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5. 求下列各式中$x$的值.
(1)$x^2=\dfrac{121}{9}$;
(2)$(x+1)^2=81$.
(1)$x^2=\dfrac{121}{9}$;
(2)$(x+1)^2=81$.
答案
(1) $x=\pm\frac{11}{3}$
(2) $x=8$ 或 $x=-10$
(2) $x=8$ 或 $x=-10$
解析
【分析】
这两道题均依据平方根的定义求解：若一个数的平方等于非负数a，则这个数叫做a的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。解题时，（1）可直接对等式两边开平方得到x的值；（2）先将(x+1)看作一个整体，求出该整体的平方根后，再进一步计算x的值，注意不要漏写负的平方根。
【解析】
(1) 已知$x^2=\dfrac{121}{9}$，根据平方根的定义，x是$\dfrac{121}{9}$的平方根，
所以$x=\pm\sqrt{\dfrac{121}{9}}=\pm\dfrac{11}{3}$。
(2) 已知$(x+1)^2=81$，将$x+1$看作整体，可得$x+1$是81的平方根，
所以$x+1=\pm\sqrt{81}=\pm9$，
当$x+1=9$时，解得$x=9-1=8$；
当$x+1=-9$时，解得$x=-9-1=-10$，
即$x=8$或$x=-10$。
【答案】
(1) $x=\pm\frac{11}{3}$
(2) $x=8$ 或 $x=-10$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 开平方运算
【点评】
本题属于平方根的基础应用题型，解题的核心是牢记正数的平方根有两个且互为相反数，求解含整体的平方类方程时，先算整体的平方根再求未知数，避免漏解。
【难度系数】
0.9
这两道题均依据平方根的定义求解：若一个数的平方等于非负数a，则这个数叫做a的平方根，正数有两个互为相反数的平方根。解题时，（1）可直接对等式两边开平方得到x的值；（2）先将(x+1)看作一个整体，求出该整体的平方根后，再进一步计算x的值，注意不要漏写负的平方根。
【解析】
(1) 已知$x^2=\dfrac{121}{9}$，根据平方根的定义，x是$\dfrac{121}{9}$的平方根，
所以$x=\pm\sqrt{\dfrac{121}{9}}=\pm\dfrac{11}{3}$。
(2) 已知$(x+1)^2=81$，将$x+1$看作整体，可得$x+1$是81的平方根，
所以$x+1=\pm\sqrt{81}=\pm9$，
当$x+1=9$时，解得$x=9-1=8$；
当$x+1=-9$时，解得$x=-9-1=-10$，
即$x=8$或$x=-10$。
【答案】
(1) $x=\pm\frac{11}{3}$
(2) $x=8$ 或 $x=-10$
【知识点】
1. 平方根的定义
2. 开平方运算
【点评】
本题属于平方根的基础应用题型，解题的核心是牢记正数的平方根有两个且互为相反数，求解含整体的平方类方程时，先算整体的平方根再求未知数，避免漏解。
【难度系数】
0.9
6. 学校想修建一个正方形的花圃，且计划用护栏将花圃四周围起来. 请解决下列问题.
(1)若花圃护栏的总长度为 40 m，求花圃的面积.
(2)若花圃的面积为 130 m²，求花圃的边长.
(1)若花圃护栏的总长度为 40 m，求花圃的面积.
(2)若花圃的面积为 130 m²，求花圃的边长.
答案
6. 解：(1)设正方形花圃的边长为 x m.
根据题意，得 4x=40.
解得 x=10.
所以，花圃的面积为 10×10=100 (m²).
(2)设花圃的边长为 y m.
根据题意，得 y²=130.
∴y=±√130.
又
∵y＞0，
∴y=√130.
∴花圃的边长为√130 m.
根据题意，得 4x=40.
解得 x=10.
所以，花圃的面积为 10×10=100 (m²).
(2)设花圃的边长为 y m.
根据题意，得 y²=130.
∴y=±√130.
