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8. 对于有理数 $a, b$, 定义新运算“△”, 规则如下: $a △ b = ab - a - b + 4$, 如 $3 △ 5 = 3 × 5 - 3 - 5 + 4 = 11$。
(1)求 $3 △ (-4)$ 的值。
(2)请你判断交换律在“△”运算中是否成立? 并说明理由。
(1)求 $3 △ (-4)$ 的值。
(2)请你判断交换律在“△”运算中是否成立? 并说明理由。
答案
解：
(1) 根据新运算规则，将$a=3$，$b=-4$代入得：
$3△(-4) = 3×(-4) - 3 - (-4) + 4$
$= -12 - 3 + 4 + 4$
$= -7$
(2) 交换律在“△”运算中成立，理由如下：
对于任意有理数$a,b$，
$a△b = ab - a - b + 4$，
$b△a = ba - b - a + 4$，
根据有理数乘法交换律，可得$ab=ba$，
因此$ab - a - b + 4 = ba - b - a + 4$，即$a△b = b△a$，
所以交换律在“△”运算中成立。
(1) 根据新运算规则，将$a=3$，$b=-4$代入得：
$3△(-4) = 3×(-4) - 3 - (-4) + 4$
$= -12 - 3 + 4 + 4$
$= -7$
(2) 交换律在“△”运算中成立，理由如下：
对于任意有理数$a,b$，
$a△b = ab - a - b + 4$，
$b△a = ba - b - a + 4$，
根据有理数乘法交换律，可得$ab=ba$，
因此$ab - a - b + 4 = ba - b - a + 4$，即$a△b = b△a$，
所以交换律在“△”运算中成立。
解析
【分析】
(1) 第一问是新定义运算的基础应用，解题时先明确“△”的运算规则：两个数做△运算，等于两数乘积减去第一个数，再减去第二个数，最后加4。只需将a=3、b=-4代入规则，按照有理数混合运算顺序计算即可，注意去括号时的符号变化。
(2) 第二问判断交换律是否成立，交换律的核心是交换两个运算数的位置后运算结果不变，因此只需分别写出a△b和b△a的表达式，再利用有理数乘法交换律验证两个表达式是否相等即可。
【解析】
(1) 根据新运算“△”的规则，将$a=3$，$b=-4$代入$a △ b = ab - a - b + 4$得：
$\begin{aligned}3△(-4) &= 3×(-4) - 3 - (-4) + 4 \\&= -12 - 3 + 4 + 4 \\&= -7\end{aligned}$
(2) 交换律在“△”运算中成立，理由如下：
对于任意有理数$a,b$，
$a△b = ab - a - b + 4$，
$b△a = ba - b - a + 4$，
根据有理数乘法交换律可得$ab=ba$，
因此$ab - a - b + 4 = ba - b - a + 4$，即$a△b = b△a$，
所以交换律在“△”运算中成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-7}$；(2) 交换律在“△”运算中成立，理由见解析。
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，乘法交换律
【点评】
本题是新定义类基础题型，主要考查对新运算规则的理解和有理数运算的应用，难度较低，只要准确代入参数、规范计算即可得分，验证交换律的关键是对比交换运算数前后的表达式是否相等。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问是新定义运算的基础应用，解题时先明确“△”的运算规则：两个数做△运算，等于两数乘积减去第一个数，再减去第二个数，最后加4。只需将a=3、b=-4代入规则，按照有理数混合运算顺序计算即可，注意去括号时的符号变化。
(2) 第二问判断交换律是否成立，交换律的核心是交换两个运算数的位置后运算结果不变，因此只需分别写出a△b和b△a的表达式，再利用有理数乘法交换律验证两个表达式是否相等即可。
【解析】
(1) 根据新运算“△”的规则，将$a=3$，$b=-4$代入$a △ b = ab - a - b + 4$得：
$\begin{aligned}3△(-4) &= 3×(-4) - 3 - (-4) + 4 \\&= -12 - 3 + 4 + 4 \\&= -7\end{aligned}$
(2) 交换律在“△”运算中成立，理由如下：
对于任意有理数$a,b$，
$a△b = ab - a - b + 4$，
$b△a = ba - b - a + 4$，
根据有理数乘法交换律可得$ab=ba$，
因此$ab - a - b + 4 = ba - b - a + 4$，即$a△b = b△a$，
