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6.(2025昭通期末)如图,在△ABC中,∠C=90°,DE⊥AB于点E,且AE=AC.若BC=7,则DE+BD的值为().
A.14
B.12
C.9
D.7
A.14
B.12
C.9
D.7
答案
D
解析
【分析】
解题时先结合已知条件分析：已知∠C=90°，DE⊥AB，可得△ACD和△AED均为直角三角形；两个三角形有公共斜边AD，且已知AE=AC，可通过HL定理判定两个直角三角形全等。全等后对应边CD=DE，此时所求的DE+BD可转化为CD+BD，而CD+BD恰好等于已知长度的BC，即可直接得出结果。
【解析】
解：
∵∠C=90°，DE⊥AB
∴∠C=∠AED=90°
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中：
$\begin{cases} AD=AD \\ AC=AE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ AED(\mathrm{HL})$
∴$CD=DE$
∴$DE+BD=CD+BD=BC$
∵$BC=7$
∴$DE+BD=7$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
直角三角形全等的判定、全等三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题核心是利用全等三角形实现线段的等量转化，将未知的线段和转化为已知长度的线段，体现了几何中的转化思想，解题的关键是准确找到具备全等条件的直角三角形。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件分析：已知∠C=90°，DE⊥AB，可得△ACD和△AED均为直角三角形；两个三角形有公共斜边AD，且已知AE=AC，可通过HL定理判定两个直角三角形全等。全等后对应边CD=DE，此时所求的DE+BD可转化为CD+BD，而CD+BD恰好等于已知长度的BC，即可直接得出结果。
【解析】
解：
∵∠C=90°，DE⊥AB
∴∠C=∠AED=90°
在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ AED$中：
$\begin{cases} AD=AD \\ AC=AE \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ ACD≌\mathrm{Rt}△ AED(\mathrm{HL})$
∴$CD=DE$
∴$DE+BD=CD+BD=BC$
∵$BC=7$
∴$DE+BD=7$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
直角三角形全等的判定、全等三角形的性质、线段和差计算
【点评】
本题核心是利用全等三角形实现线段的等量转化，将未知的线段和转化为已知长度的线段，体现了几何中的转化思想，解题的关键是准确找到具备全等条件的直角三角形。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在$△ ABC$中,$AB ⊥ BC$于点$B$,$BE ⊥ AC$于点$E$,$∠ 1=∠ 2$,$AD=AB$,则下列结论中不正确的是().
A.$BF=DF$
B.$∠ 1=∠ EFD$
C.$BF＞EF$
D.$FD // BC$
A.$BF=DF$
B.$∠ 1=∠ EFD$
C.$BF＞EF$
D.$FD // BC$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件：有一组角相等∠1=∠2，一组边相等AD=AB，还有公共边AF，可先通过SAS证明△ADF≌△ABF，得到对应边、对应角相等的结论，再结合BE⊥AC、AB⊥BC的垂直关系推导角的等量关系，逐一验证每个选项是否成立即可。
【解析】
1. 证明△ADF≌△ABF：
在△ADF和△ABF中：
$\begin{cases}AD=AB \quad (\mathrm{已知}) \\∠1=∠2 \quad (\mathrm{已知}) \\AF=AF \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴$△ ADF ≌ △ ABF$（SAS）
∴$BF=DF$，$∠ADF=∠ABF$，故A选项结论正确，不符合题意。
2. 判断D选项：
∵$AB⊥BC$，$BE⊥AC$
∴$∠ABF + ∠C = 90°$，$∠ADF + ∠DFE = 90°$
又
∵$∠ADF=∠ABF$
∴$∠DFE=∠C$
∴$FD // BC$（同位角相等，两直线平行），故D选项结论正确，不符合题意。
3. 判断C选项：
∵$BE⊥AC$，
∴$△ DEF$是直角三角形，DF为斜边，EF为直角边
∴$DF＞EF$，又
∵$BF=DF$
∴$BF＞EF$，故C选项结论正确，不符合题意。
4. 判断B选项：
