14.(2025昭通期末)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,CE⊥AD,分别交AB,AD于点E,F.

(1)求证:△AFE≌△AFC；
(2)若∠ACB=80°,∠BCE=30°,求∠B的度数.

(1) 证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF = ∠CAF。
∵CE⊥AD，
∴∠AFE = ∠AFC = 90°。
在△AFE和△AFC中，
$\{\begin{array}{l}∠EAF = ∠CAF, \\AF = AF, \\∠AFE = ∠AFC,\end{array} $
∴△AFE ≌ △AFC（ASA）。
---
(2) 解：
∵∠ACB = 80°，∠BCE = 30°，
∴∠ACE = ∠ACB - ∠BCE = $80° - 30° = 50°$。
由(1)中△AFE ≌ △AFC，得AE = AC，
∴∠AEC = ∠ACE = $50°$。
∵∠AEC是△BCE的外角，
∴∠AEC = ∠B + ∠BCE，
∴∠B = ∠AEC - ∠BCE = $50° - 30° = 20°$。
答：∠B的度数为$20°$。

【分析】
(1)要证明△AFE≌△AFC，先梳理已知条件：AD是∠BAC的角平分线，可得∠EAF=∠CAF；CE垂直AD可得∠AFE=∠AFC=90°，再结合公共边AF=AF，即可通过ASA判定两三角形全等。
(2)求∠B的度数，首先用∠ACB减去∠BCE算出∠ACE的度数；再利用(1)的全等结论得到AE=AC，可知△AEC是等腰三角形，得出∠AEC=∠ACE；最后根据三角形外角的性质，∠AEC是△BCE的外角，等于∠B与∠BCE的和，代入数值即可求出∠B的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAF = ∠CAF。
∵CE⊥AD，
∴∠AFE = ∠AFC = 90°。
在△AFE和△AFC中，
$\{\begin{array}{l}∠EAF = ∠CAF, \\AF = AF, \\∠AFE = ∠AFC,\end{array} $
∴△AFE ≌ △AFC（ASA）。
(2) 解：
∵∠ACB = 80°，∠BCE = 30°，
∴∠ACE = ∠ACB - ∠BCE = $80° - 30° = 50°$。
由(1)中△AFE ≌ △AFC，得AE = AC，
∴∠AEC = ∠ACE = $50°$。
∵∠AEC是△BCE的外角，
∴∠AEC = ∠B + ∠BCE，
∴∠B = ∠AEC - ∠BCE = $50° - 30° = 20°$。
【答案】
(1) 已证明△AFE≌△AFC；
(2) ∠B的度数为$\boldsymbol{20°}$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形基础综合题，解题的关键是充分利用题干给出的角平分线、垂直条件先证明三角形全等，再结合等腰三角形性质和外角定理求解角度，要注意前后小问的关联，前一问的结论通常可作为后一问的解题条件。
【难度系数】
0.7

15. (1)问题背景:
如图(1),在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是线段BC和线段CD上的点,若∠BAD=2∠EAF,试探究线段BE,EF,FD之间的数量关系.小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论.他的结论应是(不用写证明过程).

(2)猜想论证:
如图(2),在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC=180°,E在线段BC上,F在线段CD延长线上.若∠BAD=2∠EAF,上述结论是否依然成立?若成立,说明理由;若不成立,试写出相应的结论并给出你的证明.

(1) $\boldsymbol{EF=BE+FD}$
(2)
解：上述结论不成立，相应结论为$EF = BE - FD$。
证明：
在$BE$上截取$BG$，使$BG = FD$，连接$AG$。
$\because ∠ ADC + ∠ ADF = 180°$，$∠ B + ∠ ADC = 180°$，
$\therefore ∠ B = ∠ ADF$。
在$△ ABG$和$△ ADF$中：
$\begin{cases}AB = AD \\∠ B = ∠ ADF \\BG = DF\end{cases}$
$\therefore △ ABG ≌ △ ADF(\mathrm{SAS})$。
$\therefore AG = AF$，$∠ BAG = ∠ DAF$。
$\therefore ∠ BAG + ∠ EAD = ∠ DAF + ∠ EAD$，即$∠ GAF = ∠ BAD$。
$\because ∠ BAD = 2∠ EAF$，
$\therefore ∠ GAF = 2∠ EAF$，
$\therefore ∠ EAG = ∠ GAF - ∠ EAF = ∠ EAF$。
在$△ AEG$和$△ AEF$中：
$\begin{cases}AG = AF \\∠ EAG = ∠ EAF \\AE = AE\end{cases}$
$\therefore △ AEG ≌ △ AEF(\mathrm{SAS})$。
$\therefore EF = EG$。
又$\because EG = BE - BG$，$BG = FD$，
$\therefore EF = BE - FD$。

【分析】
(1) 第一小问可按题目给出的辅助线思路推导：先利用同角的补角相等得到∠B=∠ADG，结合已知边相等条件用SAS证△ABE≌△ADG，得到对应边、对应角相等；再结合∠BAD=2∠EAF推导∠EAF=∠GAF，证△AEF≌△AGF，即可得到三条线段的数量关系。
(2) 第二小问中点F在CD延长线上，原补短法不适用，改用截长法：在BE上截取与FD等长的线段BG，先证△ABG≌△ADF得到对应边、角相等，再结合2倍角条件推导出∠EAG=∠EAF，证△AEG≌△AEF，最终得到线段数量关系。
【解析】
(1) 根据题中给出的证明思路，直接得到结论：$\boldsymbol{EF=BE+FD}$。
(2) 上述结论不成立，相应结论为$EF = BE - FD$，证明过程如下：
在$BE$上截取$BG$，使$BG = FD$，连接$AG$。
$\because ∠ ADC + ∠ ADF = 180°$，$∠ B + ∠ ADC = 180°$，
$\therefore ∠ B = ∠ ADF$。
在$△ ABG$和$△ ADF$中：
$\begin{cases}AB = AD \\∠ B = ∠ ADF \\BG = DF\end{cases}$
$\therefore △ ABG ≌ △ ADF(\mathrm{SAS})$。
$\therefore AG = AF$，$∠ BAG = ∠ DAF$。
$\therefore ∠ BAG + ∠ EAD = ∠ DAF + ∠ EAD$，即$∠ GAF = ∠ BAD$。
$\because ∠ BAD = 2∠ EAF$，
$\therefore ∠ GAF = 2∠ EAF$，
$\therefore ∠ EAG = ∠ GAF - ∠ EAF = ∠ EAF$。
在$△ AEG$和$△ AEF$中：
$\begin{cases}AG = AF \\∠ EAG = ∠ EAF \\AE = AE\end{cases}$
$\therefore △ AEG ≌ △ AEF(\mathrm{SAS})$。
$\therefore EF = EG$。
又$\because EG = BE - BG$，$BG = FD$，
$\therefore EF = BE - FD$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{EF=BE+FD}$
(2) 原结论不成立，正确结论为$\boldsymbol{EF=BE-FD}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 补角的性质
3. 截长补短法
【点评】
本题是半角模型的典型习题，核心是通过截长补短构造全等三角形，将分散的线段转化到同一直线上探究数量关系，解题时需根据动点的位置变化灵活调整构造全等的辅助线方法。
【难度系数】
0.6