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图(1)是构成纸魔方的一个三棱柱，图(2)是图(1)的展开图，尺寸数据如下(单位：cm.阴影部分为内部粘贴角料，计算面积时忽略不计)，图(3)是数学活动课上制作的纸魔方变化出的一种形状.
(1)做一个如图(1)所示的三棱柱需要纸片
(2)当$a＝6$，$b＝8.5$时，图(3)中的纸魔方一共用纸片多少平方厘米？
(3)若图(1)中的三棱柱用纸片$150\ \mathrm{cm}^2$，且$b＝3a$，求$a$的值.
(1)做一个如图(1)所示的三棱柱需要纸片
$3a^2+ab$
$\mathrm{cm}^2$，做一个如图(3)所示的纸魔方一共需要纸片$48a^2+16ab$
$\mathrm{cm}^2$.(直接用含$a$，$b$的式子表示)(2)当$a＝6$，$b＝8.5$时，图(3)中的纸魔方一共用纸片多少平方厘米？
(3)若图(1)中的三棱柱用纸片$150\ \mathrm{cm}^2$，且$b＝3a$，求$a$的值.
答案
(1) 做一个如图(1)所示的三棱柱需要纸片$(3a^2+ab)\ \mathrm{cm}^2$，做一个如图(3)所示的纸魔方一共需要纸片$(48a^2+16ab)\ \mathrm{cm}^2$。
(2) 当$a＝6$，$b＝8.5$时，$48a^2+16ab=48×6^2+16×6×8.5=2\ 544(\mathrm{cm}^2)$。
(3) 因为图(1)中的三棱柱用纸片$150\ \mathrm{cm}^2$，且$b=3a$，所以$3a^2+ab=3a^2+a·3a=6a^2=150$。所以$a^2=25$，所以$a=5$(负值已舍去)。
(2) 当$a＝6$，$b＝8.5$时，$48a^2+16ab=48×6^2+16×6×8.5=2\ 544(\mathrm{cm}^2)$。
(3) 因为图(1)中的三棱柱用纸片$150\ \mathrm{cm}^2$，且$b=3a$，所以$3a^2+ab=3a^2+a·3a=6a^2=150$。所以$a^2=25$，所以$a=5$(负值已舍去)。
解析
【分析】
(1) 求单个三棱柱的纸片面积本质是求它的表面积，先分别计算2个底面三角形的面积和3个侧面的面积，相加即可得到单个三棱柱的面积；观察图(3)可知纸魔方由16个图(1)的三棱柱组成，用单个三棱柱的面积乘16即可得到总纸片面积。
(2) 第二问属于代数式求值问题，直接把$a=6$、$b=8.5$代入第一问得到的总表面积式子，按有理数运算规则计算即可。
(3) 第三问先将$b=3a$代入单个三棱柱的表面积公式，得到仅含$a$的方程，结合边长为正数的实际意义求解即可。
【解析】
(1) 计算单个三棱柱的表面积：
2个底面三角形的面积和：$2×\frac{1}{2}× a× a=a^2$
3个侧面的面积和：$a× a + a× a + a× b=2a^2+ab$
单个三棱柱所需纸片面积：$a^2+2a^2+ab=3a^2+ab$（$\mathrm{cm}^2$）
图(3)共有16个这样的三棱柱，总纸片面积：$16×(3a^2+ab)=48a^2+16ab$（$\mathrm{cm}^2$）
(2) 把$a=6$，$b=8.5$代入$48a^2+16ab$：
$\begin{aligned}原式&=48×6^2+16×6×8.5\\&=48×36+96×8.5\\&=1728+816\\&=2544(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
(3) 把$b=3a$、表面积为$150\ \mathrm{cm}^2$代入$3a^2+ab=150$：
$3a^2+a·3a=150$
合并同类项得：$6a^2=150$
两边同除以6得：$a^2=25$
因为$a$是边长为正数，舍去负值，得$a=5$。
【答案】
(1) $(3a^2+ab)$；$(48a^2+16ab)$
(2) $2544\ \mathrm{cm}^2$
(3) $a=5$
【知识点】
几何体表面积计算，代数式求值，解方程
【点评】
本题结合纸魔方的实际场景考查几何表面积计算、代数式应用，解题核心是先准确推导单个三棱柱的表面积公式，再结合总数量得到整体面积，计算时要注意运算顺序，求解边长时需结合实际意义舍去负解。
【难度系数】
0.6
(1) 求单个三棱柱的纸片面积本质是求它的表面积，先分别计算2个底面三角形的面积和3个侧面的面积，相加即可得到单个三棱柱的面积；观察图(3)可知纸魔方由16个图(1)的三棱柱组成，用单个三棱柱的面积乘16即可得到总纸片面积。
(2) 第二问属于代数式求值问题，直接把$a=6$、$b=8.5$代入第一问得到的总表面积式子，按有理数运算规则计算即可。
(3) 第三问先将$b=3a$代入单个三棱柱的表面积公式，得到仅含$a$的方程，结合边长为正数的实际意义求解即可。
【解析】
(1) 计算单个三棱柱的表面积：
2个底面三角形的面积和：$2×\frac{1}{2}× a× a=a^2$
