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1. 已知两个多边形相似,请完成下面的表格。
两个多边形的相似比 | 10 | | |
--- | --- | --- | ---
两个多边形的周长比 |
| 5 | |
两个多边形的面积比 | | | 4
两个多边形的相似比 | 10 | | |
--- | --- | --- | ---
两个多边形的周长比 |
| 5 | |两个多边形的面积比 | | | 4
答案
| 两个多边形的相似比 | 10 | 5 | 2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 两个多边形的周长比 | 10 | 5 | 2 |
| 两个多边形的面积比 | 100 | 25 | 4 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 两个多边形的周长比 | 10 | 5 | 2 |
| 两个多边形的面积比 | 100 | 25 | 4 |
解析
【分析】
本题解题的核心依据是相似多边形的性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。我们按列逐次推导：第一列已知相似比，可直接推导周长比和面积比；第二列已知周长比，先得到相似比，再推导面积比；第三列已知面积比，先开平方得到相似比，再推导周长比。
【解析】
根据相似多边形的性质，逐列计算：
1. 第一列：已知相似比为10
周长比=相似比=10
面积比=相似比²=10²=100
2. 第二列：已知周长比为5
相似比=周长比=5
面积比=相似比²=5²=25
3. 第三列：已知面积比为4
相似比=√面积比=√4=2
周长比=相似比=2
将计算结果填入对应表格位置即可。
【答案】
| 两个多边形的相似比 | 10 | 5 | 2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 两个多边形的周长比 | 10 | 5 | 2 |
| 两个多边形的面积比 | 100 | 25 | 4 |
【知识点】
相似多边形性质，比例运算，开平方运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查相似多边形的相似比、周长比、面积比三者的关系，既需要掌握性质的正向运用，也需要掌握已知面积比反推相似比的逆向运用，熟练掌握性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题解题的核心依据是相似多边形的性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。我们按列逐次推导：第一列已知相似比，可直接推导周长比和面积比；第二列已知周长比，先得到相似比，再推导面积比；第三列已知面积比，先开平方得到相似比，再推导周长比。
【解析】
根据相似多边形的性质，逐列计算：
1. 第一列：已知相似比为10
周长比=相似比=10
面积比=相似比²=10²=100
2. 第二列：已知周长比为5
相似比=周长比=5
面积比=相似比²=5²=25
3. 第三列：已知面积比为4
相似比=√面积比=√4=2
周长比=相似比=2
将计算结果填入对应表格位置即可。
【答案】
| 两个多边形的相似比 | 10 | 5 | 2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 两个多边形的周长比 | 10 | 5 | 2 |
| 两个多边形的面积比 | 100 | 25 | 4 |
【知识点】
相似多边形性质，比例运算，开平方运算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查相似多边形的相似比、周长比、面积比三者的关系，既需要掌握性质的正向运用，也需要掌握已知面积比反推相似比的逆向运用，熟练掌握性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. 如图，五边形$ABCDE ∽$五边形$FGHIJ$。求图中未知的边长$x$，$y$和$∠ H$的大小。
答案
$x=15,y=12,∠H=108°$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。第一步先确定两个相似五边形的对应角和对应边：由五边形$ABCDE ∽$五边形$FGHIJ$，可知$∠C$与$∠H$是对应角，$BC$与$GH$、$CD$与$HI$、$DE$与$IJ$是对应边。第二步先利用对应角相等直接得到$∠H$的度数；第三步通过已知的对应边$BC$和$GH$算出相似比，再根据对应边成比例列等式，分别求解未知边长$x$和$y$即可。
【解析】
解：$\because$ 五边形$ABCDE ∽$五边形$FGHIJ$
$\therefore$ 相似多边形对应角相等，对应边成比例
1. 求$\boldsymbol{∠H}$：
$∠H$与$∠C$是对应角，因此$∠H=∠C=108°$
2. 计算相似比：
已知对应边$BC=8$，$GH=12$，则两个五边形的相似比为$\frac{BC}{GH}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
3. 求$\boldsymbol{y}$：
