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5. 如图，矩形ABCD的长AB=30，宽BC=20。
（1）如图①，若矩形ABCD内四周有宽为1的方形区域，图中矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？
（2）如图②，当x为多少时，矩形ABCD和矩形A'B'C'D'相似？
（1）如图①，若矩形ABCD内四周有宽为1的方形区域，图中矩形ABCD与矩形A'B'C'D'相似吗？为什么？
（2）如图②，当x为多少时，矩形ABCD和矩形A'B'C'D'相似？
答案
（1）不相似。
（2）若矩形$ABCD$ 和矩形$A'B'C'D'$相似,则$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$或$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$,即$\frac{30-2x}{30}=\frac{20-2}{20}$或$\frac{30-2x}{20}=\frac{20-2}{30}$,解得 $x=1.5$ 或 $x=9$。
（2）若矩形$ABCD$ 和矩形$A'B'C'D'$相似,则$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$或$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$,即$\frac{30-2x}{30}=\frac{20-2}{20}$或$\frac{30-2x}{20}=\frac{20-2}{30}$,解得 $x=1.5$ 或 $x=9$。
解析
【分析】
判定两个矩形是否相似，因矩形四个角均为直角，只需判断对应边是否成比例即可。
(1) 先计算图①中内矩形的长和宽，再分别计算内外矩形长的比、宽的比，对比比值是否相等即可判断是否相似；
(2) 两个矩形相似时，对应边存在两种对应关系：内矩形的长对应外矩形的长、内矩形的长对应外矩形的宽，分两种情况列比例方程求解即可得到x的值。
【解析】
(1) 先计算矩形$A'B'C'D'$的边长：
$A'B'=AB-2×1=30-2=28$，$B'C'=BC-2×1=20-2=18$
计算对应边比值：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{30}{28}=\frac{15}{14}$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}$
因为$\frac{15}{14}≠\frac{10}{9}$，对应边不成比例，所以矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$不相似。
(2) 若两个矩形相似，分两种情况列比例式：
① 当$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$时，代入得：
$\frac{30-2x}{30}=\frac{20-2}{20}$
化简得$\frac{30-2x}{30}=\frac{9}{10}$，解得$x=1.5$；
② 当$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$时，代入得：
$\frac{30-2x}{20}=\frac{20-2}{30}$
化简得$\frac{30-2x}{20}=\frac{3}{5}$，解得$x=9$。
【答案】
（1）不相似；
（2）$x=1.5$或$x=9$
【知识点】
相似多边形判定，解一元一次方程，分类讨论
【点评】
本题解题核心是明确矩形相似只需满足对应边成比例，注意对应边的对应关系有两种情况，不要漏解。
【难度系数】
0.7
判定两个矩形是否相似，因矩形四个角均为直角，只需判断对应边是否成比例即可。
(1) 先计算图①中内矩形的长和宽，再分别计算内外矩形长的比、宽的比，对比比值是否相等即可判断是否相似；
(2) 两个矩形相似时，对应边存在两种对应关系：内矩形的长对应外矩形的长、内矩形的长对应外矩形的宽，分两种情况列比例方程求解即可得到x的值。
【解析】
(1) 先计算矩形$A'B'C'D'$的边长：
$A'B'=AB-2×1=30-2=28$，$B'C'=BC-2×1=20-2=18$
计算对应边比值：$\frac{AB}{A'B'}=\frac{30}{28}=\frac{15}{14}$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}$
