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思维导图·发展创新意识
全等三角形
全等三角形的定义:能够的两个三角形叫作全等三角形
全等三角形的性质$\begin{cases}对应边\_\_\_\_\_\_,对应角\_\_\_\_\_\_ \\周长相等,面积\_\_\_\_\_\_\end{cases}$
全等三角形的判定$\begin{cases}一般三角形:"SAS""ASA""AAS""SSS" \\直角三角形:"HL"\end{cases}$
作一个角等于已知角:作图依据是"SSS"
角的平分线$\begin{cases}角平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离\_\_\_\_\_\_ \\角平分线的判定:角的内部到角两边距离\_\_\_\_\_\_的点在角的平分线上 \\尺规作角的平分线:作图的依据是"SSS"\end{cases}$
全等三角形
全等三角形的定义:能够的两个三角形叫作全等三角形
全等三角形的性质$\begin{cases}对应边\_\_\_\_\_\_,对应角\_\_\_\_\_\_ \\周长相等,面积\_\_\_\_\_\_\end{cases}$
全等三角形的判定$\begin{cases}一般三角形:"SAS""ASA""AAS""SSS" \\直角三角形:"HL"\end{cases}$
作一个角等于已知角:作图依据是"SSS"
角的平分线$\begin{cases}角平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离\_\_\_\_\_\_ \\角平分线的判定:角的内部到角两边距离\_\_\_\_\_\_的点在角的平分线上 \\尺规作角的平分线:作图的依据是"SSS"\end{cases}$
答案
解：
各空白处依次填写：
完全重合
相等，相等，相等
相等，相等
各空白处依次填写：
完全重合
相等，相等，相等
相等，相等
解析
【分析】
本题是全等三角形章节的基础概念填空题，解题核心是回忆本章的基础定义、性质定理内容，按空的顺序逐一对应填写即可：首先回忆全等三角形的定义内容填第一个空，再回忆全等三角形的性质填对应性质的空，最后回忆角平分线的性质和判定定理填剩余的空。
【解析】
1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，因此第一个空填“完全重合”；
2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，且全等的图形周长、面积均相等，因此接下来三个空依次填“相等”、“相等”、“相等”；
3. 角平分线的性质为角的平分线上的点到角两边的距离相等；角平分线的判定为角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此最后两个空均填“相等”。
【答案】
完全重合；相等，相等，相等；相等，相等
【知识点】
全等三角形的定义；全等三角形的性质；角平分线的性质与判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，考察的都是本章最核心的基础知识点，是后续进行全等证明、解决几何综合题的基础，需要熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9
本题是全等三角形章节的基础概念填空题，解题核心是回忆本章的基础定义、性质定理内容，按空的顺序逐一对应填写即可：首先回忆全等三角形的定义内容填第一个空，再回忆全等三角形的性质填对应性质的空，最后回忆角平分线的性质和判定定理填剩余的空。
【解析】
1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，因此第一个空填“完全重合”；
2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等，且全等的图形周长、面积均相等，因此接下来三个空依次填“相等”、“相等”、“相等”；
3. 角平分线的性质为角的平分线上的点到角两边的距离相等；角平分线的判定为角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此最后两个空均填“相等”。
【答案】
完全重合；相等，相等，相等；相等，相等
【知识点】
全等三角形的定义；全等三角形的性质；角平分线的性质与判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，考察的都是本章最核心的基础知识点，是后续进行全等证明、解决几何综合题的基础，需要熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9
4. 已知$△ ABC$与$△ DEF$全等，$∠ A=∠ D=70°$，$∠ B=60°$，则$∠ F$的度数是（）.