3个侧面的面积和：$a× a + a× a + a× b=2a^2+ab$
单个三棱柱所需纸片面积：$a^2+2a^2+ab=3a^2+ab$（$\mathrm{cm}^2$）
图(3)共有16个这样的三棱柱，总纸片面积：$16×(3a^2+ab)=48a^2+16ab$（$\mathrm{cm}^2$）
(2) 把$a=6$，$b=8.5$代入$48a^2+16ab$：
$\begin{aligned}原式&=48×6^2+16×6×8.5\\&=48×36+96×8.5\\&=1728+816\\&=2544(\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
(3) 把$b=3a$、表面积为$150\ \mathrm{cm}^2$代入$3a^2+ab=150$：
$3a^2+a·3a=150$
合并同类项得：$6a^2=150$
两边同除以6得：$a^2=25$
因为$a$是边长为正数，舍去负值，得$a=5$。
【答案】
(1) $(3a^2+ab)$；$(48a^2+16ab)$
(2) $2544\ \mathrm{cm}^2$
(3) $a=5$
【知识点】
几何体表面积计算，代数式求值，解方程
【点评】
本题结合纸魔方的实际场景考查几何表面积计算、代数式应用，解题核心是先准确推导单个三棱柱的表面积公式，再结合总数量得到整体面积，计算时要注意运算顺序，求解边长时需结合实际意义舍去负解。
【难度系数】
0.6
在数学活动中，我们学会通过折纸制作一个五角星. 若要得到五角星的角(β)为40°，则所剪的角(α)应为多少度？(提示：可用稿纸折一折)
答案
由折叠方式可得，第5幅图若剪裁后不展开，为$△ AOB$
，O为五角星中心。由折叠对称可知，$∠ 1=\frac{1}{2}β=20°$，$∠ 2=\frac{360°}{5×2}=36°$，则$∠ ABO=180°-(∠ 1+∠ 2)=124°$，所以$α=180°-∠ ABO=56°$。解析
【分析】
这是一道结合折纸操作的角度计算题，解题时可结合折叠性质梳理角度关系：首先利用折叠前后对应角相等的性质，可知五角星展开后的角β是折叠状态下对应小角的2倍，可先求出该小角的度数；再结合五角星有5个相同的角，折叠后中心周角360°被平均分成10份，可算出中心处的小角度数；之后利用三角形内角和求出三角形内第三个角的度数，最后根据所求角α和该角组成平角，即可算出α的度数。
【解析】
由折叠方式可得，剪裁后不展开的图形为$△ AOB$，O为五角星中心。
1. 根据折叠对称的性质，折叠后重合的角相等，展开后的角β是折叠状态下∠1的2倍，因此：
$∠ 1=\frac{1}{2}β=\frac{1}{2}×40°=20°$
2. 折叠后中心周角360°被平均分成$5×2=10$等份，因此：
$∠ 2=\frac{360°}{10}=36°$
3. 根据三角形内角和为180°，在$△ AOB$中：
$∠ ABO=180°-(∠ 1+∠ 2)=180°-(20°+36°)=124°$
4. 因为$∠ α$与$∠ ABO$组成平角，和为180°，因此：
$α=180°-∠ ABO=180°-124°=56°$
【答案】
$α=56°$
【知识点】
折叠的性质、三角形内角和、周角的特征
【点评】
本题结合折纸制作五角星的实践活动考查角度计算，解题的关键是理解折叠过程中的角度对称关系，将操作问题转化为几何角度计算问题，能有效锻炼动手操作与几何分析结合的能力。
【难度系数】
0.6
这是一道结合折纸操作的角度计算题，解题时可结合折叠性质梳理角度关系：首先利用折叠前后对应角相等的性质，可知五角星展开后的角β是折叠状态下对应小角的2倍，可先求出该小角的度数；再结合五角星有5个相同的角，折叠后中心周角360°被平均分成10份，可算出中心处的小角度数；之后利用三角形内角和求出三角形内第三个角的度数，最后根据所求角α和该角组成平角，即可算出α的度数。
【解析】
由折叠方式可得，剪裁后不展开的图形为$△ AOB$
，O为五角星中心。1. 根据折叠对称的性质，折叠后重合的角相等，展开后的角β是折叠状态下∠1的2倍，因此：
$∠ 1=\frac{1}{2}β=\frac{1}{2}×40°=20°$
2. 折叠后中心周角360°被平均分成$5×2=10$等份，因此：
$∠ 2=\frac{360°}{10}=36°$
3. 根据三角形内角和为180°，在$△ AOB$中：
$∠ ABO=180°-(∠ 1+∠ 2)=180°-(20°+36°)=124°$
4. 因为$∠ α$与$∠ ABO$组成平角，和为180°，因此：
$α=180°-∠ ABO=180°-124°=56°$
【答案】
$α=56°$
【知识点】
折叠的性质、三角形内角和、周角的特征
【点评】
本题结合折纸制作五角星的实践活动考查角度计算，解题的关键是理解折叠过程中的角度对称关系，将操作问题转化为几何角度计算问题，能有效锻炼动手操作与几何分析结合的能力。
【难度系数】
0.6