只有当∠C=∠1时才有∠1=∠EFD，但题目未给出该条件，无法推出∠1=∠EFD，故B选项结论错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，核心突破口是先利用SAS证明三角形全等，再结合全等的性质、垂直的性质推导边和角的关系，逐一排查选项即可得出答案。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知条件：有一组角相等∠1=∠2，一组边相等AD=AB，还有公共边AF，可先通过SAS证明△ADF≌△ABF，得到对应边、对应角相等的结论，再结合BE⊥AC、AB⊥BC的垂直关系推导角的等量关系，逐一验证每个选项是否成立即可。
【解析】
1. 证明△ADF≌△ABF：
在△ADF和△ABF中：
$\begin{cases}AD=AB \quad (\mathrm{已知}) \\∠1=∠2 \quad (\mathrm{已知}) \\AF=AF \quad (\mathrm{公共边})\end{cases}$
∴$△ ADF ≌ △ ABF$（SAS）
∴$BF=DF$，$∠ADF=∠ABF$，故A选项结论正确，不符合题意。
2. 判断D选项：
∵$AB⊥BC$，$BE⊥AC$
∴$∠ABF + ∠C = 90°$，$∠ADF + ∠DFE = 90°$
又
∵$∠ADF=∠ABF$
∴$∠DFE=∠C$
∴$FD // BC$（同位角相等，两直线平行），故D选项结论正确，不符合题意。
3. 判断C选项：
∵$BE⊥AC$，
∴$△ DEF$是直角三角形，DF为斜边，EF为直角边
∴$DF＞EF$，又
∵$BF=DF$
∴$BF＞EF$，故C选项结论正确，不符合题意。
4. 判断B选项：
只有当∠C=∠1时才有∠1=∠EFD，但题目未给出该条件，无法推出∠1=∠EFD，故B选项结论错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合基础题，核心突破口是先利用SAS证明三角形全等，再结合全等的性质、垂直的性质推导边和角的关系，逐一排查选项即可得出答案。
【难度系数】
0.7
8.(易错题)如图,在$5×5$的正方形网格中,$△ ABC$的三个顶点都在格点上,则与$△ ABC$有一条公共边且全等(不与$△ ABC$重合)的格点三角形(顶点都在格点上的三角形)共有().
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
A.5个
B.6个
C.7个
D.8个
答案
B
解析
【分析】
解题时我们采用分类讨论的思路：首先利用网格可确定△ABC的三边长，结合全等三角形“三边对应相等则全等”的判定方法，分三种情况讨论：分别以BC、AB、AC为公共边，找出所有顶点在格点、与△ABC全等且不重合的三角形，最后汇总数量即可，注意计数时不要重复也不要遗漏。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先确定△ABC的三边长：$BC=3$，$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
1. 以BC为公共边：BC为水平边，长度为3，原三角形顶点A在BC上方，符合条件的第三个顶点可在BC上方除A外的1个格点，以及BC下方的2个格点，共3个三角形；
2. 以AB为公共边：结合全等判定，排除原顶点C，可找到2个符合条件的格点作为第三个顶点，共2个三角形；
3. 以AC为公共边：排除原顶点B，可找到1个符合条件的格点作为第三个顶点，共1个三角形。
总个数为$3+2+1=6$个。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定、分类讨论思想、格点图形计数
【点评】
本题是易错题，解题的关键是按照公共边的类型有序分类计数，避免出现漏算或者重复计算的问题，同时要注意排除与原三角形重合的情况，考查学生的几何直观和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
解题时我们采用分类讨论的思路：首先利用网格可确定△ABC的三边长，结合全等三角形“三边对应相等则全等”的判定方法，分三种情况讨论：分别以BC、AB、AC为公共边，找出所有顶点在格点、与△ABC全等且不重合的三角形，最后汇总数量即可，注意计数时不要重复也不要遗漏。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，先确定△ABC的三边长：$BC=3$，$AB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。
1. 以BC为公共边：BC为水平边，长度为3，原三角形顶点A在BC上方，符合条件的第三个顶点可在BC上方除A外的1个格点，以及BC下方的2个格点，共3个三角形；
2. 以AB为公共边：结合全等判定，排除原顶点C，可找到2个符合条件的格点作为第三个顶点，共2个三角形；
3. 以AC为公共边：排除原顶点B，可找到1个符合条件的格点作为第三个顶点，共1个三角形。
总个数为$3+2+1=6$个。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定、分类讨论思想、格点图形计数
【点评】
本题是易错题，解题的关键是按照公共边的类型有序分类计数，避免出现漏算或者重复计算的问题，同时要注意排除与原三角形重合的情况，考查学生的几何直观和逻辑思维能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在△AOB与△COD中,∠A=∠C,请添加一个条件:,使得△AOB≌△COD.