因为$\frac{15}{14}≠\frac{10}{9}$，对应边不成比例，所以矩形$ABCD$与矩形$A'B'C'D'$不相似。
(2) 若两个矩形相似，分两种情况列比例式：
① 当$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}$时，代入得：
$\frac{30-2x}{30}=\frac{20-2}{20}$
化简得$\frac{30-2x}{30}=\frac{9}{10}$，解得$x=1.5$；
② 当$\frac{A'B'}{BC}=\frac{B'C'}{AB}$时，代入得：
$\frac{30-2x}{20}=\frac{20-2}{30}$
化简得$\frac{30-2x}{20}=\frac{3}{5}$，解得$x=9$。
【答案】
（1）不相似；
（2）$x=1.5$或$x=9$
【知识点】
相似多边形判定，解一元一次方程，分类讨论
【点评】
本题解题核心是明确矩形相似只需满足对应边成比例，注意对应边的对应关系有两种情况，不要漏解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，平行于正多边形一边的直线将正多边形分割成两部分，则阴影部分多边形与原多边形一定相似的是（
A
）。答案
A
解析
【分析】
要判断阴影部分与原多边形是否相似，需依据相似多边形的判定条件：两个多边形的对应角分别相等，且对应边成比例，两个条件缺一不可。解题时结合正多边形内角、边长都相等的性质，以及平行线的角度性质，逐个分析每个选项的阴影部分是否同时满足这两个条件即可。
【解析】
相似多边形的判定要求：对应角相等，且对应边成比例。
选项A：原图形是正三角形，直线平行于底边切割，阴影部分仍为三角形。由平行线的同位角相等可知，阴影三角形的三个内角均为60°，和原正三角形的内角对应相等，且三边对应成比例，符合相似多边形判定条件，因此二者相似。
选项B：原图形是正方形（四边长度相等），阴影部分是矩形，矩形的一组邻边长度不相等（一边等于原正方形边长，另一边小于原边长），与原正方形的对应边不成比例，因此二者不相似。
选项C：原图形是正五边形，每个内角为108°，直线平行于一边切割后，阴影部分新产生的两个内角为180°-108°=72°，与原五边形的内角不相等，对应角不相等，因此二者不相似。
选项D：原图形是正六边形，切割后阴影部分的边长度与原六边形对应边的比例不一致，不满足对应边成比例的条件，因此二者不相似。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相似多边形判定，正多边形的性质，平行线的性质
【点评】
本题核心考查相似多边形的判定，需注意相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，不可只验证其中一个就判定相似，解题时结合正多边形的特性逐一排查选项即可。
【难度系数】
0.7
要判断阴影部分与原多边形是否相似，需依据相似多边形的判定条件：两个多边形的对应角分别相等，且对应边成比例，两个条件缺一不可。解题时结合正多边形内角、边长都相等的性质，以及平行线的角度性质，逐个分析每个选项的阴影部分是否同时满足这两个条件即可。
【解析】
相似多边形的判定要求：对应角相等，且对应边成比例。
选项A：原图形是正三角形，直线平行于底边切割，阴影部分仍为三角形。由平行线的同位角相等可知，阴影三角形的三个内角均为60°，和原正三角形的内角对应相等，且三边对应成比例，符合相似多边形判定条件，因此二者相似。
选项B：原图形是正方形（四边长度相等），阴影部分是矩形，矩形的一组邻边长度不相等（一边等于原正方形边长，另一边小于原边长），与原正方形的对应边不成比例，因此二者不相似。
选项C：原图形是正五边形，每个内角为108°，直线平行于一边切割后，阴影部分新产生的两个内角为180°-108°=72°，与原五边形的内角不相等，对应角不相等，因此二者不相似。
选项D：原图形是正六边形，切割后阴影部分的边长度与原六边形对应边的比例不一致，不满足对应边成比例的条件，因此二者不相似。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
相似多边形判定，正多边形的性质，平行线的性质
【点评】
本题核心考查相似多边形的判定，需注意相似多边形需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件，不可只验证其中一个就判定相似，解题时结合正多边形的特性逐一排查选项即可。
【难度系数】
0.7
7. 如图,矩形ABCD∽矩形DEFG,连结AF,CG,DF。要求出△CDG的面积,只需要知道下面哪个图形的面积(