$CD$与$HI$是对应边，满足$\frac{CD}{HI}=\frac{2}{3}$，代入$HI=18$得：
$\frac{y}{18}=\frac{2}{3}$，解得$y=18×\frac{2}{3}=12$
4. 求$\boldsymbol{x}$：
$DE$与$IJ$是对应边，满足$\frac{DE}{IJ}=\frac{2}{3}$，代入$DE=10$得：
$\frac{10}{x}=\frac{2}{3}$，交叉相乘得$2x=30$，解得$x=15$
【答案】
$x=15$，$y=12$，$∠H=108°$
【知识点】
相似多边形的性质、比例计算
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用，解题的核心是准确识别对应边和对应角，再结合比例关系计算未知量，熟练掌握相似多边形的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。第一步先确定两个相似五边形的对应角和对应边：由五边形$ABCDE ∽$五边形$FGHIJ$，可知$∠C$与$∠H$是对应角，$BC$与$GH$、$CD$与$HI$、$DE$与$IJ$是对应边。第二步先利用对应角相等直接得到$∠H$的度数；第三步通过已知的对应边$BC$和$GH$算出相似比，再根据对应边成比例列等式，分别求解未知边长$x$和$y$即可。
【解析】
解：$\because$ 五边形$ABCDE ∽$五边形$FGHIJ$
$\therefore$ 相似多边形对应角相等，对应边成比例
1. 求$\boldsymbol{∠H}$：
$∠H$与$∠C$是对应角，因此$∠H=∠C=108°$
2. 计算相似比：
已知对应边$BC=8$，$GH=12$，则两个五边形的相似比为$\frac{BC}{GH}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$
3. 求$\boldsymbol{y}$：
$CD$与$HI$是对应边，满足$\frac{CD}{HI}=\frac{2}{3}$，代入$HI=18$得：
$\frac{y}{18}=\frac{2}{3}$，解得$y=18×\frac{2}{3}=12$
4. 求$\boldsymbol{x}$：
$DE$与$IJ$是对应边，满足$\frac{DE}{IJ}=\frac{2}{3}$，代入$DE=10$得：
$\frac{10}{x}=\frac{2}{3}$，交叉相乘得$2x=30$，解得$x=15$
【答案】
$x=15$，$y=12$，$∠H=108°$
【知识点】
相似多边形的性质、比例计算
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用，解题的核心是准确识别对应边和对应角，再结合比例关系计算未知量，熟练掌握相似多边形的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 在一张比例尺为$1:10000$的地图上，一个多边形地区的周长为70 cm，面积为$330\ \mathrm{cm}^2$。这个地区的实际周长是多少？实际面积是多少？
答案
$7\ \mathrm{km},3.3\ \mathrm{km}^2$
解析
【分析】
地图上的多边形与实际地区的多边形是相似图形，比例尺1:10000就是两个相似多边形的相似比。解题时先利用相似多边形周长比等于相似比，求出实际周长的厘米数，再换算为千米；再利用相似多边形面积比等于相似比的平方，求出实际面积的平方厘米数，再换算为平方千米即可。
【解析】
解：由题意可知，地图多边形与实际多边形的相似比为$\frac{1}{10000}$。
①求实际周长：
根据相似多边形周长比等于相似比，得：
$\frac{\mathrm{图上周长}}{\mathrm{实际周长}}=\frac{1}{10000}$
实际周长$=70÷\frac{1}{10000}=70×10000=700000\ \mathrm{cm}$
单位换算：$700000\ \mathrm{cm}=7000\ \mathrm{m}=7\ \mathrm{km}$
②求实际面积：
根据相似多边形面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{\mathrm{图上面积}}{\mathrm{实际面积}}=(\frac{1}{10000})^2=\frac{1}{10^8}$
实际面积$=330÷\frac{1}{10^8}=330×10^8=3.3×10^{10}\ \mathrm{cm}^2$
单位换算：$1\ \mathrm{km}^2=(10^5\ \mathrm{cm})^2=10^{10}\ \mathrm{cm}^2$，所以$3.3×10^{10}\ \mathrm{cm}^2=3.3\ \mathrm{km}^2$
【答案】
实际周长是$\boxed{7\ \mathrm{km}}$，实际面积是$\boxed{3.3\ \mathrm{km}^2}$
【知识点】
相似多边形性质，比例尺应用，单位换算
【点评】
本题是相似性质在实际生活中的应用类题目，解题的核心是区分相似多边形周长比和面积比与相似比的关系，切记面积比是相似比的平方，不要和周长比混淆，同时计算过程中要注意单位的层级换算，避免单位换算错误。
【难度系数】
0.7