答案
解：已知$∠ A = ∠ C$，且$∠ AOB$与$∠ COD$是对顶角，因此$∠ AOB = ∠ COD$，根据全等三角形ASA判定定理，可添加条件：$\boldsymbol{AO=CO}$（答案不唯一，也可添加$OB=OD$或$AB=CD$等符合要求的条件）。
解析
【分析】
首先梳理已知条件和图形隐含条件：题目已给出∠A=∠C，观察图形可知AC与BD交于点O，∠AOB和∠COD是对顶角，根据对顶角的性质可得∠AOB=∠COD，此时两个三角形已经有两组角对应相等。结合全等三角形的判定定理，两角及夹边相等（ASA）或两角及其中一角的对边相等（AAS）都可判定三角形全等，因此只需添加任意一组对应边相等即可满足全等要求。
【解析】
解：已知∠A=∠C，
∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴∠AOB=∠COD，
若根据ASA判定△AOB≌△COD，可添加两组等角的夹边相等：AO=CO；
也可根据AAS判定，添加∠A、∠C的对边相等即OB=OD，或添加∠AOB、∠COD的对边相等即AB=CD，均可证明△AOB≌△COD。
【答案】
AO=CO（答案不唯一，OB=OD或AB=CD等符合要求的条件均可）
【知识点】
全等三角形的判定；对顶角的性质
【点评】
本题属于开放型基础题，考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题时要结合已知条件和图形隐含的等角条件，添加的边需要对应匹配角的位置即可。
【难度系数】
0.8
首先梳理已知条件和图形隐含条件：题目已给出∠A=∠C，观察图形可知AC与BD交于点O，∠AOB和∠COD是对顶角，根据对顶角的性质可得∠AOB=∠COD，此时两个三角形已经有两组角对应相等。结合全等三角形的判定定理，两角及夹边相等（ASA）或两角及其中一角的对边相等（AAS）都可判定三角形全等，因此只需添加任意一组对应边相等即可满足全等要求。
【解析】
解：已知∠A=∠C，
∵∠AOB与∠COD是对顶角，
∴∠AOB=∠COD，
若根据ASA判定△AOB≌△COD，可添加两组等角的夹边相等：AO=CO；
也可根据AAS判定，添加∠A、∠C的对边相等即OB=OD，或添加∠AOB、∠COD的对边相等即AB=CD，均可证明△AOB≌△COD。
【答案】
AO=CO（答案不唯一，OB=OD或AB=CD等符合要求的条件均可）
【知识点】
全等三角形的判定；对顶角的性质
【点评】
本题属于开放型基础题，考查全等三角形判定定理的灵活应用，解题时要结合已知条件和图形隐含的等角条件，添加的边需要对应匹配角的位置即可。
【难度系数】
0.8
10. 在如图的$3×3$的正方形网格中，$∠1+∠2+∠3$的度数为.
答案
$\boldsymbol{135°}$
解析
【分析】
解题时先结合3×3网格的特征，分析三个角各自所在的直角三角形的边长关系：第一步先找∠1和∠3所在直角三角形的边长，利用全等三角形的性质推导两角的和；第二步判断∠2所在三角形的形状，得到∠2的度数；最后将三个角的度数相加即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 求∠1+∠3的度数：
∠1所在的直角三角形的两条直角边长度分别为1、3，∠3所在的直角三角形的两条直角边长度分别为3、1，两个三角形的直角均为90°，根据“SAS”可判定这两个直角三角形全等，因此∠3与∠1的余角相等，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ 1 + ∠ 3 = 90°$。
2. 求∠2的度数：
观察∠2所在的直角三角形，两条直角边的长度均为2，因此该三角形是等腰直角三角形，可得$∠ 2 = 45°$。
3. 求和：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 90° + 45° = 135°$。
【答案】
$\boldsymbol{135°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是网格角度计算的典型题型，解题核心是利用网格的边长特征，通过全等三角形转化角的数量关系，结合特殊三角形的性质求解，能很好地考查学生的图形观察能力和几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先结合3×3网格的特征，分析三个角各自所在的直角三角形的边长关系：第一步先找∠1和∠3所在直角三角形的边长，利用全等三角形的性质推导两角的和；第二步判断∠2所在三角形的形状，得到∠2的度数；最后将三个角的度数相加即可得到结果。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 求∠1+∠3的度数：
∠1所在的直角三角形的两条直角边长度分别为1、3，∠3所在的直角三角形的两条直角边长度分别为3、1，两个三角形的直角均为90°，根据“SAS”可判定这两个直角三角形全等，因此∠3与∠1的余角相等，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠ 1 + ∠ 3 = 90°$。
2. 求∠2的度数：
观察∠2所在的直角三角形，两条直角边的长度均为2，因此该三角形是等腰直角三角形，可得$∠ 2 = 45°$。
3. 求和：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 = 90° + 45° = 135°$。
【答案】
$\boldsymbol{135°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是网格角度计算的典型题型，解题核心是利用网格的边长特征，通过全等三角形转化角的数量关系，结合特殊三角形的性质求解，能很好地考查学生的图形观察能力和几何基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点D,EF经过点D,分别交AB,AC于点E,F,BE=DE,DF=6,点D到AC的距离为5,则△DFC的面积为.