A.矩形ABCD的面积
B.四边形ABCG的面积
C.△DEF的面积
D.△ADF的面积
D
)。A.矩形ABCD的面积
B.四边形ABCG的面积
C.△DEF的面积
D.△ADF的面积
答案
D。提示:因为矩形$ABCD∽$矩形$DEFG$,设$DE=a,EF=b,k$ 为相似比,则 $CD=ka,BC=kb$。$S_{△ CDG}=\frac{1}{2}CD· DG=\frac{1}{2}ak· b$。$S_{△ ADF}=\frac{1}{2}AD· GF=\frac{1}{2}bk· a=\frac{1}{2}abk$。
解析
【分析】
解题时首先利用相似多边形对应边成比例的性质，通过设相似比和矩形边长参数，分别表示出△CDG的面积和各选项对应图形的面积，再对比找到面积与△CDG相等的选项即可。思考步骤：1. 回忆相似多边形的性质，明确两个矩形的边的比例关系；2. 设参数表示两个矩形的各边长度；3. 结合直角三角形面积公式写出△CDG的面积表达式；4. 依次计算各选项图形的面积，和△CDG的面积对比得到结果。
【解析】
∵ 矩形ABCD∽矩形DEFG，
∴ 两个矩形的对应边成比例，设相似比为$k$，矩形DEFG中$DE=a$，$EF=b$，
则有$\frac{CD}{DE}=\frac{AD}{EF}=k$，可得$CD=ka$，$AD=kb$；
又矩形DEFG中$DG=EF=b$，$GF=DE=a$，且矩形内角均为直角，可得$CD⊥ DG$，$AD⊥ GF$。
计算$△ CDG$的面积：
$S_{△ CDG}=\frac{1}{2}· CD· DG=\frac{1}{2}· ka· b=\frac{1}{2}kab$。
逐一分析选项：
A. 矩形ABCD的面积：$S_{ABCD}=CD· AD=ka· kb=k^2ab≠ \frac{1}{2}kab$，不符合要求；
B. 四边形ABCG的面积：$S_{ABCG}=S_{ABCD}-S_{△ CDG}=k^2ab-\frac{1}{2}kab≠ \frac{1}{2}kab$，不符合要求；
C. $△ DEF$的面积：$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}· DE· EF=\frac{1}{2}ab≠ \frac{1}{2}kab$，不符合要求；
D. $△ ADF$的面积：$S_{△ ADF}=\frac{1}{2}· AD· GF=\frac{1}{2}· kb· a=\frac{1}{2}kab=S_{△ CDG}$，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相似多边形的性质，三角形面积计算，矩形的性质
【点评】
本题综合考查相似多边形、矩形和三角形面积的相关知识，解题核心是通过设参数将各边用相同的字母表示，再通过面积公式计算对比得到结论，能有效考查对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用相似多边形对应边成比例的性质，通过设相似比和矩形边长参数，分别表示出△CDG的面积和各选项对应图形的面积，再对比找到面积与△CDG相等的选项即可。思考步骤：1. 回忆相似多边形的性质，明确两个矩形的边的比例关系；2. 设参数表示两个矩形的各边长度；3. 结合直角三角形面积公式写出△CDG的面积表达式；4. 依次计算各选项图形的面积，和△CDG的面积对比得到结果。
【解析】
∵ 矩形ABCD∽矩形DEFG，
∴ 两个矩形的对应边成比例，设相似比为$k$，矩形DEFG中$DE=a$，$EF=b$，
则有$\frac{CD}{DE}=\frac{AD}{EF}=k$，可得$CD=ka$，$AD=kb$；
又矩形DEFG中$DG=EF=b$，$GF=DE=a$，且矩形内角均为直角，可得$CD⊥ DG$，$AD⊥ GF$。
计算$△ CDG$的面积：
$S_{△ CDG}=\frac{1}{2}· CD· DG=\frac{1}{2}· ka· b=\frac{1}{2}kab$。
逐一分析选项：
A. 矩形ABCD的面积：$S_{ABCD}=CD· AD=ka· kb=k^2ab≠ \frac{1}{2}kab$，不符合要求；
B. 四边形ABCG的面积：$S_{ABCG}=S_{ABCD}-S_{△ CDG}=k^2ab-\frac{1}{2}kab≠ \frac{1}{2}kab$，不符合要求；
C. $△ DEF$的面积：$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}· DE· EF=\frac{1}{2}ab≠ \frac{1}{2}kab$，不符合要求；