又
∵y＞0，
∴y=√130.
∴花圃的边长为√130 m.
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路清晰：(1)护栏总长度就是正方形花圃的周长，正方形周长公式为周长=4×边长，首先设边长为未知数，通过周长公式求出边长，再用正方形面积=边长×边长计算面积即可。(2)已知正方形面积，先设边长为未知数，根据面积公式列方程，由于边长是正数，所以需要对求解得到的平方根取正的算术平方根，舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
(1)设正方形花圃的边长为$x$ m。
根据题意，护栏总长度等于正方形周长，可得：$4x=40$
解得：$x=10$
所以花圃的面积为：$10×10=100\ \mathrm{(m^2)}$
(2)设花圃的边长为$y$ m。
根据正方形面积公式可得：$y^2=130$
根据平方根的定义，解得：$y=\pm\sqrt{130}$
又因为边长为正数，即$y＞0$，所以舍去负根，得$y=\sqrt{130}$
即花圃的边长为$\sqrt{130}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)花圃的面积为$\boxed{100\ \mathrm{m^2}}$；(2)花圃的边长为$\boxed{\sqrt{130}\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1.正方形周长与面积计算 2.平方根运算 3.算术平方根的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景出题，侧重基础知识点的综合应用，解题时需注意结合实际意义舍去不符合要求的负根，是平方根章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.85
本题分为两小问，解题思路清晰：(1)护栏总长度就是正方形花圃的周长，正方形周长公式为周长=4×边长，首先设边长为未知数，通过周长公式求出边长，再用正方形面积=边长×边长计算面积即可。(2)已知正方形面积，先设边长为未知数，根据面积公式列方程，由于边长是正数，所以需要对求解得到的平方根取正的算术平方根，舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
(1)设正方形花圃的边长为$x$ m。
根据题意，护栏总长度等于正方形周长，可得：$4x=40$
解得：$x=10$
所以花圃的面积为：$10×10=100\ \mathrm{(m^2)}$
(2)设花圃的边长为$y$ m。
根据正方形面积公式可得：$y^2=130$
根据平方根的定义，解得：$y=\pm\sqrt{130}$
又因为边长为正数，即$y＞0$，所以舍去负根，得$y=\sqrt{130}$
即花圃的边长为$\sqrt{130}\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1)花圃的面积为$\boxed{100\ \mathrm{m^2}}$；(2)花圃的边长为$\boxed{\sqrt{130}\ \mathrm{m}}$
【知识点】
1.正方形周长与面积计算 2.平方根运算 3.算术平方根的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景出题，侧重基础知识点的综合应用，解题时需注意结合实际意义舍去不符合要求的负根，是平方根章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.85
7. 小明房间的地面面积为 $10.8 \, \mathrm{m}^2$，若房间地面恰好由120块相同的正方形地砖铺成(缝隙忽略不计)，则每块地砖的边长是多少米？
答案
7. 解：设每块地砖的边长是 x m.
根据题意，得 120x²=10.8.
解得 x=±0.3.
∵x＞0.
∴x=0.3.
∴每块地砖的边长是 0.3 m.
根据题意，得 120x²=10.8.
解得 x=±0.3.
∵x＞0.
∴x=0.3.
∴每块地砖的边长是 0.3 m.