答案
$\boldsymbol{15}$
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①BD是∠ABC的角平分线，可得∠EBD=∠CBD；②BE=DE，由等腰三角形等边对等角得∠EBD=∠EDB，等量代换后得到内错角相等，可推出EF//BC。再结合CD是∠ACB的角平分线，利用平行线的内错角相等，可得∠FDC=∠FCD，由等角对等边推出FC=DF，得到△DFC的底边长。最后结合点D到AC的距离就是△DFC中底边CF上的高，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：
1.
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD
2.
∵BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB
3.
∴∠EDB=∠CBD，
∴EF//BC（内错角相等，两直线平行）
4.
∴∠FDC=∠DCB（两直线平行，内错角相等）
5.
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD=∠DCB
6.
∴∠FDC=∠FCD，
∴FC=DF=6（等角对等边）
7. 已知点D到AC的距离为5，即△DFC的边CF上的高为5
8. 根据三角形面积公式：$S_{△ DFC}=\frac{1}{2}× CF × 高 = \frac{1}{2}×6×5=15$
【答案】
$\boldsymbol{15}$
【知识点】
角平分线的性质；平行线的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题将角平分线、平行线、等腰三角形的性质结合考查，解题的核心是通过角的等量代换推导出EF//BC，进而得到△DFC的底边长，再结合高的条件计算面积，要求学生能灵活运用基础几何性质进行推导。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件入手：①BD是∠ABC的角平分线，可得∠EBD=∠CBD；②BE=DE，由等腰三角形等边对等角得∠EBD=∠EDB，等量代换后得到内错角相等，可推出EF//BC。再结合CD是∠ACB的角平分线，利用平行线的内错角相等，可得∠FDC=∠FCD，由等角对等边推出FC=DF，得到△DFC的底边长。最后结合点D到AC的距离就是△DFC中底边CF上的高，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
解：
1.
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠CBD
2.
∵BE=DE，
∴∠EBD=∠EDB
3.
∴∠EDB=∠CBD，
∴EF//BC（内错角相等，两直线平行）
4.
∴∠FDC=∠DCB（两直线平行，内错角相等）
5.
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD=∠DCB
6.
∴∠FDC=∠FCD，
∴FC=DF=6（等角对等边）
7. 已知点D到AC的距离为5，即△DFC的边CF上的高为5
8. 根据三角形面积公式：$S_{△ DFC}=\frac{1}{2}× CF × 高 = \frac{1}{2}×6×5=15$
【答案】
$\boldsymbol{15}$
【知识点】
角平分线的性质；平行线的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题将角平分线、平行线、等腰三角形的性质结合考查，解题的核心是通过角的等量代换推导出EF//BC，进而得到△DFC的底边长，再结合高的条件计算面积，要求学生能灵活运用基础几何性质进行推导。
【难度系数】
0.6
12. 如图，$∠ A=∠ B=90°$，$AB=80$，$E$和$F$分别为线段$AB$和射线$BD$上的点.若点$E$从点$B$出发向点$A$运动，同时，点$F$从点$B$出发沿$BD$运动，点$E$和点$F$的运动速度之比为$2:3$，运动到某时刻，点$E$和点$F$同时停止运动，在射线$AC$上取一点$G$，使$△ AEG$与$△ BEF$全等，则$AG$的长为.
