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(1)下列各式中，无意义的是（
A.$-\sqrt{7}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{-7}$
D.$-\sqrt{(-7)^2}$
C
）A.$-\sqrt{7}$
B.$\sqrt{7}$
C.$\sqrt{-7}$
D.$-\sqrt{(-7)^2}$
答案
(1) C
解析
【分析】
要判断算术平方根类的式子有无意义，首先要明确算术平方根的性质：在实数范围内，只有非负数才有算术平方根，也就是根号下的被开方数必须大于或等于0，若被开方数是负数，该式子就没有意义。解题时只需要逐个判断每个选项中根号下的被开方数是不是非负数，找到被开方数为负数的选项即可。
【解析】
算术平方根有意义的条件：被开方数为非负数（即≥0），被开方数为负数时式子无意义。
对各选项逐一分析：
A. $-\sqrt{7}$的被开方数是7，$7＞0$，式子有意义，不符合题意；
B. $\sqrt{7}$的被开方数是7，$7＞0$，式子有意义，不符合题意；
C. $\sqrt{-7}$的被开方数是$-7$，$-7＜0$，负数没有算术平方根，式子无意义，符合题意；
D. $-\sqrt{(-7)^2}$的被开方数是$(-7)^2=49$，$49＞0$，式子有意义，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根有意义的条件；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记只有非负数才有算术平方根，负数不存在算术平方根，掌握该性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
要判断算术平方根类的式子有无意义，首先要明确算术平方根的性质：在实数范围内，只有非负数才有算术平方根，也就是根号下的被开方数必须大于或等于0，若被开方数是负数，该式子就没有意义。解题时只需要逐个判断每个选项中根号下的被开方数是不是非负数，找到被开方数为负数的选项即可。
【解析】
算术平方根有意义的条件：被开方数为非负数（即≥0），被开方数为负数时式子无意义。
对各选项逐一分析：
A. $-\sqrt{7}$的被开方数是7，$7＞0$，式子有意义，不符合题意；
B. $\sqrt{7}$的被开方数是7，$7＞0$，式子有意义，不符合题意；
C. $\sqrt{-7}$的被开方数是$-7$，$-7＜0$，负数没有算术平方根，式子无意义，符合题意；
D. $-\sqrt{(-7)^2}$的被开方数是$(-7)^2=49$，$49＞0$，式子有意义，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根有意义的条件；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是牢记只有非负数才有算术平方根，负数不存在算术平方根，掌握该性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
（2）使代数式$\sqrt{3-a}$有意义的$a$的取值范围是（
A.$a≥3$
B.$a≤3$
C.$a≥-3$
D.$a≤-3$
B
）A.$a≥3$
B.$a≤3$
C.$a≥-3$
D.$a≤-3$
答案
(2) B
解析
【分析】
要确定使代数式$\sqrt{3-a}$有意义的$a$的取值范围，首先要回忆二次根式有意义的核心规则：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。我们只需要让该二次根式的被开方数$3-a$满足非负的要求，再解出对应的不等式，就能得到$a$的取值范围，最后匹配选项即可。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，可得：
$3-a ≥ 0$
对不等式移项得：$-a ≥ -3$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，解得：
$a ≤ 3$
因此符合要求的选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题型，核心考查二次根式的基本性质，只要牢记被开方数非负的要求，正确求解简单不等式即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
要确定使代数式$\sqrt{3-a}$有意义的$a$的取值范围，首先要回忆二次根式有意义的核心规则：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。我们只需要让该二次根式的被开方数$3-a$满足非负的要求，再解出对应的不等式，就能得到$a$的取值范围，最后匹配选项即可。
【解析】
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，可得：
$3-a ≥ 0$
对不等式移项得：$-a ≥ -3$
不等式两边同时乘$-1$，不等号方向改变，解得：
$a ≤ 3$
因此符合要求的选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础常考题型，核心考查二次根式的基本性质，只要牢记被开方数非负的要求，正确求解简单不等式即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
