sqrt{14}\mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{35}\mathrm{cm}$或$2\sqrt{14}\mathrm{cm}$
【知识点】
等腰三角形性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题解题的关键是注意分类讨论圆心与三角形的位置关系，避免漏解，同时要熟练掌握等腰三角形、圆的基本性质及勾股定理的综合运用。
【难度系数】
0.6
【典型例题3】下列三角形的外心一定在该三角形外部的是 （）
【答案】D
规律方法 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部。
【答案】D
规律方法 锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形的外部。
答案
解：
A选项：三角形的第三个内角为$180° - 50° - 70° = 60°$，三个内角均为锐角，该三角形是锐角三角形，外心在三角形内部；
B选项：三角形的第三个内角为$180° - 65° - 65° = 50°$，三个内角均为锐角，该三角形是锐角三角形，外心在三角形内部；
C选项：该三角形有一个内角为直角，是直角三角形，外心为斜边的中点，在三角形的边上；
D选项：该三角形有一个内角为$110°$，是钝角，该三角形是钝角三角形，外心在三角形外部。
综上，答案选$\boldsymbol{D}$。
A选项：三角形的第三个内角为$180° - 50° - 70° = 60°$，三个内角均为锐角，该三角形是锐角三角形，外心在三角形内部；
B选项：三角形的第三个内角为$180° - 65° - 65° = 50°$，三个内角均为锐角，该三角形是锐角三角形，外心在三角形内部；
C选项：该三角形有一个内角为直角，是直角三角形，外心为斜边的中点，在三角形的边上；
D选项：该三角形有一个内角为$110°$，是钝角，该三角形是钝角三角形，外心在三角形外部。
综上，答案选$\boldsymbol{D}$。
解析
【分析】
解题前先掌握核心规律：锐角三角形的外心在内部，直角三角形的外心在斜边中点（三角形边上），钝角三角形的外心在外部。因此解题步骤为：第一步，利用三角形内角和为180°，计算每个选项三角形的未知内角，判断三角形按角分类的类型；第二步，结合上述规律对应外心位置，选出外心在外部的选项即可。
【解析】
我们先明确外心位置规律：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点（在三角形边上），钝角三角形的外心在三角形外部，对各选项逐一分析：
A选项：三角形第三个内角为$180° - 50° - 70° = 60°$，三个角均为锐角，属于锐角三角形，外心在内部，不符合要求；
B选项：三角形第三个内角为$180° - 65° - 65° = 50°$，三个角均为锐角，属于锐角三角形，外心在内部，不符合要求；
C选项：三角形有一个内角为直角，属于直角三角形，外心是斜边中点，在三角形边上，不符合要求；
D选项：三角形有一个内角为$110°$，是钝角，属于钝角三角形，外心在三角形外部，符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
三角形内角和，三角形外心的位置，三角形按角分类
【点评】
本题考查不同类型三角形外心的位置规律，解题核心是先通过内角和判断三角形类型，再结合对应规律判断外心位置，属于基础题型，需牢记三类三角形外心的位置特点。
【难度系数】
0.8
解题前先掌握核心规律：锐角三角形的外心在内部，直角三角形的外心在斜边中点（三角形边上），钝角三角形的外心在外部。因此解题步骤为：第一步，利用三角形内角和为180°，计算每个选项三角形的未知内角，判断三角形按角分类的类型；第二步，结合上述规律对应外心位置，选出外心在外部的选项即可。
【解析】
我们先明确外心位置规律：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点（在三角形边上），钝角三角形的外心在三角形外部，对各选项逐一分析：
A选项：三角形第三个内角为$180° - 50° - 70° = 60°$，三个角均为锐角，属于锐角三角形，外心在内部，不符合要求；
B选项：三角形第三个内角为$180° - 65° - 65° = 50°$，三个角均为锐角，属于锐角三角形，外心在内部，不符合要求；
C选项：三角形有一个内角为直角，属于直角三角形，外心是斜边中点，在三角形边上，不符合要求；
D选项：三角形有一个内角为$110°$，是钝角，属于钝角三角形，外心在三角形外部，符合要求。
【答案】
$\boldsymbol{D}$
【知识点】
三角形内角和，三角形外心的位置，三角形按角分类
【点评】
本题考查不同类型三角形外心的位置规律，解题核心是先通过内角和判断三角形类型，再结合对应规律判断外心位置，属于基础题型，需牢记三类三角形外心的位置特点。
【难度系数】
0.8
【即学即练】
3. 由边长相同的小正方形组成的网格如图所示，点A,B,C,D,E,F,G都在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（
A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
3. 由边长相同的小正方形组成的网格如图所示，点A,B,C,D,E,F,G都在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（
A
）A.点D
B.点E
C.点F
D.点G
答案
3. A
解析
【分析】
要判断△ABC的外心，首先明确三角形外心的定义：外心是三角形三边垂直平分线的交点，其核心性质是到三角形三个顶点的距离相等。因此我们可以结合网格的特点，通过计算各选项中的点到A、B、C三个顶点的距离，找到距离相等的点即可；也可以先求两条边的垂直平分线，其交点就是外心。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令B点坐标为(0,0)，则可得各点坐标：C(4,0)，A(3,3)，点D坐标为(2,1)。
根据勾股定理计算点D到三个顶点的距离：
DB = √[(2-0)² + (1-0)²] = √(4+1) = √5
DC = √[(4-2)² + (1-0)²] = √(4+1) = √5
DA = √[(3-2)² + (3-1)²] = √(1+4) = √5
可得DA=DB=DC，符合外心到三角形三个顶点距离相等的性质，因此点D是△ABC的外心。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质；勾股定理；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题主要结合网格考查三角形外心的判定，解题的关键是掌握外心的性质，灵活运用勾股定理计算格点之间的距离，解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
要判断△ABC的外心，首先明确三角形外心的定义：外心是三角形三边垂直平分线的交点，其核心性质是到三角形三个顶点的距离相等。因此我们可以结合网格的特点，通过计算各选项中的点到A、B、C三个顶点的距离，找到距离相等的点即可；也可以先求两条边的垂直平分线，其交点就是外心。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，令B点坐标为(0,0)，则可得各点坐标：C(4,0)，A(3,3)，点D坐标为(2,1)。
根据勾股定理计算点D到三个顶点的距离：
DB = √[(2-0)² + (1-0)²] = √(4+1) = √5
DC = √[(4-2)² + (1-0)²] = √(4+1) = √5
DA = √[(3-2)² + (3-1)²] = √(1+4) = √5
可得DA=DB=DC，符合外心到三角形三个顶点距离相等的性质，因此点D是△ABC的外心。
【答案】
A
【知识点】
三角形外心的性质；勾股定理；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题主要结合网格考查三角形外心的判定，解题的关键是掌握外心的性质，灵活运用勾股定理计算格点之间的距离，解题思路清晰，属于基础类考题。
【难度系数】
0.7