答案
解：设运动停止时，$BE=2x$，由点$E$和点$F$的运动速度之比为$2:3$，可得$BF=3x$。
已知$AB=80$，则$AE=AB-BE=80-2x$。
分两种全等情况讨论：
1. 当$△ AEG ≌ △ BEF$时，对应边满足$AE=BE$，$AG=BF$。
由$AE=BE$得：$80-2x=2x$，
解得$x=20$，
此时$AG=BF=3x=60$。
2. 当$△ AEG ≌ △ BFE$时，对应边满足$AE=BF$，$AG=BE$。
由$AE=BF$得：$80-2x=3x$，
解得$x=16$，
此时$AG=BE=2x=32$。
综上，$AG$的长为$\boldsymbol{60}$或$\boldsymbol{32}$。
已知$AB=80$，则$AE=AB-BE=80-2x$。
分两种全等情况讨论：
1. 当$△ AEG ≌ △ BEF$时，对应边满足$AE=BE$，$AG=BF$。
由$AE=BE$得：$80-2x=2x$，
解得$x=20$，
此时$AG=BF=3x=60$。
2. 当$△ AEG ≌ △ BFE$时，对应边满足$AE=BF$，$AG=BE$。
由$AE=BF$得：$80-2x=3x$，
解得$x=16$，
此时$AG=BE=2x=32$。
综上，$AG$的长为$\boldsymbol{60}$或$\boldsymbol{32}$。
解析
【分析】
本题是动点结合全等三角形的求解问题，首先根据E、F的速度比设未知数表示出BE、BF的长度，再结合AB的长度表示出AE的长度；由于题干仅说明△AEG与△BEF全等，未明确对应边，因此需要分两种对应情况讨论，根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解，即可得到AG的长度。
【解析】
设运动停止时，$BE=2x$，由点E和点F的运动速度之比为$2:3$，运动时间相同，路程比等于速度比，可得$BF=3x$。
已知$AB=80$，则$AE=AB-BE=80-2x$。
由于$∠A=∠B=90°$，两三角形全等时分两种情况讨论：
1. 当$△ AEG ≌ △ BEF$时，对应边满足$AE=BE$，$AG=BF$。
由$AE=BE$列方程：$80-2x=2x$，
解得$x=20$，
此时$AG=BF=3x=3×20=60$。
2. 当$△ AEG ≌ △ BFE$时，对应边满足$AE=BF$，$AG=BE$。
由$AE=BF$列方程：$80-2x=3x$，
解得$x=16$，
此时$AG=BE=2x=2×16=32$。
综上，AG的长为60或32。
【答案】
$\boldsymbol{60}$或$\boldsymbol{32}$
【知识点】
全等三角形的性质，分类讨论思想，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于动点与全等三角形结合的常见题型，解题的核心是明确全等三角形对应关系不唯一时需分类讨论，结合动点的路程与速度的关系设未知数列方程求解，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
本题是动点结合全等三角形的求解问题，首先根据E、F的速度比设未知数表示出BE、BF的长度，再结合AB的长度表示出AE的长度；由于题干仅说明△AEG与△BEF全等，未明确对应边，因此需要分两种对应情况讨论，根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解，即可得到AG的长度。
【解析】
设运动停止时，$BE=2x$，由点E和点F的运动速度之比为$2:3$，运动时间相同，路程比等于速度比，可得$BF=3x$。
已知$AB=80$，则$AE=AB-BE=80-2x$。
由于$∠A=∠B=90°$，两三角形全等时分两种情况讨论：
1. 当$△ AEG ≌ △ BEF$时，对应边满足$AE=BE$，$AG=BF$。
由$AE=BE$列方程：$80-2x=2x$，
解得$x=20$，
此时$AG=BF=3x=3×20=60$。
2. 当$△ AEG ≌ △ BFE$时，对应边满足$AE=BF$，$AG=BE$。
由$AE=BF$列方程：$80-2x=3x$，
解得$x=16$，
此时$AG=BE=2x=2×16=32$。
综上，AG的长为60或32。
【答案】
$\boldsymbol{60}$或$\boldsymbol{32}$
【知识点】
全等三角形的性质，分类讨论思想，一元一次方程的应用
【点评】
本题属于动点与全等三角形结合的常见题型，解题的核心是明确全等三角形对应关系不唯一时需分类讨论，结合动点的路程与速度的关系设未知数列方程求解，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
13. 如图，$∠ BAC=90°,AD$是$∠ BAC$内部的一条射线，若$AB=AC,BE ⊥ AD$于点$E,CF ⊥ AD$于点$F$.求证:$AF=BE$.