地图上的多边形与实际地区的多边形是相似图形，比例尺1:10000就是两个相似多边形的相似比。解题时先利用相似多边形周长比等于相似比，求出实际周长的厘米数，再换算为千米；再利用相似多边形面积比等于相似比的平方，求出实际面积的平方厘米数，再换算为平方千米即可。
【解析】
解：由题意可知，地图多边形与实际多边形的相似比为$\frac{1}{10000}$。
①求实际周长：
根据相似多边形周长比等于相似比，得：
$\frac{\mathrm{图上周长}}{\mathrm{实际周长}}=\frac{1}{10000}$
实际周长$=70÷\frac{1}{10000}=70×10000=700000\ \mathrm{cm}$
单位换算：$700000\ \mathrm{cm}=7000\ \mathrm{m}=7\ \mathrm{km}$
②求实际面积：
根据相似多边形面积比等于相似比的平方，得：
$\frac{\mathrm{图上面积}}{\mathrm{实际面积}}=(\frac{1}{10000})^2=\frac{1}{10^8}$
实际面积$=330÷\frac{1}{10^8}=330×10^8=3.3×10^{10}\ \mathrm{cm}^2$
单位换算：$1\ \mathrm{km}^2=(10^5\ \mathrm{cm})^2=10^{10}\ \mathrm{cm}^2$，所以$3.3×10^{10}\ \mathrm{cm}^2=3.3\ \mathrm{km}^2$
【答案】
实际周长是$\boxed{7\ \mathrm{km}}$，实际面积是$\boxed{3.3\ \mathrm{km}^2}$
【知识点】
相似多边形性质，比例尺应用，单位换算
【点评】
本题是相似性质在实际生活中的应用类题目，解题的核心是区分相似多边形周长比和面积比与相似比的关系，切记面积比是相似比的平方，不要和周长比混淆，同时计算过程中要注意单位的层级换算，避免单位换算错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图，E，F分别是矩形ABCD一组对边AD，BC的中点。已知矩形AEFB∽矩形ABCD，求AB：BC的值。
答案
由矩形$AEFB∽$矩形$ABCD$,得$AE:AB=AB:BC$,即$\frac{1}{2}BC:AB=AB:BC$,得$BC=\sqrt{2}AB$。所以$AB:BC=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例。解题时先利用矩形对边相等的性质得到AD=BC，再结合E是AD中点，将AE用BC表示；接下来根据两个矩形相似的条件，找准对应边列出比例式，最后通过变形计算即可求出AB与BC的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∵E是AD的中点，
∴$AE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$，
∵矩形AEFB∽矩形ABCD，
∴对应边成比例，即 $\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{BC}$，
将$AE=\frac{1}{2}BC$代入上式得：$\frac{\frac{1}{2}BC}{AB}=\frac{AB}{BC}$，
交叉相乘得：$AB^2 = \frac{1}{2}BC^2$，
∵AB、BC均为正数，
∴$BC=\sqrt{2}AB$，
∴$AB:BC = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
相似多边形的性质，矩形的性质
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用，解题的关键是准确找到相似矩形的对应边，结合矩形边长的数量关系列出比例式求解，计算时注意线段长度为正数，开方时仅保留正根。
【难度系数】
0.7
首先回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的对应边成比例。解题时先利用矩形对边相等的性质得到AD=BC，再结合E是AD中点，将AE用BC表示；接下来根据两个矩形相似的条件，找准对应边列出比例式，最后通过变形计算即可求出AB与BC的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，
∵E是AD的中点，
∴$AE = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$，
∵矩形AEFB∽矩形ABCD，
∴对应边成比例，即 $\frac{AE}{AB}=\frac{AB}{BC}$，
将$AE=\frac{1}{2}BC$代入上式得：$\frac{\frac{1}{2}BC}{AB}=\frac{AB}{BC}$，
交叉相乘得：$AB^2 = \frac{1}{2}BC^2$，
∵AB、BC均为正数，
∴$BC=\sqrt{2}AB$，
∴$AB:BC = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
相似多边形的性质，矩形的性质
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用，解题的关键是准确找到相似矩形的对应边，结合矩形边长的数量关系列出比例式求解，计算时注意线段长度为正数，开方时仅保留正根。
【难度系数】
0.7
