综合与实践
设计学校田径运动会比赛场地
活动名称 设计学校田径运动会比赛场地
背景材料 1. 学校体育场是学生进行各类体育运动的主要场所，规划比赛场地需结合体育场大小与数学知识.
2. 标准田径场由中间长方形区域与两端半径对应相等的半圆形区域组成，跑道围绕中心区域铺设，不同跑道长度存在差异.
素材1 如图是某学校田径体育场的平面图，最中间是长为$ a $ m的长方形，两端分别由半径对应相等的半圆组成，最内侧的半圆半径为$ r $ m.
素材2 如图，每条跑道的宽为1 m，共四条跑道每条跑道按内侧边线的总长度计算路程.
素材3 如图，学校计划在体育场中心(阴影部分)铺设人工草皮，所有跑道(包含两端的半圆)铺设塑胶，已知人工草皮的单价为50元/平方米，塑胶的单价为100元/平方米.
平面图
【活动任务】
任务1：确定跑道的长度，分别求出第1、第2、第3跑道的总长度；
任务2：若$ r=36 $，第1跑道的总长度为400 m，请求出$ a $的值；(结果精确到个位，$ π $取3.14)
任务3：在任务2的条件下，进行女子400 m跑步比赛，保证终点线相同，求第2跑道的起跑线要比第1跑道向前移动多少米.(结果精确到个位，$ π $取3.14)

任务1 第1跑道的长度为$(2a+2π r)\mathrm{m}$；第2跑道的长度为$2a+2π(r+1)=(2a+2π r+2π)\mathrm{m}$；第3跑道的长度为$2a+2π(r+2)=(2a+2π r+4π)\mathrm{m}$。
任务2 $a$的值约为87。
任务3 第2跑道的起跑线要比第1跑道向前移动约6 m。

【分析】
解题思路可分为三步：
1. 处理任务1：明确跑道总长度由两段直道的长度和、两端弯道拼成的整圆周长两部分组成，不同跑道的直道长度相同，仅弯道半径随跑道编号增加而变大（每条跑道宽1m，第n跑道弯道半径为$r+(n-1)$m），分别代入圆周长公式即可得到各跑道长度。
2. 处理任务2：将已知的第1跑道总长度、$r$、$π$的取值代入第1跑道的长度公式，解一元一次方程即可求出$a$的值。
3. 处理任务3：相邻跑道的起跑线前移距离等于两条跑道的长度差，由于直道长度相同，仅需计算弯道周长的差值即可简化计算。
【解析】
任务1：
跑道总长度=2段直道长度和+两端弯道拼成的整圆周长，直道总长度均为$2a$ m。
第1跑道弯道半径为$r$ m，弯道总周长为$2π r$ m，因此总长度为$2a + 2π r$（m）；
第2跑道弯道半径为$(r+1)$ m，弯道总周长为$2π(r+1)$ m，因此总长度为$2a + 2π(r+1) = 2a + 2π r + 2π$（m）；
第3跑道弯道半径为$(r+2)$ m，弯道总周长为$2π(r+2)$ m，因此总长度为$2a + 2π(r+2) = 2a + 2π r + 4π$（m）。
任务2：
将第1跑道长度400m、$r=36$、$π=3.14$代入$2a + 2π r = 400$，得：
$2a + 2×3.14×36 = 400$
计算得：$2a + 226.08 = 400$
移项得：$2a = 400 - 226.08 = 173.92$
解得：$a = 86.96 \approx 87$
任务3：
第2跑道起跑线比第1跑道前移的距离=第2跑道长度-第1跑道长度
代入两跑道长度公式得：
$(2a + 2π r + 2π) - (2a + 2π r) = 2π$
代入$π=3.14$得：$2×3.14 \approx 6$（m）
【答案】
任务1：第1跑道长度为$(2a+2π r)\mathrm{m}$，第2跑道长度为$(2a+2π r+2π)\mathrm{m}$，第3跑道长度为$(2a+2π r+4π)\mathrm{m}$；
任务2：$a$的值约为87；
任务3：第2跑道的起跑线要比第1跑道向前移动约6 m。
【知识点】
圆的周长计算，列代数式，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合田径场设计的生活场景，考查了几何公式与代数运算的实际应用，解题核心是明确跑道长度的构成特点，相邻跑道的长度差仅来自弯道部分，可避开直道计算简化求解过程，能有效提升学生用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7