13. 如图，$∠ BAC=90°,AD$是$∠ BAC$内部的一条射线，若$AB=AC,BE ⊥ AD$于点$E,CF ⊥ AD$于点$F$.求证:$AF=BE$.
答案
证明：
∵ ∠BAC = 90°，
∴ ∠BAE + ∠CAF = 90°。
∵ BE ⊥ AD，CF ⊥ AD，
∴ ∠AEB = ∠CFA = 90°，
∴ 在Rt△ABE中，∠BAE + ∠ABE = 90°，
∴ ∠ABE = ∠CAF。
在△ABE和△CAF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB = ∠CFA \\∠ABE = ∠CAF \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CAF（AAS），
∴ AF = BE。
∵ ∠BAC = 90°，
∴ ∠BAE + ∠CAF = 90°。
∵ BE ⊥ AD，CF ⊥ AD，
∴ ∠AEB = ∠CFA = 90°，
∴ 在Rt△ABE中，∠BAE + ∠ABE = 90°，
∴ ∠ABE = ∠CAF。
在△ABE和△CAF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB = ∠CFA \\∠ABE = ∠CAF \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CAF（AAS），
∴ AF = BE。
解析
【分析】
要证明两条线段相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先观察到AF在△CAF中，BE在△ABE中，我们只需证明这两个三角形全等即可：第一步先利用直角的性质推导等角，已知∠BAC=90°，可得∠BAE与∠CAF互余；又因为BE⊥AD，所以Rt△ABE中∠BAE与∠ABE互余，根据同角的余角相等即可推出∠ABE=∠CAF。再结合已知的AB=AC，以及两个垂直条件得到的直角相等，就能用AAS判定△ABE≌△CAF，最后根据全等三角形对应边相等即可得到AF=BE。
【解析】
证明：
∵ ∠BAC = 90°，
∴ ∠BAE + ∠CAF = 90°。
∵ BE ⊥ AD，CF ⊥ AD，
∴ ∠AEB = ∠CFA = 90°，
∴ 在Rt△ABE中，∠BAE + ∠ABE = 90°，
∴ ∠ABE = ∠CAF。
在△ABE和△CAF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB = ∠CFA \\∠ABE = ∠CAF \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CAF（AAS），
∴ AF = BE。
【答案】
AF=BE
【知识点】
余角的性质，全等三角形判定，全等三角形性质
【点评】
本题是利用全等三角形证明线段相等的基础题型，解题核心是通过直角的性质推导相等的角，进而找到三角形全等的条件，掌握这类常规证明思路，可为解决更复杂的几何证明题打好基础。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。首先观察到AF在△CAF中，BE在△ABE中，我们只需证明这两个三角形全等即可：第一步先利用直角的性质推导等角，已知∠BAC=90°，可得∠BAE与∠CAF互余；又因为BE⊥AD，所以Rt△ABE中∠BAE与∠ABE互余，根据同角的余角相等即可推出∠ABE=∠CAF。再结合已知的AB=AC，以及两个垂直条件得到的直角相等，就能用AAS判定△ABE≌△CAF，最后根据全等三角形对应边相等即可得到AF=BE。
【解析】
证明：
∵ ∠BAC = 90°，
∴ ∠BAE + ∠CAF = 90°。
∵ BE ⊥ AD，CF ⊥ AD，
∴ ∠AEB = ∠CFA = 90°，
∴ 在Rt△ABE中，∠BAE + ∠ABE = 90°，
∴ ∠ABE = ∠CAF。
在△ABE和△CAF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB = ∠CFA \\∠ABE = ∠CAF \\AB = AC\end{array} $
∴ △ABE ≌ △CAF（AAS），
∴ AF = BE。
【答案】
AF=BE
【知识点】
余角的性质，全等三角形判定，全等三角形性质
【点评】
本题是利用全等三角形证明线段相等的基础题型，解题核心是通过直角的性质推导相等的角，进而找到三角形全等的条件，掌握这类常规证明思路，可为解决更复杂的几何证明题打好基础。
【难度系数】
0.8