A.$50°$
B.$60°$
C.$60°$或$50°$
D.$70°$或$50°$
A.$50°$
B.$60°$
C.$60°$或$50°$
D.$70°$或$50°$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠C的度数，再结合全等三角形的性质分析：题目仅说明两个三角形全等且∠A=∠D，未明确给出所有角的对应关系，因此需要分类讨论∠F的对应角，分别计算两种情况下∠F的度数，即可得到最终结果。
【解析】
首先计算△ABC中∠C的度数，根据三角形内角和为180°：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 70° - 60° = 50°$
已知△ABC与△DEF全等，且$∠ A=∠ D=70°$，由于未明确两个三角形的角的对应关系，分两种情况讨论：
1. 当∠F与∠B为对应角时，根据全等三角形对应角相等，得$∠ F=∠ B=60°$；
2. 当∠F与∠C为对应角时，根据全等三角形对应角相等，得$∠ F=∠ C=50°$。
综上，∠F的度数为$60°$或$50°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，全等三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查全等三角形的性质，易错点是忽略全等三角形未明确对应关系时需分类讨论，防止因漏解导致错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠C的度数，再结合全等三角形的性质分析：题目仅说明两个三角形全等且∠A=∠D，未明确给出所有角的对应关系，因此需要分类讨论∠F的对应角，分别计算两种情况下∠F的度数，即可得到最终结果。
【解析】
首先计算△ABC中∠C的度数，根据三角形内角和为180°：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 70° - 60° = 50°$
已知△ABC与△DEF全等，且$∠ A=∠ D=70°$，由于未明确两个三角形的角的对应关系，分两种情况讨论：
1. 当∠F与∠B为对应角时，根据全等三角形对应角相等，得$∠ F=∠ B=60°$；
2. 当∠F与∠C为对应角时，根据全等三角形对应角相等，得$∠ F=∠ C=50°$。
综上，∠F的度数为$60°$或$50°$。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，全等三角形的性质，分类讨论思想
【点评】
本题考查全等三角形的性质，易错点是忽略全等三角形未明确对应关系时需分类讨论，防止因漏解导致错误。
【难度系数】
0.6
1. 根据下列已知条件,能唯一画出$△ ABC$的是().
A.$AB=5,BC=4,CA=10$
B.$∠ A=45°,∠ B=70°,AB=6$
C.$AB=4,BC=3,∠ A=30°$
D.$∠ C=90°,AB=6$
A.$AB=5,BC=4,CA=10$
B.$∠ A=45°,∠ B=70°,AB=6$
C.$AB=4,BC=3,∠ A=30°$
D.$∠ C=90°,AB=6$
答案
B
解析
【分析】
要判断能否唯一画出△ABC，本质是判断给定条件是否能确定三角形的形状和大小，需要同时满足两个要求：①首先符合三角形三边关系，能构成三角形；②符合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、直角三角形HL）。我们逐个分析选项即可得出答案。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：已知三边长度为AB=5，BC=4，CA=10，由于4+5=9＜10，不满足“三角形两边之和大于第三边”的基本要求，无法构成三角形，排除。
B选项：已知∠A=45°，∠B=70°，夹边AB=6，符合全等三角形判定定理中的“ASA（两角及其夹边对应相等）”，可以唯一确定三角形的形状和大小，符合要求。
C选项：已知AB=4，BC=3，∠A=30°，属于“两边及其中一边的对角（SSA）”的情况，SSA不能判定三角形全等，以B为圆心、BC长为半径画弧，与∠A的另一边会有2个交点，可画出2个不同的三角形，不唯一，排除。
D选项：仅已知直角∠C=90°和斜边AB=6，两条直角边的长度可以任意变化，能画出无数个大小不同的直角三角形，不唯一，排除。
【答案】
B
【知识点】
1.三角形三边关系
2.全等三角形判定
3.三角形的确定条件
【点评】
本题是三角形部分的基础常考题，核心是理解“唯一确定三角形”的含义，需要注意先判断给定边长能否构成三角形，同时牢记SSA不能作为全等三角形的判定依据。
【难度系数】
0.7
要判断能否唯一画出△ABC，本质是判断给定条件是否能确定三角形的形状和大小，需要同时满足两个要求：①首先符合三角形三边关系，能构成三角形；②符合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、直角三角形HL）。我们逐个分析选项即可得出答案。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
A选项：已知三边长度为AB=5，BC=4，CA=10，由于4+5=9＜10，不满足“三角形两边之和大于第三边”的基本要求，无法构成三角形，排除。
B选项：已知∠A=45°，∠B=70°，夹边AB=6，符合全等三角形判定定理中的“ASA（两角及其夹边对应相等）”，可以唯一确定三角形的形状和大小，符合要求。
C选项：已知AB=4，BC=3，∠A=30°，属于“两边及其中一边的对角（SSA）”的情况，SSA不能判定三角形全等，以B为圆心、BC长为半径画弧，与∠A的另一边会有2个交点，可画出2个不同的三角形，不唯一，排除。
D选项：仅已知直角∠C=90°和斜边AB=6，两条直角边的长度可以任意变化，能画出无数个大小不同的直角三角形，不唯一，排除。
【答案】
B
【知识点】
1.三角形三边关系
2.全等三角形判定
3.三角形的确定条件
【点评】
本题是三角形部分的基础常考题，核心是理解“唯一确定三角形”的含义，需要注意先判断给定边长能否构成三角形，同时牢记SSA不能作为全等三角形的判定依据。
【难度系数】
0.7
2.已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是().
