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9. 如图，矩形HJLD按如图方式分割成五个小矩形后，仍是中心对称图形，且矩形ABCD∽矩形BEFG。设矩形ABCD与矩形AHIE的面积分别为m和n，求矩形HJLD的面积。（用含m和n的代数式表示）
答案
设 $BC=a,CD=b,AE=c,IE=d$,则 $ab=m,cd=n$。依题意,得 $BG=a-d,BE=c-b$。因为矩形 $ABCD∽$ 矩形 $BEFG$,所以$\frac{BG}{BC}=\frac{BE}{CD}$,所以$\frac{a-d}{a}=\frac{c-b}{b}$,整理,得 $ac+bd=2ab$。矩形 $HJLD$ 的面积为:
$(a+d)(b+c)=ab+cd+ac+bd=ab+cd+(ac+bd)=ab+cd+2ab=3ab+cd=3m+n$。
$(a+d)(b+c)=ab+cd+ac+bd=ab+cd+(ac+bd)=ab+cd+2ab=3ab+cd=3m+n$。
解析
【分析】
解题时先通过设各段边长，将已知的两个矩形面积转化为边长乘积的形式；再结合中心对称图形的性质表示出相似矩形BEFG的边长，利用相似多边形对应边成比例的性质得到边长的等量关系；最后将大矩形HJLD的面积展开，代入已得的等量关系化简，即可用含m、n的代数式表示出大矩形面积。
【解析】
设 $BC=a,CD=b,AE=c,IE=d$，根据矩形面积公式可得 $ab=m$，$cd=n$。
由图形的中心对称性可知：$BG=a-d$，$BE=c-b$。
∵矩形 $ABCD∽$ 矩形 $BEFG$，相似多边形对应边成比例，
∴$\frac{BG}{BC}=\frac{BE}{CD}$，代入边长得 $\frac{a-d}{a}=\frac{c-b}{b}$。
交叉相乘整理：$b(a-d)=a(c-b)$，展开得 $ab-bd=ac-ab$，移项合并得 $ac+bd=2ab$。
矩形HJLD的长为$a+d$，宽为$b+c$，则面积为：
$\begin{aligned}(a+d)(b+c)&=ab+ac+bd+cd\\&=ab+cd+(ac+bd)\\&=ab+cd+2ab\\&=3ab+cd\\&=3m+n\end{aligned}$
【答案】
$3m+n$
【知识点】
相似多边形的性质，中心对称图形的性质，矩形面积计算
【点评】
本题是代数与几何的综合题，核心是合理设边长，借助相似和中心对称的性质建立边长之间的等量关系，再通过整式运算化简得到结果，需要熟练掌握相似的性质和代数式变形技巧。
【难度系数】
0.6
解题时先通过设各段边长，将已知的两个矩形面积转化为边长乘积的形式；再结合中心对称图形的性质表示出相似矩形BEFG的边长，利用相似多边形对应边成比例的性质得到边长的等量关系；最后将大矩形HJLD的面积展开，代入已得的等量关系化简，即可用含m、n的代数式表示出大矩形面积。
【解析】
设 $BC=a,CD=b,AE=c,IE=d$，根据矩形面积公式可得 $ab=m$，$cd=n$。
由图形的中心对称性可知：$BG=a-d$，$BE=c-b$。
∵矩形 $ABCD∽$ 矩形 $BEFG$，相似多边形对应边成比例，
∴$\frac{BG}{BC}=\frac{BE}{CD}$，代入边长得 $\frac{a-d}{a}=\frac{c-b}{b}$。
交叉相乘整理：$b(a-d)=a(c-b)$，展开得 $ab-bd=ac-ab$，移项合并得 $ac+bd=2ab$。
矩形HJLD的长为$a+d$，宽为$b+c$，则面积为：
$\begin{aligned}(a+d)(b+c)&=ab+ac+bd+cd\\&=ab+cd+(ac+bd)\\&=ab+cd+2ab\\&=3ab+cd\\&=3m+n\end{aligned}$
【答案】
$3m+n$
【知识点】
相似多边形的性质，中心对称图形的性质，矩形面积计算
【点评】
本题是代数与几何的综合题，核心是合理设边长，借助相似和中心对称的性质建立边长之间的等量关系，再通过整式运算化简得到结果，需要熟练掌握相似的性质和代数式变形技巧。
【难度系数】
0.6