(3)$(-12)^2$的算术平方根是（
A.12
B.$\pm12$
C.$-12$
D.$\sqrt{12}$
A
）A.12
B.$\pm12$
C.$-12$
D.$\sqrt{12}$
答案
(3) A
解析
【分析】
解题时先明确两个核心要点：一是先计算出被开方数$(-12)^2$的具体值，二是牢记算术平方根的定义：一个非负数的算术平方根是唯一的非负平方根，结果一定大于等于0。首先我们可以根据算术平方根的非负性先排除错误选项：选项B是正负两个值，属于平方根的结果，不符合算术平方根的要求，选项C是负数，直接不符合算术平方根非负的性质，先排除这两个。接下来计算$(-12)^2$的结果，再求它的算术平方根即可得到正确答案。
【解析】
第一步：计算被开方数的值：$(-12)^2 = (-12) × (-12) = 144$；
第二步：根据算术平方根的定义，若正数$x$满足$x^2=a$，则$x$是$a$的算术平方根。因为$12^2=144$，所以144的算术平方根是12，即$(-12)^2$的算术平方根是12。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
乘方运算；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，误选带正负的选项，解题时要注意算术平方根的结果具有非负性，同时要先准确计算被开方数的数值再求解。
【难度系数】
0.85
解题时先明确两个核心要点：一是先计算出被开方数$(-12)^2$的具体值，二是牢记算术平方根的定义：一个非负数的算术平方根是唯一的非负平方根，结果一定大于等于0。首先我们可以根据算术平方根的非负性先排除错误选项：选项B是正负两个值，属于平方根的结果，不符合算术平方根的要求，选项C是负数，直接不符合算术平方根非负的性质，先排除这两个。接下来计算$(-12)^2$的结果，再求它的算术平方根即可得到正确答案。
【解析】
第一步：计算被开方数的值：$(-12)^2 = (-12) × (-12) = 144$；
第二步：根据算术平方根的定义，若正数$x$满足$x^2=a$，则$x$是$a$的算术平方根。因为$12^2=144$，所以144的算术平方根是12，即$(-12)^2$的算术平方根是12。
因此本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
乘方运算；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，误选带正负的选项，解题时要注意算术平方根的结果具有非负性，同时要先准确计算被开方数的数值再求解。
【难度系数】
0.85
(4)计算$\sqrt{(-2)^2}$的结果是（
A.2
B.$-2$
C.$\pm2$
D.4
A
）A.2
B.$-2$
C.$\pm2$
D.4
答案
(4) A
解析
【分析】
解题时首先要明确$\sqrt{a}$的含义：$\sqrt{a}$表示非负数$a$的算术平方根，结果为非负数。解题可分两步进行：第一步先计算被开方数（根号内的式子）的取值，第二步再计算该数的算术平方根即可。注意要区分算术平方根和平方根的概念，避免误选带正负的选项。
【解析】
第一步：计算被开方数的值
$(-2)^2=4$
第二步：计算4的算术平方根
$\sqrt{4}$表示求4的算术平方根，算术平方根是指一个非负数的正的平方根，因此$\sqrt{4}=2$
综上，$\sqrt{(-2)^2}=2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根；二次根式化简；有理数乘方
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，误将$\sqrt{a}$的结果认为是正负两个值而错选C，需牢记符号$\sqrt{}$默认表示算术平方根，计算结果为非负数。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确$\sqrt{a}$的含义：$\sqrt{a}$表示非负数$a$的算术平方根，结果为非负数。解题可分两步进行：第一步先计算被开方数（根号内的式子）的取值，第二步再计算该数的算术平方根即可。注意要区分算术平方根和平方根的概念，避免误选带正负的选项。
【解析】
第一步：计算被开方数的值
$(-2)^2=4$
第二步：计算4的算术平方根
$\sqrt{4}$表示求4的算术平方根，算术平方根是指一个非负数的正的平方根，因此$\sqrt{4}=2$
综上，$\sqrt{(-2)^2}=2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
算术平方根；二次根式化简；有理数乘方
【点评】
本题属于基础运算题，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，误将$\sqrt{a}$的结果认为是正负两个值而错选C，需牢记符号$\sqrt{}$默认表示算术平方根，计算结果为非负数。
【难度系数】
0.8
(5)下列说法中，正确的有（
①1的算术平方根是1；
②$(-1)^2$的算术平方根是－1；
③一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是0；
④－4没有算术平方根.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）①1的算术平方根是1；
②$(-1)^2$的算术平方根是－1；