A.58°
B.55°
C.60°
D.67°
A.58°
B.55°
C.60°
D.67°
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。首先观察两个三角形的边的标识，确定∠α是右边三角形中长度为a和c的两条边的夹角，再到左边的全等三角形中找到边a和边c的夹角，该角的度数就是∠α的度数，无需计算其他角度即可直接得出结果。
【解析】
已知两个三角形全等，根据全等三角形的性质，对应边的夹角为对应角，对应角相等。
观察图形可得：右侧三角形中∠α是边a与边c的夹角，左侧三角形中边a和边c的夹角为58°，这两个角是对应角，因此∠α=58°。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查全等三角形性质的应用，解题的关键是准确识别对应边的夹角，确定对应角的关系，只要掌握全等三角形的对应关系就能快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。首先观察两个三角形的边的标识，确定∠α是右边三角形中长度为a和c的两条边的夹角，再到左边的全等三角形中找到边a和边c的夹角，该角的度数就是∠α的度数，无需计算其他角度即可直接得出结果。
【解析】
已知两个三角形全等，根据全等三角形的性质，对应边的夹角为对应角，对应角相等。
观察图形可得：右侧三角形中∠α是边a与边c的夹角，左侧三角形中边a和边c的夹角为58°，这两个角是对应角，因此∠α=58°。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的性质
【点评】
本题是基础类题目，主要考查全等三角形性质的应用，解题的关键是准确识别对应边的夹角，确定对应角的关系，只要掌握全等三角形的对应关系就能快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图，若$∠ 1=∠ 2$，则添加一个条件后，不能证明$△ ABD ≌ △ ACD$的是（）.
A.$AB=AC$
B.$∠ B=∠ C$
C.$BD=CD$
D.$AD$平分$∠ BAC$
A.$AB=AC$
B.$∠ B=∠ C$
C.$BD=CD$
D.$AD$平分$∠ BAC$
答案
A
解析
【分析】
要选出不能证明$△ ABD ≌ △ ACD$的选项，先梳理已知条件：$△ ABD$和$△ ACD$有公共边$AD=AD$，已知$∠ 1=∠ 2$即$∠ ADB=∠ ADC$，已经具备一边一角对应相等的条件，接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS）逐一验证每个选项添加后的条件是否符合判定规则即可。
【解析】
已知在$△ ABD$和$△ ACD$中，$AD=AD$（公共边），$∠ ADB=∠ ADC$（即$∠ 1=∠ 2$，已知）。
对各选项逐一分析：
A. 添加$AB=AC$：此时满足两边及其中一边的对角对应相等（SSA），没有对应的全等判定定理，不能证明$△ ABD ≌ △ ACD$；
B. 添加$∠ B=∠ C$：满足$\begin{cases}∠ B=∠ C\\∠ ADB=∠ ADC\\AD=AD\end{cases}$，符合AAS判定定理，可证明全等；
C. 添加$BD=CD$：满足$\begin{cases}BD=CD\\∠ ADB=∠ ADC\\AD=AD\end{cases}$，符合SAS判定定理，可证明全等；
D. 添加$AD$平分$∠ BAC$：可得$∠ BAD=∠ CAD$，满足$\begin{cases}∠ BAD=∠ CAD\\AD=AD\\∠ ADB=∠ ADC\end{cases}$，符合ASA判定定理，可证明全等。
综上，只有A选项的条件不能证明全等。
【答案】
A
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形判定的常规题型，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆判定规则出错。
【难度系数】
0.7
要选出不能证明$△ ABD ≌ △ ACD$的选项，先梳理已知条件：$△ ABD$和$△ ACD$有公共边$AD=AD$，已知$∠ 1=∠ 2$即$∠ ADB=∠ ADC$，已经具备一边一角对应相等的条件，接下来结合全等三角形的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS）逐一验证每个选项添加后的条件是否符合判定规则即可。
【解析】
已知在$△ ABD$和$△ ACD$中，$AD=AD$（公共边），$∠ ADB=∠ ADC$（即$∠ 1=∠ 2$，已知）。