D. $△ ADF$的面积：$S_{△ ADF}=\frac{1}{2}· AD· GF=\frac{1}{2}· kb· a=\frac{1}{2}kab=S_{△ CDG}$，符合要求。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相似多边形的性质，三角形面积计算，矩形的性质
【点评】
本题综合考查相似多边形、矩形和三角形面积的相关知识，解题核心是通过设参数将各边用相同的字母表示，再通过面积公式计算对比得到结论，能有效考查对基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图,一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的,矩形ABCD沿EF对开后,再把矩形EFCD沿MN对开,依此类推。若各种开本的矩形都相似,那么$\frac{AB}{AD}$等于(
A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.2
B
)。A.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.2
答案
B。提示:因为矩形 $ABCD$ 的面积是矩形 $ABFE$ 面积的 2 倍,各种开本的矩形都相似,所以$\frac{S_{矩形AEFB}}{S_{矩形ABCD}}=(\frac{AB}{AD})^2=\frac{1}{2}$,所以$\frac{AB}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
解析
【分析】
解题时首先提取题干关键信息：所有开本的矩形都相似，每次对开后得到的新矩形面积是原矩形面积的$\frac{1}{2}$。回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方。我们选取原矩形ABCD和第一次对开得到的矩形ABFE作为研究对象，先确定两者的面积比，再对应到相似比的平方，即可建立关于$\frac{AB}{AD}$的等式，求解得到比值。
【解析】
解：
∵ 矩形ABCD与对开后得到的矩形ABFE相似，且对开后矩形ABFE的面积为矩形ABCD面积的$\frac{1}{2}$，
根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，
两个矩形的相似比为对应边的比值$\frac{AB}{AD}$，
∴ $\frac{S_{矩形ABFE}}{S_{矩形ABCD}}=(\frac{AB}{AD})^2=\frac{1}{2}$，
又
∵ 边长的比值为正数，
∴ $\frac{AB}{AD}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的性质，比例运算，二次根式化简
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用题型，解题的关键是找准相似图形的面积关系，结合相似比与面积比的关系列式计算，需要注意线段长度的比值为非负数，开方时仅取正根即可。
【难度系数】
0.7
解题时首先提取题干关键信息：所有开本的矩形都相似，每次对开后得到的新矩形面积是原矩形面积的$\frac{1}{2}$。回忆相似多边形的核心性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方。我们选取原矩形ABCD和第一次对开得到的矩形ABFE作为研究对象，先确定两者的面积比，再对应到相似比的平方，即可建立关于$\frac{AB}{AD}$的等式，求解得到比值。
【解析】
解：
∵ 矩形ABCD与对开后得到的矩形ABFE相似，且对开后矩形ABFE的面积为矩形ABCD面积的$\frac{1}{2}$，
根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，
两个矩形的相似比为对应边的比值$\frac{AB}{AD}$，
∴ $\frac{S_{矩形ABFE}}{S_{矩形ABCD}}=(\frac{AB}{AD})^2=\frac{1}{2}$，
又
∵ 边长的比值为正数，
∴ $\frac{AB}{AD}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
B
【知识点】
相似多边形的性质，比例运算，二次根式化简
【点评】
本题是相似多边形性质的基础应用题型，解题的关键是找准相似图形的面积关系，结合相似比与面积比的关系列式计算，需要注意线段长度的比值为非负数，开方时仅取正根即可。
【难度系数】
0.7