③一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是0；
④－4没有算术平方根.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
(5) B
解析
【分析】
解题的核心是牢记算术平方根的定义与性质：只有非负数才有算术平方根，且算术平方根的结果一定是非负数。我们只需对四个说法逐一判断对错，统计正确说法的数量即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①因为$1^2=1$，符合算术平方根的定义，所以1的算术平方根是1，该说法正确；
②先计算$(-1)^2=1$，1的算术平方根是1，不是-1（算术平方根结果为非负数），该说法错误；
③算术平方根等于它本身的数有0和1，不止0，该说法错误；
④负数没有算术平方根，-4是负数，所以-4没有算术平方根，该说法正确。
综上，正确的说法是①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的非负性
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于容易忽略1的算术平方根也是本身，或者忘记算术平方根的结果具有非负性，只要熟练掌握算术平方根的相关性质即可正确作答。
【难度系数】
0.7
解题的核心是牢记算术平方根的定义与性质：只有非负数才有算术平方根，且算术平方根的结果一定是非负数。我们只需对四个说法逐一判断对错，统计正确说法的数量即可选出正确选项。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
①因为$1^2=1$，符合算术平方根的定义，所以1的算术平方根是1，该说法正确；
②先计算$(-1)^2=1$，1的算术平方根是1，不是-1（算术平方根结果为非负数），该说法错误；
③算术平方根等于它本身的数有0和1，不止0，该说法错误；
④负数没有算术平方根，-4是负数，所以-4没有算术平方根，该说法正确。
综上，正确的说法是①和④，共2个。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义；算术平方根的非负性
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于容易忽略1的算术平方根也是本身，或者忘记算术平方根的结果具有非负性，只要熟练掌握算术平方根的相关性质即可正确作答。
【难度系数】
0.7
(1)
(2)$\frac{1}{4}$的算术平方根是
(3)
(4)$\sqrt{(-3)^2} =$
(5)$\sqrt{81}$的算术平方根是
1或0
的算术平方根是它本身.(2)$\frac{1}{4}$的算术平方根是
$\frac{1}{2}$
.(3)
49
的算术平方根是7.(4)$\sqrt{(-3)^2} =$
3
.(5)$\sqrt{81}$的算术平方根是
3
.答案
(1) 1或0
(2) $\frac{1}{2}$
(3) 49
(4) 3
(5) 3
(2) $\frac{1}{2}$
(3) 49
(4) 3
(5) 3
解析
【分析】
解题首先要牢记算术平方根的定义：若正数x的平方等于a，即$x^2=a$（$a≥0$），则正数x叫做a的算术平方根，特别规定0的算术平方根是0，算术平方根的结果一定是非负数。解题时逐个对应定义分析：第(1)题可通过枚举特殊数验证找到符合要求的数；第(2)(3)题利用乘方和开方为互逆运算求解；第(4)(5)题要注意先化简根号内的表达式或先算出根号的值，再求算术平方根，避免跳步出错。
【解析】
(1) 分别验证特殊非负数的算术平方根：0的算术平方根是0，1的算术平方根是1；大于1的正数算术平方根小于本身，大于0小于1的正数算术平方根大于本身，因此算术平方根是它本身的数是1或0。
(2) 因为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，根据算术平方根的定义，$\frac{1}{4}$的算术平方根是$\frac{1}{2}$。
(3) 已知一个数的算术平方根是7，根据乘方和开方互逆，这个数是$7^2=49$。
(4) 先计算根号内的运算：$(-3)^2=9$，再求9的算术平方根，$\sqrt{9}=3$，因此$\sqrt{(-3)^2}=3$。
(5) 先化简$\sqrt{81}=9$，再求9的算术平方根，因为$3^2=9$，所以$\sqrt{81}$的算术平方根是3。
【答案】
(1) 1或0
(2) $\frac{1}{2}$
(3) 49
(4) 3
(5) 3
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 乘方与开方的互逆运算
3. 二次根式化简
【点评】
这组题是算术平方根的基础练习题，重点考察对概念的理解和运算的严谨性，做题时要注意运算顺序，尤其需要区分“求某个数的算术平方根”和“先化简二次根式再求算术平方根”的两类题型，避免因审题不细、跳步导致错误。
【难度系数】
0.7
解题首先要牢记算术平方根的定义：若正数x的平方等于a，即$x^2=a$（$a≥0$），则正数x叫做a的算术平方根，特别规定0的算术平方根是0，算术平方根的结果一定是非负数。解题时逐个对应定义分析：第(1)题可通过枚举特殊数验证找到符合要求的数；第(2)(3)题利用乘方和开方为互逆运算求解；第(4)(5)题要注意先化简根号内的表达式或先算出根号的值，再求算术平方根，避免跳步出错。
【解析】