所以交换律在“△”运算中成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-7}$；(2) 交换律在“△”运算中成立，理由见解析。
【知识点】
新定义运算，有理数混合运算，乘法交换律
【点评】
本题是新定义类基础题型，主要考查对新运算规则的理解和有理数运算的应用，难度较低，只要准确代入参数、规范计算即可得分，验证交换律的关键是对比交换运算数前后的表达式是否相等。
【难度系数】
0.8
9. 阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文,请仔细阅读并完成相应的计算。
计算:
(1) $-29×588+28×588$；
(2) $-3000×\frac{3}{7}+3000×(-\frac{6}{7})+3000×\frac{2}{7}$。
下面是小宇同学的数学小论文,请仔细阅读并完成相应的计算。
计算:
(1) $-29×588+28×588$；
(2) $-3000×\frac{3}{7}+3000×(-\frac{6}{7})+3000×\frac{2}{7}$。
答案
解：
(1) 原式$=588×(-29+28)$
$=588×(-1)$
$=-588$
(2) 原式$=3000×(-\frac{3}{7}+(-\frac{6}{7})+\frac{2}{7})$
$=3000×(\frac{-3-6+2}{7})$
$=3000×(-1)$
$=-3000$
(1) 原式$=588×(-29+28)$
$=588×(-1)$
$=-588$
(2) 原式$=3000×(-\frac{3}{7}+(-\frac{6}{7})+\frac{2}{7})$
$=3000×(\frac{-3-6+2}{7})$
$=3000×(-1)$
$=-3000$
解析
【分析】
这两道题均可通过逆用乘法分配律简化计算，解题思路如下：第一步先找到算式中各项共有的相同因数（公因式）；第二步将公因式提取出来，把剩余的各项连同自身符号一起放在括号内相加；第三步先计算括号内的加减运算，再计算括号外的乘法，无需先分别计算多组乘法再做加减，能大幅降低计算量、减少出错概率。
【解析】
(1) 观察算式可知两项均含相同因数588，逆用乘法分配律提取588：
原式$=588×(-29+28)$
先计算括号内的加法：$-29+28=-1$
再计算乘法：$588×(-1)=-588$
(2) 观察算式可知三项均含相同因数3000，逆用乘法分配律提取3000：
原式$=3000×(-\frac{3}{7}+(-\frac{6}{7})+\frac{2}{7})$
先计算括号内的分数加减：$-\frac{3}{7}-\frac{6}{7}+\frac{2}{7}=\frac{-3-6+2}{7}=-1$
再计算乘法：$3000×(-1)=-3000$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-588}$；(2) $\boldsymbol{-3000}$
【知识点】
逆用乘法分配律；有理数乘法运算；有理数加减运算
【点评】
本题主要考查乘法分配律的灵活运用，逆用分配律提取公因式的方法可以有效简化有理数混合运算的计算过程，解题时要注意提取公因式后不要写错各项的符号，避免因符号问题出现计算错误。
【难度系数】
0.8
这两道题均可通过逆用乘法分配律简化计算，解题思路如下：第一步先找到算式中各项共有的相同因数（公因式）；第二步将公因式提取出来，把剩余的各项连同自身符号一起放在括号内相加；第三步先计算括号内的加减运算，再计算括号外的乘法，无需先分别计算多组乘法再做加减，能大幅降低计算量、减少出错概率。
【解析】
(1) 观察算式可知两项均含相同因数588，逆用乘法分配律提取588：
原式$=588×(-29+28)$
先计算括号内的加法：$-29+28=-1$
再计算乘法：$588×(-1)=-588$
(2) 观察算式可知三项均含相同因数3000，逆用乘法分配律提取3000：
原式$=3000×(-\frac{3}{7}+(-\frac{6}{7})+\frac{2}{7})$
先计算括号内的分数加减：$-\frac{3}{7}-\frac{6}{7}+\frac{2}{7}=\frac{-3-6+2}{7}=-1$
再计算乘法：$3000×(-1)=-3000$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-588}$；(2) $\boldsymbol{-3000}$
【知识点】
逆用乘法分配律；有理数乘法运算；有理数加减运算
【点评】
本题主要考查乘法分配律的灵活运用，逆用分配律提取公因式的方法可以有效简化有理数混合运算的计算过程，解题时要注意提取公因式后不要写错各项的符号，避免因符号问题出现计算错误。
【难度系数】
0.8