解析
【分析】
解题时首先明确等量关系：120块正方形地砖的总面积等于房间地面的总面积。我们可以先设每块地砖的边长为x米，根据正方形面积公式可知单块地砖的面积为$x^2$平方米，结合总地面面积列方程求解；因为边长是正数，所以求解出的负根要舍去，最终得到符合实际意义的边长。
【解析】
解：设每块地砖的边长是$x\ \mathrm{m}$。
根据题意，房间地面总面积等于120块地砖的面积和，列方程得：
$120x^2=10.8$
整理得$x^2=0.09$
开平方解得$x=\pm0.3$
∵地砖边长为正数，即$x＞0$
∴舍去$x=-0.3$，取$x=0.3$
【答案】
每块地砖的边长是$\boxed{0.3\ \mathrm{m}}$
【知识点】
平方根的计算，一元二次方程实际应用，正方形面积计算
【点评】
本题属于结合生活场景的基础应用题，解题核心是准确找到总面积与单块地砖面积的等量关系列方程，同时要注意结合实际问题的意义对求解出的根进行取舍，排除不符合现实的负根。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确等量关系：120块正方形地砖的总面积等于房间地面的总面积。我们可以先设每块地砖的边长为x米，根据正方形面积公式可知单块地砖的面积为$x^2$平方米，结合总地面面积列方程求解；因为边长是正数，所以求解出的负根要舍去，最终得到符合实际意义的边长。
【解析】
解：设每块地砖的边长是$x\ \mathrm{m}$。
根据题意，房间地面总面积等于120块地砖的面积和，列方程得：
$120x^2=10.8$
整理得$x^2=0.09$
开平方解得$x=\pm0.3$
∵地砖边长为正数，即$x＞0$
∴舍去$x=-0.3$，取$x=0.3$
【答案】
每块地砖的边长是$\boxed{0.3\ \mathrm{m}}$
【知识点】
平方根的计算，一元二次方程实际应用，正方形面积计算
【点评】
本题属于结合生活场景的基础应用题，解题核心是准确找到总面积与单块地砖面积的等量关系列方程，同时要注意结合实际问题的意义对求解出的根进行取舍，排除不符合现实的负根。
【难度系数】
0.8
8. 已知正数$ a $的两个不同的平方根分别是$ 3x - 2 $和$ 5x + 6 $. 求$ a $的值.
答案
8. 解：根据题意，得
3x−2+5x+6=0.
解得 $x=-\frac{1}{2}$.
∴$a=(3x−2)^2=[3×(-\frac{1}{2})-2]^2=\frac{49}{4}$.
3x−2+5x+6=0.
解得 $x=-\frac{1}{2}$.
∴$a=(3x−2)^2=[3×(-\frac{1}{2})-2]^2=\frac{49}{4}$.
解析
【分析】
解题的突破口是正数平方根的性质：一个正数的两个不同平方根互为相反数，它们的和为0。首先根据该性质列出关于x的一元一次方程，求解得到x的取值，再将x代入其中一个平方根的表达式，对结果平方即可求出a的值。
【解析】
解：根据正数的两个平方根互为相反数的性质，得
$3x - 2 + 5x + 6 = 0$
合并同类项，得$8x + 4 = 0$
解得$x = -\frac{1}{2}$
将$x = -\frac{1}{2}$代入$3x - 2$，得其中一个平方根为$3×(-\frac{1}{2}) - 2 = -\frac{7}{2}$
∴$a = (-\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$
【答案】
$\frac{49}{4}$
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 解一元一次方程
3. 有理数乘方运算
【点评】
本题是平方根性质的基础应用题型，解题核心是牢记正数的两个平方根互为相反数这一性质，整体计算量小，掌握基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题的突破口是正数平方根的性质：一个正数的两个不同平方根互为相反数，它们的和为0。首先根据该性质列出关于x的一元一次方程，求解得到x的取值，再将x代入其中一个平方根的表达式，对结果平方即可求出a的值。
【解析】
解：根据正数的两个平方根互为相反数的性质，得
$3x - 2 + 5x + 6 = 0$
合并同类项，得$8x + 4 = 0$
解得$x = -\frac{1}{2}$
将$x = -\frac{1}{2}$代入$3x - 2$，得其中一个平方根为$3×(-\frac{1}{2}) - 2 = -\frac{7}{2}$
∴$a = (-\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$
【答案】
$\frac{49}{4}$
【知识点】
1. 平方根的性质
2. 解一元一次方程
3. 有理数乘方运算
【点评】
本题是平方根性质的基础应用题型，解题核心是牢记正数的两个平方根互为相反数这一性质，整体计算量小，掌握基础知识点即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