(1) 分别验证特殊非负数的算术平方根：0的算术平方根是0，1的算术平方根是1；大于1的正数算术平方根小于本身，大于0小于1的正数算术平方根大于本身，因此算术平方根是它本身的数是1或0。
(2) 因为$(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，根据算术平方根的定义，$\frac{1}{4}$的算术平方根是$\frac{1}{2}$。
(3) 已知一个数的算术平方根是7，根据乘方和开方互逆，这个数是$7^2=49$。
(4) 先计算根号内的运算：$(-3)^2=9$，再求9的算术平方根，$\sqrt{9}=3$，因此$\sqrt{(-3)^2}=3$。
(5) 先化简$\sqrt{81}=9$，再求9的算术平方根，因为$3^2=9$，所以$\sqrt{81}$的算术平方根是3。
【答案】
(1) 1或0
(2) $\frac{1}{2}$
(3) 49
(4) 3
(5) 3
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 乘方与开方的互逆运算
3. 二次根式化简
【点评】
这组题是算术平方根的基础练习题，重点考察对概念的理解和运算的严谨性，做题时要注意运算顺序，尤其需要区分“求某个数的算术平方根”和“先化简二次根式再求算术平方根”的两类题型，避免因审题不细、跳步导致错误。
【难度系数】
0.7
3. 求下列各数的算术平方根.
(1)0;
(2)0.014 4;
(3)$\frac{361}{36}$;
(4)$10^{-6}$.
(1)0;
(2)0.014 4;
(3)$\frac{361}{36}$;
(4)$10^{-6}$.
答案
(1) 0
(2) 0.12
(3) $\frac{19}{6}$
(4) $10^{-3}$
(2) 0.12
(3) $\frac{19}{6}$
(4) $10^{-3}$
解析
【分析】
解题的核心依据是算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$，则x叫做a的算术平方根，特别规定0的算术平方根是0。解题时只需找到满足上述条件的非负x即可：
1. 对于0，直接根据规定判断；
2. 对于小数、分数、含负指数的数，分别找到对应非负数的平方等于该数，这个非负数就是所求的算术平方根，注意结果必须为非负数。
【解析】
根据算术平方根的定义逐一求解：
(1) 由算术平方根的特殊规定可得，0的算术平方根是0，即$\sqrt{0}=0$；
(2) $\because 0.12^2=0.0144$，且0.12是正数，$\therefore 0.0144$的算术平方根是0.12，即$\sqrt{0.0144}=0.12$；
(3) $\because (\frac{19}{6})^2=\frac{361}{36}$，且$\frac{19}{6}$是正数，$\therefore \frac{361}{36}$的算术平方根是$\frac{19}{6}$，即$\sqrt{\frac{361}{36}}=\frac{19}{6}$；
(4) $\because (10^{-3})^2=10^{-6}$，且$10^{-3}$是正数，$\therefore 10^{-6}$的算术平方根是$10^{-3}$，即$\sqrt{10^{-6}}=10^{-3}$。
【答案】
(1) 0
(2) 0.12
(3) $\frac{19}{6}$
(4) $10^{-3}$
【知识点】
算术平方根的定义；乘方运算；负整数指数幂
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对算术平方根非负性的理解，解题时要熟练掌握常见数的平方值和幂的运算法则，避免出现符号错误或计算偏差。
【难度系数】
0.8
解题的核心依据是算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，即$x^2=a$，则x叫做a的算术平方根，特别规定0的算术平方根是0。解题时只需找到满足上述条件的非负x即可：
1. 对于0，直接根据规定判断；
2. 对于小数、分数、含负指数的数，分别找到对应非负数的平方等于该数，这个非负数就是所求的算术平方根，注意结果必须为非负数。
【解析】
根据算术平方根的定义逐一求解：
(1) 由算术平方根的特殊规定可得，0的算术平方根是0，即$\sqrt{0}=0$；
(2) $\because 0.12^2=0.0144$，且0.12是正数，$\therefore 0.0144$的算术平方根是0.12，即$\sqrt{0.0144}=0.12$；
(3) $\because (\frac{19}{6})^2=\frac{361}{36}$，且$\frac{19}{6}$是正数，$\therefore \frac{361}{36}$的算术平方根是$\frac{19}{6}$，即$\sqrt{\frac{361}{36}}=\frac{19}{6}$；
(4) $\because (10^{-3})^2=10^{-6}$，且$10^{-3}$是正数，$\therefore 10^{-6}$的算术平方根是$10^{-3}$，即$\sqrt{10^{-6}}=10^{-3}$。
【答案】
(1) 0
(2) 0.12
(3) $\frac{19}{6}$
(4) $10^{-3}$
【知识点】
算术平方根的定义；乘方运算；负整数指数幂
【点评】
本题属于基础概念应用题，重点考查对算术平方根非负性的理解，解题时要熟练掌握常见数的平方值和幂的运算法则，避免出现符号错误或计算偏差。
【难度系数】
0.8
4. 求下列各式的值.