对各选项逐一分析：
A. 添加$AB=AC$：此时满足两边及其中一边的对角对应相等（SSA），没有对应的全等判定定理，不能证明$△ ABD ≌ △ ACD$；
B. 添加$∠ B=∠ C$：满足$\begin{cases}∠ B=∠ C\\∠ ADB=∠ ADC\\AD=AD\end{cases}$，符合AAS判定定理，可证明全等；
C. 添加$BD=CD$：满足$\begin{cases}BD=CD\\∠ ADB=∠ ADC\\AD=AD\end{cases}$，符合SAS判定定理，可证明全等；
D. 添加$AD$平分$∠ BAC$：可得$∠ BAD=∠ CAD$，满足$\begin{cases}∠ BAD=∠ CAD\\AD=AD\\∠ ADB=∠ ADC\end{cases}$，符合ASA判定定理，可证明全等。
综上，只有A选项的条件不能证明全等。
【答案】
A
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形判定的常规题型，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，特别注意SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免混淆判定规则出错。
【难度系数】
0.7
5. 徐光启是中国明代数学家,他与意大利人利玛窦合作翻译的《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的著作. 书中记载了一个命题:一个角可以切分为两个相等的角. 即作一个已知角的平分线. 已知以下作图法:如图,在AB和AC上分别取点D和点E,使$AE=AD$,连接DE,以DE为一边作等边三角形DEF,连接AF,则射线AF平分$∠BAC$. 此法的关键是得出$△ADF ≌ △AEF$,进而得出$∠FAB = ∠FAC$. 这里判断$△ADF ≌ △AEF$的依据是().
A.“SSS”
B.“SAS”
C.“ASA”
D.“AAS”
A.“SSS”
B.“SAS”
C.“ASA”
D.“AAS”
答案
A
解析
【分析】
要判断$△ ADF≌△ AEF$的依据，首先要梳理两个三角形的对应边、对应角相等关系：第一步从题目已知条件提取相等量，题目明确给出$AE=AD$，得到第一组对应边相等；第二步结合等边三角形的性质，等边三角形三边相等，可得$DF=EF$，得到第二组对应边相等；第三步观察图形可知$AF$是两个三角形的公共边，因此第三组对应边也相等。三组对应边全部相等，即可对应全等三角形的SSS判定定理。
【解析】
解：由作图可知$AD=AE$，
∵$△ DEF$是等边三角形，
∴$DF=EF$，
在$△ ADF$和$△ AEF$中：
$\begin{cases} AD=AE \\ DF=EF \\ AF=AF\quad (\mathrm{公共边}) \end{cases}$
∴$△ ADF≌△ AEF$（SSS），因此判定依据为SSS，故选A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形判定、等边三角形的性质
【点评】
本题结合古代数学史背景考查全等三角形的判定，解题关键是从已知条件和图形特征中找到两个三角形对应相等的边，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
要判断$△ ADF≌△ AEF$的依据，首先要梳理两个三角形的对应边、对应角相等关系：第一步从题目已知条件提取相等量，题目明确给出$AE=AD$，得到第一组对应边相等；第二步结合等边三角形的性质，等边三角形三边相等，可得$DF=EF$，得到第二组对应边相等；第三步观察图形可知$AF$是两个三角形的公共边，因此第三组对应边也相等。三组对应边全部相等，即可对应全等三角形的SSS判定定理。
【解析】
解：由作图可知$AD=AE$，
∵$△ DEF$是等边三角形，
∴$DF=EF$，
在$△ ADF$和$△ AEF$中：
$\begin{cases} AD=AE \\ DF=EF \\ AF=AF\quad (\mathrm{公共边}) \end{cases}$
∴$△ ADF≌△ AEF$（SSS），因此判定依据为SSS，故选A。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形判定、等边三角形的性质
【点评】
本题结合古代数学史背景考查全等三角形的判定，解题关键是从已知条件和图形特征中找到两个三角形对应相等的边，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