(1)$\sqrt{225}$；
(2)$-\sqrt{5^2}$；
(3)$\pm\sqrt{0.49}$；
(4)$\sqrt{(-5)^2}$。
(1)$\sqrt{225}$；
(2)$-\sqrt{5^2}$；
(3)$\pm\sqrt{0.49}$；
(4)$\sqrt{(-5)^2}$。
答案
(1) 15
(2) $-5$
(3) $\pm0.7$
(4) 5
(2) $-5$
(3) $\pm0.7$
(4) 5
解析
【分析】
本题考查平方根与算术平方根的相关运算，解题思路如下：首先明确三类符号的意义：$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的算术平方根，结果为非负数；$-\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的算术平方根的相反数，结果为非正数；$\pm\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的平方根，结果为互为相反数的两个数。计算时先化简根号内的式子，再根据定义求开方的结果即可。
【解析】
(1) 因为$15^2=225$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{225}$是225的算术平方根，所以$\sqrt{225}=15$；
(2) 先计算根号内的乘方：$5^2=25$，$\sqrt{25}=5$，所以$-\sqrt{5^2}=-5$；
(3) 因为$0.7^2=0.49$，根据平方根的定义，0.49的平方根为$\pm0.7$，所以$\pm\sqrt{0.49}=\pm0.7$；
(4) 先计算根号内的乘方：$(-5)^2=25$，$\sqrt{25}$是25的算术平方根，所以$\sqrt{(-5)^2}=5$。
【答案】
(1) $15$；(2) $-5$；(3) $\pm0.7$；(4) $5$
【知识点】
算术平方根的概念；平方根的概念；乘方与开方的互逆性
【点评】
本题属于基础运算题，核心是区分算术平方根和平方根的表示方法及意义，计算时需注意先处理根号内的运算，避免直接将根号内的底数移到根号外导致符号错误。
【难度系数】
0.9
本题考查平方根与算术平方根的相关运算，解题思路如下：首先明确三类符号的意义：$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的算术平方根，结果为非负数；$-\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的算术平方根的相反数，结果为非正数；$\pm\sqrt{a}$（$a≥0$）表示$a$的平方根，结果为互为相反数的两个数。计算时先化简根号内的式子，再根据定义求开方的结果即可。
【解析】
(1) 因为$15^2=225$，根据算术平方根的定义，$\sqrt{225}$是225的算术平方根，所以$\sqrt{225}=15$；
(2) 先计算根号内的乘方：$5^2=25$，$\sqrt{25}=5$，所以$-\sqrt{5^2}=-5$；
(3) 因为$0.7^2=0.49$，根据平方根的定义，0.49的平方根为$\pm0.7$，所以$\pm\sqrt{0.49}=\pm0.7$；
(4) 先计算根号内的乘方：$(-5)^2=25$，$\sqrt{25}$是25的算术平方根，所以$\sqrt{(-5)^2}=5$。
【答案】
(1) $15$；(2) $-5$；(3) $\pm0.7$；(4) $5$
【知识点】
算术平方根的概念；平方根的概念；乘方与开方的互逆性
【点评】
本题属于基础运算题，核心是区分算术平方根和平方根的表示方法及意义，计算时需注意先处理根号内的运算，避免直接将根号内的底数移到根号外导致符号错误。
【难度系数】
0.9
